Lista de exercícios do ensino médio para impressão
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(UFGO - 1982) No conjunto $\,R^2\,=\,\lbrace \,(x; y) \mid \, x,y\,\in\,\mathbb{R} \,\rbrace\,$ definimos:
1)$\,(x_1, y_1)\,=\,(x_2, \,y_2)\,\Longleftrightarrow\,x_1\,=\,x_2\;$ e $\;y_1\,=\,y_2$
2)$\,(x_1,\, y_1)\,+\,(x_2, \,y_2)\,=\,(x_1\,+\,x_2, y_1\,+\,y_2)$
3)$\,(x_1,\, y_1)\centerdot (x_2,\, y_2)\,=\,(x_1 x_2\,-\,y_1 y_2 \, ,\; x_1 y_2 \,+\, x_2 y_1)$

Com base nas definições, resolver a equação:
$(x,\, y)\centerdot(1, \,2) \, + \, (2,\, 3)\,=\,(4, \, 5)$

 



resposta: $\,x\,=\,\frac{6}{5}\,$ e $\,y\,=\,- \frac{2}{5}$ ou $(\frac{6}{5};-\frac{2}{5})$
×
(PUCC - 1982) Dados os conjuntos $\;A\,=\,\lbrace \,x\,\in\,\mathbb{R}\;\mid\;1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,3 \,\rbrace\;$ e $\;B\,=\,\lbrace \,x\,\in\,\mathbb{R}\;\mid\;-1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,1\,\rbrace\;$ represente, graficamente, o produto cartesiano $\,B\, \times\,A\,$.

 



resposta: produto cartesiano de A por B
×
Sabendo-se que os pares ordenados ( x + y ; 1 ) e ( 3 ; x - y ) são iguais, determine x e y .

 



resposta: Resolução:
$\,(x\,+\,y;\,1)\,=\,(3;\,x\,-\,y)\; \Longleftrightarrow\ \left\{ \begin{array}{rcr} x+y & = & 3 \\ 1 & = & x - y \\ \end{array}\right.\Longleftrightarrow$
$ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{rcr} x + y =3 \\ x - y =1 \\ \end{array} \right.\Longleftrightarrow \, \fbox{ x = 2 e y = 1}$.


×
Quantos divisores positivos tem o número $\,3888\,=\,2^4\, \centerdot \, 3^5\,$?

 



resposta:
30
Resolução:
Cada divisor é um número do tipo $\;2^{\Large \alpha_1}\,\centerdot\,3^{\Large \alpha_2}\,$ onde:
$\phantom{XX}\alpha_1\,\in\,\lbrace\,0,\,1,\,2,\,3,\,4\,\rbrace\,$
$\phantom{XX}\alpha_2\,\in\,\lbrace\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5\,\rbrace\,$
Exemplo:$\;2^3\,\centerdot\,3^5\phantom{X};\phantom{X}2^0\,\centerdot\,3^3\,$ etc.
Portanto, o número de divisores é o número de pares ordenados $\,(\,\alpha_1\,,\,\alpha_2\,)\,$ que, pelo Princípio Fundamental da Contagem é:
$\phantom{XX}5\,\centerdot\,6\,=\,30\,$

×
Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?

 



resposta: 72 maneiras.
Resolução:
Cada maneira das pessoas sentarem corresponde a um par ordenado de números distintos escolhidos no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Veja os exemplos:
(2, 6)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 2} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 6} \\ \end{array}\right. \;$
(6, 2)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 6} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 2} \\ \end{array}\right. \;$
(3, 4)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 3} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 4} \\ \end{array}\right. \;$
1. O total de pares ordenados é igual a $\;A_{\Large 10,2}\,=\,10\,\centerdot\,9\,=\,90\;$
2. Dever ser excluídos os pares ordenados cujos elementos sejam números consecutivos. São eles:
(1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6) (6,7) (7,8) (8,9) (9,10) : 9 pares
(2,1) (3,2) (4,3) (5,4) (6,5) (7,6) (8,7) (9,8) (10,9) : 9 pares
Devemos portanto excluir 18 pares
3. O número de maneiras das pessoas sentarem, havendo ao menos uma cadeira entre elas é 90 - 18 = 72.

×
(OSEC) No produto cartesiano $\;\mathbb{R}\times\mathbb{R}\;$, os pares ordenados $\;(3x\,+\,y\,;\,1)\;$ e $\;(7\,;\,2x\,-\,3y)\;$ são iguais. Os valores de x e y são respectivamente:
a) 1 e 2b) -1 e 2c) 2 e 1d) -2 e 1e) -1 e -2
1 e 2-1 e 22 e 1-2 e 1-1 e -2

 



resposta: (C)
×
Um par ordenado (a, b) é escolhido entre os 20 pares ordenados do produto cartesiano A × B onde A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5} .
Considere Ω = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B} sendo o espaço amostral do experimento.
Descrever os eventos:
a)
A = {(x,y) | x = y}
 
b)
B = {(x,y) | x > y}
 
c)
C = {(x,y) | x + y = 2}
 
d)
D = {(x,y) | y = x²}
 
e)
E = {(x,y) | x = 1}
 
f)
F = {(x,y) | y = 3}
 

 



resposta:
a)
{(1,1);(2,2);(3,3);(3,4)}
b)
{(2,1);(3,1);(4,1);(3,2);(4,2);(4,3)}
c)
{(1,1)}
d)
{(1,1);(2,4)}
e)
{(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5)}
f)
{(1,3),(2,3),(3,3),(4,3)}

×
Os coeficientes a e b da equação ax = b são escolhidos ao acaso entre os pares ordenados do produto cartesiano A × A , sendo A = {1, 2, 3, 4} , verificando-se que a é o 1º elemento do par e b é o 2º elemento do par. Qual a probabilidade da equação ter raízes inteiras?

 



resposta: a) 1/2
×
Assinale (V) ou falso (F) conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas:
a)
( )
(m;n) = (p; q) ⇔ m = p e n = q
b)
( )
(1; 2) = (1; 3)
c)
( )
(1; 2) = (3; 2)
d)
( )
(1; 2) = (2; 1)
e)
( )
(m; n) e (p; q) são simétricos ⇔ m = q e n = p
f)
( )
(1; 2) = {1; 2}

 



resposta: a) V b) F c) F d) f e) V f) F
×
Dado o conjunto A = {0; 1} , calcule os valores numéricos que assume o trinômio 2x + xy - 5y para todos os pares ordenados (x; y) que pertencem ao produto (A x A) .

 



resposta: 0, -5, 2, -2
Resolução:
A x A = {(0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1)}
a.
2(0) + (0)(0) - 5(0) = 0
b.
2(0) + (0)(1) - 5(1) = -5
c.
2(1) + (1)(0) - 5(0) = 2
d.
2(1) + (1)(1) - 5(1) = -2

×
Sejam A, B, E e F conjuntos. Pode-se afirmar que:
a)
(x; y) ∈ A x B ⇔ x ∈ B e y ∈ A .
b)
A = ∅ ou B = ∅ ⇔ A x B ≠ ∅
c)
∄A e ∄B | A x B ≠ B x A .
d)
E ⊂ A e F ⊂ B ⇒ A x B ⊂ E x F .
e)
n(A x B) = n(A) . n(B)

 



resposta: (E)
×
Dados os conjuntos A = { 1; 2; 3 } e B = { 0 } , determine A × B e em seguida construa todos os subconjuntos A × B (relações binárias de A em B ).

 



resposta: A x B = {(1; 0), (2; 0), (3; 0)}
f1 = {(1; 0)}
f2 = {(2; 0)}
f3 = {(3; 0)}
f4 = {(1; 0), (2; 0)}
f5 = {(1; 0), (3; 0)}
f6 = {(2; 0), (3; 0)}
f7 = ∅
f8 = A x B

×
Sejam os conjuntos
conjuntos A = { 1; 2; 3 } e B = { 0; 2; 3; 4 } .
a) Represente num diagrama de flechas as seguintes relações binárias de A em B .
I.
$\,f\,=\,\lbrace\;(x;y)\;\in\;A\times B\;|\;x\,=\,y\,-\,2\;\rbrace\,$
II.
$\,g\,=\,\lbrace\;(x;y)\;\in\;A\times B\;|\;y\,\gt\,x\;\rbrace\,$
III.
$\,h\,=\,\lbrace\;(x;y)\;\in\;A\times B\;|\;y\,=\,x\,+\,1\;\rbrace\,$
b) Considere as relações binárias de A em B e as propriedades seguintes:
F⋅1 :
Todo x ∈ A se relaciona com algum y ∈ B .
F⋅2 :
Cada x ∈ A que se relaciona, relaciona-se com um único y ∈ B .
Assinale a opção verdadeira:
(i)
f satisfaz F⋅1
(ii)
g satisfaz F⋅1 e F⋅2
(iii)
h satisfaz F⋅1 e não satisfaz F⋅2
(iv)
h não satisfaz F⋅1
(v)
h satisfaz F⋅1 e F⋅2

 



resposta: a)
I.
relacao binária de A em B
II.
relação binária de A em B com flechas
III.
relacao binaria de A em B com flechas e diagrama de Venn
b) (v) é a correta
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Veja exercÍcio sobre:
funções
pares ordenados
produto cartesiano