(FUVEST - 1977) $\;\;ABC\;\;$ é equilátero de lado $\;\;4\;$; $\;\;\overline{AM}\,=\,\overline{MC}\,=\,2\;$, $\;\;\overline{AP}\,=\,3\;\;$ e $\;\;\overline{PB}\,=\,1\;$. O perímetro do triângulo $\;\;APM\;\;$ é:
(ITA - 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm³ , é igual a
(ITA - 1990) Seja $\;C\;$ o centro da circunferência $\;x^2\,+\,y^2\,-\,6\sqrt{2}y\,=\,0\;$. Considere $\,A\,$ e $\,B\,$ os pontos de intersecção desta circunferência com a reta $\,y\,=\,\sqrt{2}x\,$. Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices $\,A\,$, $\,B\,$ e $\,C\,$ é:
(FATEC - 1979) Na figura abaixo, ABFG e BCDE são dois quadrados com lados, respectivamente, de medida a e b. Se $\;\overline{AG}\,=\,\overline{CD}\,+\,2\;\,$ e o perímetro do triângulo ACG é 12, então, simultaneamente, a e b pertencem ao intervalo:
(MAPOFEI) O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine os lados desse triângulo.
resposta:
Resolução:Teorema da Bissetriz
Construindo-se a bissetriz de um ângulo de um triângulo, determinam-se no lado oposto segmentos proporcionais aos lados desse triângulo.
Na figura ao lado, um triângulo ABC de lados de medidas a, b e c, onde $\,\overleftrightarrow{AS}\,$ é a bissetriz do ângulo no vértice A. Sabemos no enunciado que
1.
$\,m\,=\,16\,$ e $\,n\,=\,24\,$, então o lado c do triângulo mede $\,c\,=\,m\,+\,n\,=\,16\,+\,24\,=\,40\;\Rightarrow\;\boxed{\,c\,=\,40\,m\,}\,$
2.
O perímetro do triângulo é 100 m, então a soma $\,a\,+\,b\,+\,c\,=\,100\;\Rightarrow\;a\,+\,b\,+\,40\,=\,100\,$ $\Rightarrow\,a\,+\,b\,=\,60\,$(I)
Se os lados são proporcionais aos segmentos gerados pela bissetriz (TEOREMA DA BISSETRIZ) então temos conforme a figura: $\,\dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{m}{n}\,$ $\Rightarrow\,\dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{16}{24}\,$(II)(I) e (II)$\,\longrightarrow\,\left\{\begin{array}{rcr} \,a\,+\,b\,=\,60\,& \\ \dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{16}{24}\phantom{X}& \\ \end{array} \right.\,$ $\Rightarrow\,a\,=\,\dfrac{2b}{3}\phantom{X}\Rightarrow\;\dfrac{2b}{3}\,+\,b\,=\,60 $ $\,\Rightarrow\;5b\,=\,180\;\Rightarrow\;\boxed{\,b\,=\,36\,m\,}\;a\,=\,\dfrac{2b}{3}\;\Rightarrow\,\boxed{\,a\,=\,24\,m\,}$
a altura do cone reto é $\,H\,=\,\sqrt{22}\,$ cm ×
A geratriz de um cone circular reto mede 10 cme a altura 8 cm. Determine o raio da base.
resposta:
Geratriz do cone é qualquer segmento de reta lateral com uma extremidade no vértice do cone e outra extremidade no perímetro da base do cone.
Como o cone é circular reto, a figura hachurada é um triângulo retângulo onde os catetos são, respectivamente, a altura do cone (8 cm) e o raio da base do cone (r). A hipotenusa é a geratriz do cone. $\,G^2\;=\;h^2\;+\;r^2\;\Rightarrow\;$ $\,10^2\,=\,8^2\,+\,r^2\;\Rightarrow\;$ $\,r^2\,=\,100\,-\,64\;\Rightarrow\;$ $r\;=\;6\,cm$
O comprimento da base de um paralelepípedo retângulo é 3 cm maior que a largura. Sendo 22 cm o perímetro da base e 280 cm³ o seu volume, calcular a altura.
(ITA - 1986) Um cilindro equilátero de raio 3 cm está inscrito num prisma triangular reto, cujas arestas da base estão em progressão aritmética de razão s , s > 0. Sabendo-se que a razão entre o volume do cilindro e do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$ podemos afirmar que a área lateral do prisma vale
a)
$\;144\,cm^2\;$
b)
$\;12\,\pi\,cm^2\;$
d)
$\;\dfrac{\pi}{5}\;$ da área lateral do cilindro
c)
$\;24\,cm^2\;$
e)
$\;\dfrac{5}{3}\;$ da área lateral do cilindro
resposta:
Considerações:
Eixo do cilindro é a reta que passa pelos centros das bases do cilindro. Secção meridiana de um cilindro é a secção gerada por um plano que contém o eixo do cilindro. Um cilindro é chamado reto quando o seu eixo é perpendicular aos planos das bases. O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base.
A secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado.
A razão entre o volume do cilindro e o volume do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$. $\;\dfrac{V_C}{V_P}\,=\,\dfrac{\pi}{4}\;\Rightarrow\;\dfrac{\pi\centerdot 3^{\large 2}\centerdot 6}{6 \centerdot A_{\mbox{base}}}\;\Leftrightarrow\;A_{\mbox{base}}\,=\,36$
A base do cilindro é um círculo inscrito na base triangular do prisma. Então o centro do círculo é o incentro da base triangular.
A área de um triângulo é igual ao seu semiperímetro multiplicado pelo raio da circunferência inscrita
$\;A_{\mbox{base}}\; =\;$ semiperímetro $\times$ R
=
$\;\dfrac{3\centerdot a \centerdot 3}{2}\; =\;36\;\Rightarrow$ $\;a\;=\;8\;$
A área lateral do prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das três faces retangulares laterais: Alateral = $\,6(a\,-\,s)\,+\,6(a)\,+\,6(a\,+\,s)\,$ $\,=\,6(a - s + a + a - s)\,=\,6(3a)\,=\,6\centerdot 3\centerdot 8\,= 144\;cm^2\;$
(FATEC - 1982) Num circuito de corrente contínua, um amperímetro acusa, durante 5 minutos, a corremte de 2 ampères. A carga que atravessa o instrumento, neste intervalo de tempo é de:
Nos circuitos a seguir, pede-se determinar a leitura de cada aparelho (voltímetro e amperímetro), considerados ideais.
I)
II)
III)
resposta: I) voltímetro:20V - amperímetro: 2AII) voltímetro: 70V - amperímetro: 2AIII) voltímetro: 100V amperímetro: 0A Observe que o voltímetro está ligado errado, deveria estar em paralelo mas está em série. Voltímetro ideal -> resistência interna infinita -> não passa corrente pelo circuito. Sem corrente, o amperímetro marca zero e o gerador está em circuito aberto. O voltímetro indica a fem do gerador, ou seja, indica 100V. ×
Considere um galvanômetro G de resistência interna rG e um resistor de resistência R . Dos esquemas representados abaixo de I. até IV. , quais representam um bom amperímetro e um bom voltímetro, respectivamente:
