(CESCEM - 1977) Um subconjunto $\,\mathbb{X}\,$ de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de $\,\mathbb{X}\,$ é:
(EPUSP-63) Mostre que a equação $\phantom{XXX}1000x^5\,+\,20x^2\,-\,1\,=\,0\;$ admite uma raiz positiva inferior a $\;\dfrac{1}{5}\;$.
resposta:
Temos o polinômio $\;\;P(x)\,=\,1000x^5\,+\,20x^2\,-\,1\;\;$ e vamos calcular $\;P(0)\;$ e $\;P(\frac{1}{5})\;$:$\;P(0)\,=\,1000(0)^5\,+\,20(0)^2\,-\,1\,=\,-1\,<\,0$ $\;P(\frac{1}{5})\,=\,1000{(\frac{1}{5})}^{5}\,+\,20{(\frac{1}{5})}^{2}\,-\,1\;=$ $\,1000\,+\,2500\,-\,\frac{3125}{3125}\,>\,0$. Como $\;\;P(0)\centerdot P(\frac{1}{5})\,<\,0\;\;$ , resulta que $\;P\;$ apresenta um número ímpar de raízes no intervalo $\;]0;\frac{1}{5}[\;$ (Teorema de Bolzano).
(MACKENZIE-1974) Se o número $\,{\large x}\,$ é solução da equação $\;\sqrt[{\large 3}]{x + 9}\, -\, \sqrt[{\large 3}]{x\, -\, 9}\, =\, 3\;$, então $\;x^{\large 2}\;$ está entre:
(FEI-1968) Seja V o conjunto dos números reais que são solução da equação irracional $\; \sqrt{2x} - \sqrt{7 + x} = 1\;$ a) $V = \{2,18\}$ b) $V=\{2\}$ c) $V=\{18\}$ d) $V=\varnothing$ e) nenhuma das anteriores
(CESCEA - 1968) Sejam A, B e C números reais quaisquer. Dada a equação $\;Ax + By + C = 0\,$, assinale dentre as afirmações abaixo a correta:
a) se $A \ne 0$ e $B \ne 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta pela origem b) se $B \ne 0$ e $C=0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta pela origem, não paralela a nenhum dos eixos c) Se $A = 0$ e $C \ne 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta paralela ao eixo $0x$ d) se $A \ne 0$, $B = 0$ e $C = 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação do eixo $0y$ e) se $A = 0$, $B \ne 0$ e $C = 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação do eixo $0y$
a) se existir um(a) e um(a) só b) se existirem exatamente dois (duas) distintos(as) c) se existir um número finito porém maior que 2 d) se existirem infinitos(as) e) se não existir nenhum(a) de modo que as afirmações que se seguem fiquem corretas:
1º reta perpendicular a duas retas reversas. 2º plano paralelo a duas retas reversas. 3º dadas duas retas reversas e não ortogonais, plano contendo uma das retas e perpendicular à outra. 4º retas $\overleftrightarrow{AB}$ e $\overleftrightarrow{CD}$ reversas, plano por $\overleftrightarrow{CD}$ e equidistante dos pontos $A$ e $B$.
(CESCEM - 1967) Um dado especial em forma de icosaedro, tem suas 20 faces numeradas da seguinte forma: duas das faces têm o número zero; as 18 restantes têm os números$-9, -8, -7, ..., -1, 1, 2, ..., 9$ . A probabilidade de que, lançando dois destes dados, tenhamos uma soma do número de pontos igual a $2$ vale:
Se $\;a\;$ é um número real estritamente positivo, então a expressão $\phantom{X} \dfrac{\sqrt[{\large 3}]{a^4}}{\sqrt[{\large 5}]{a^6}}\phantom{X}$ é equivalente a:
(CESGRANRIO - 1985) Numa carpintaria, empilham-se 50 tábuas, umas de 2 cm e outras de 5 cm de espessura. A altura da pilha é de 154 cm. A diferença entre o número de tábuas de cada espessura é:
(OSEC) Sendo $\;a$, $b\;$ e $\;c\;$ três números distintos tais que {$\;a\;$, $\;b$, $\;c\;$} $\in \mathbb{N^*}\;$, então, a expressão $\;(9a\,+\,6b\,-\,156)\centerdot 4a\;$ é sempre divisível por:
(FAAP) Sendo $\phantom{X}(\mu - a)\phantom{X}$ e $\phantom{X}(\mu + a)\phantom{X}$ dois números primos (isto é, são naturais maiores que $1$ e só divisíveis por eles mesmos e pela unidade), então, podemos afirmar que:
a)
$\mu ^2 - a^2\;$ é primo.
b)
$\mu\;$ e $\;a\;$ são primos.
c)
$\mu^2 + a^2\;$ é primo.
d)
$(2\mu)\;$ pode ser escrito como soma de 2 primos.
(CESCEM - 1970) Chamam-se cosseno hiperbólico de x e seno hiperbólico de x , e representam-se respectivamente por $\;cosh \; x\;$ e $\;senh \; x\;$ aos números:
$cosh\; x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$
$senh\; x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
Então $\phantom{X}(cosh\,x)^2 - (senh\,x)^2\phantom{X}$ vale:
(EAESP-GV - 1977) A expressão $\phantom{X}\left[\dfrac{\sqrt{a\;+\;b}\;-\;\sqrt{a}}{b}\right]^{-1}\phantom{X}$ , onde $\;a\;$ e $\;b\;$ são números positivos, é equivalente a:
(ITA - 2004) Seja $\;\alpha\;$ um número real, com $\;0 < \alpha < 1\;$. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de $\;x\;$ tais que $\; \alpha^{\large 2x}\left( \dfrac{1}{\sqrt{\alpha}} \right)^{\large 2x^2} < 1$.
(ITA - 2004) Considere a função $\;f : {\rm I\!R} \rightarrow \mathbb{C}$, $f(x) = 2\;cosx + 2\;i\;senx$. Então, $\;\forall \; x, y \; \in \; {\rm I\!R}\;$, o valor do produto $\;f(x)f(y)\;$ é igual a:
(ITA - 2004) Sejam as funções $\;f\;$ e $\;g\;$ definidas em $\;{\rm I\!R}\;$ por $\;f(x) = x^2 + \alpha x\; $ e $\;g(x) = -(x^2 + \beta x)\;$, em que $\alpha$ e $\beta$ são números reais. Considere que estas funções são tais que
$f$
$g$
Valor mínimo
Ponto de mínimo
Valor máximo
Ponto de máximo
$-1$
$< 0$
$\frac{9}{4}$
$> 0$
Então a soma de todos os valores de $\;x\;$ para os quais $\;(f \circ g)(x) = 0\;$ é igual a:
(ITA - 2004) Considere todos os números $\phantom{X}z\,=\,x\,+\,iy\phantom{X}$ que têm módulo $\phantom{X}\dfrac{\sqrt{7}}{2}\phantom{X}$ e estão na elipse $\phantom{X}x^2 + 4y^2 =4\phantom{X}$. Então o produto deles é igual a:
Na figura, calcule "$\;x\;$" em função de $\;a\;$.
resposta: Resolução: $\;z^2\; = a^2 + a^2$ $\;y^2\; = z^2 + a^2 \; \Longrightarrow\; y^2 \; = a^2 + a^2 + a^2$ $\;w^2\; = y^2 + a^2\; \; \Longrightarrow\; w^2 = a^2 + a^2 + a^2 + a^2$ $\;x^2\; = w^2 + a^2 \;\Longrightarrow \; x^2 \; = 5 \centerdot a^2$ então Resposta: $\;x\; = \; a \sqrt{5}$ Observe que $\;x\; = a \centerdot \sqrt{n + 1}\;$, sendo $\;n\;$ o número de triângulos retângulos. ×
Numa sequência de três números naturais (a , b , c) , os termos são chamados de "Números Pitagóricos" se forem tais que c² = a² + b² . Assinale a alternativa onde só existem Números Pitagóricos:
(PUCC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas:
PROGRAMAS
NÚMERO DE TELESPECTADORES
E
400
N
1220
H
1080
E e N
220
N e H
800
E e H
180
E, N e H
100
Através desses dados, verifica-se o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas:
(UFGO) Numa certa cidade são consumidos três produtos A, B e C, sendo: A→ um tipo de desodorante B→ um tipo de sabonete C→ um tipo de creme dental Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os dados da tabela abaixo:
Produto
Número de consumidores
A
120
B
180
C
250
A e B
40
A e C
50
B e C
60
A, B e C
30
Nenhum dos três
180
O conjunto das pessoas consultadas constitui uma amostra. Note-se que os três primeiros dados da tabela (120, 180 e 250) não representam os que consomem apenas A ou apenas B ou apenas C, e sim o número total de consumidores dos 3 produtos (isolados ou conjuntamente). Nessas condições, quantas pessoas foram consultadas?
(ITA - 2012) Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras em que a moeda de 25 centavos pode ser trocada é igual a:
(ITA - 2012) Sejam $\;z = n^2(cos45^o + i\;sen45^o)\phantom{X}$ e $\phantom{X}w = n(cos15^o + i\;sen15^o)\;$, em que $\;n\;$ é o menor inteiro positivo tal que $\;(1 + i)^n\;$ é real.Então $\;\dfrac{\;z\;}{\;w\;}\;$ é igual a:
(PUC) Sabendo-se que $\,A\,$ e $\,B\,$ são subconjuntos de $\,U\,$, $ \;A\, \cap B \, = \, \lbrace c, d \rbrace\,$, $\;A\, \cup\, B \,=\, \lbrace a, b, c, d, e, f \rbrace\;$ e $\;\sideset{}{_U^A}\complement \, = \lbrace e, f, g, h, i \rbrace\,$, então:
a)
n(A) = 2 e n(B) = 4
b)
n(A) = 4 e n(B) = 2
c)
n(A) = 3 e n(B) = 3
d)
n(A) = 4 e n(B) = 4
e)
n(A) = 1 e n(B) = 5
Observação: n(X) significa "número de elementos do conjunto X".
(OBJETIVO - 1982) O número de conjuntos $\,X\,$ que satisfazem: $\;\;\;\;\lbrace\,1,2\,\rbrace\,\subset\,X\,\subset\,\lbrace\,1, 2, 3, 4\,\rbrace\,$ é:
(PUC) O número de elementos do conjunto $\,A\,$ é $\,2^m\,$ e o número de elementos do conjunto $\,B\,$ é $\,2^n\,$. Então, o número de elementos de $\,A\times B\,$ é:
(PUCC) São dados os conjuntos $\,A\,=\,\lbrace \, 3, 5, 6 \,\rbrace\,$ e $\,B\,=\,\lbrace \,4, 5, 9, 10, 12 \,\rbrace\,$ e a relação $\,R\,=\,\lbrace \,(x;y)\, \in \,A \times B\,\mid\,$ m.d.c$(x;y)\,=\,1 \,\rbrace\,$ O número de elementos da relação inversa de $\;R\;$ é:
(STA MARIA - MANAUS) O número de funções injetoras definidas em $\,A\,=\,\lbrace \,1, 2 \,\rbrace\,$ com valores em $\,B\,=\,\lbrace \,0,\,1,\,2,\,3\,\rbrace\;$ é:
(VUNESP) Sejam $\;A\;$, $B$ e $C \;$ conjuntos de números reais. Sejam $\;f\,:\, A \rightarrow B \;$ e $\;g\,:\, B \rightarrow C \;$ definidas, respectivamente, por:
Se existe $\;f\,:\, A \rightarrow C \;$, definida por $\,h(x)\,=\,g{\large [f(x)]} \text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x \text{, }\,x \,\in\, \, A\;$, então:
Assinale (V) ou (F) conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas:Se $\;f\;$ é uma função de $\;{\rm I\!N}\;\text{ em }\;{\rm I\!R}\;$ definida por $\;f(x)\,=\,a_x\;$, com $\;x\in {\rm I\!N}^* \; \text{ e }\; a_x \in {\rm I\!R}\;$, então:
()
a)
$\;f\;$ é uma sequência de números reais.
()
b)
$\;D(f)\,=\,{\rm I\!N}^* \; \text{ e }\; CD(f)\,=\,{\rm I\!R}$
$\;(a_n)\;$ é estritamente crescente se, e somente se, $\;a_n < a_{n + 1}\;\text{, }$ $\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$.
()
e)
$\;(a_n)\;$ é estritamente decrescente se, e somente se, $\;a_n > a_{n + 1}\;\text{, }$ $\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$.
()
f)
$\;(a_n)\;$ é constante se, e somente se, $\;a_n\,=\,a_{n+1}\;\text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$
()
g)
$\;(a_n)\;$ é crescente se, e somente se, $\;a_n\,\leqslant\,a_{n+1}\;\text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$
()
h)
$\;(a_n)\;$ é decrescente se, e somente se, $\;a_n\,\geqslant\,a_{n+1}\;\text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - n \,\in\, \, {\rm I\!N}^*\,$
()
i)
$\;(a_n)\;$ é alternante se, e somente se, $\;a_n\;$ não é monotônica.
(PUCC) Dada a função $\,y\,=\,mx^2\,+\,2x\,+\,1\;$, se $\,m\,$ for um número inteiro maior que 1, assinale, dentre os gráficos abaixo, o que melhor a representa:
Resolver a equação $\,{\large \binom{10}{2x}}\,=\,{\large \binom{10}{x\,+\,1}} \, \neq \, 0\,$
resposta: Propriedade: Os números binomiais $\,{\large \binom{n}{k}}\;$ e $\;{\large \binom{n}{n-k}}\;$ são chamados complementares e são iguais. Assim: $\boxed{\,{\large \binom{n}{k}}\;=\;{\large \binom{n}{n-k}}\,}$
(FAC OBJETIVO - 1982) Seja $\;f\,:\, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \;$ uma função definida por $\;f(x)\,=\,{\large \sqrt{x^2\,+\,x\,+\,k}}\;$, sendo $\,k\,$ um número real. Um valor possível para $\,k\,$ é:
(MAUÁ) Considere dois pequenos tetraedros regulares com suas faces numeradas de 1 a 4. Lançando aleatoriamente os dois tetraedros sobre uma mesa, qual a probabilidade de que nas faces em contacto com a mesa:
a) tenhamos números iguais? b) tenhamos soma 4?
resposta: a) $\,\dfrac{1}{4}\phantom{XX}$ b) $\,\dfrac{3}{16}\,$
Determinar a P.G. de números reais em que $\phantom{X}a_{\large 4}\,+\,a_{\large 6}\,=\,120\phantom{X}$ e $\phantom{X}a_{\large 7}\,+\,a_{\large 9}\,=\,960\phantom{X}$.
resposta: Resolução:
Determinar a P.G. significa descobrir o primeiro termo $\;a_{\large 1}$ e a razão $\;q\;$.
Vamos dividir (II) por (I): $\,\frac{\large a_1q^6\,+\,a_1q^8}{\large a_1q^3\,+\,a_1q^5}\,=\,\frac{\large a_1q^6\,(1\,+\,q^2)}{\large a_1q^3\,(1\,+\,q^2)}\,=\,{\large\frac{960}{120}}$
(UBERABA) Na ordem em que são dados, os números x , y , z formam uma P.A. e os números $\;\;{\large \frac{1}{x}}\;,\;\;{\large \frac{1}{y}}\;,\;\;{\large \frac{1}{x\,+\,z}}\;\;$ formam uma P.G. . Pode-se concluir que:
a)
a razão da P.A. é igual a 3, qualquer que seja x .
b)
y + z = 5x
c)
a razão da P.G. é $\,{\large \frac{1}{3}}\,$
d)
yz = 8x²
e)
não existem os números x , y , z nas condições acima.
Resolver a equação $\,{\large \binom{x\,+\,2}{4}}\,=\,11\centerdot{\large \binom{x}{2}} \,$
resposta: resposta:
Resolução:
a)
Se $\,\binom{x\,+\,2}{4}\,=\,11\binom{x}{2}\,=\,0\,$, então
$\,\left\{\begin{array}{rcr} 0\, \leqslant \,x\,+\,2\lt \,4& \\ 0\,\leqslant\,x\,\lt\,2\phantom{XX} & \\ \end{array}\right.\,$
então, concluímos que x = 0 ou x = 1
b)
Se $\,\binom{x\,+\,2}{4}\,=\,11\binom{x}{2}\,\neq\,0\,$, então:
$\,\large{\frac{(x\,+\,2)!}{4!\,(x\,-\,2)!}}\;=\;\large{\frac{11\centerdot x!}{2!\,(x\,-\,2)!}}\;\Longleftrightarrow\;\large{\frac{(x\,+\,2)(x\,+\,1)\,x\,(x\,-\,1)}{4\,\centerdot \,3\,\centerdot \,2}}\,=\,\large{\frac{11\centerdot x \centerdot (x\,-\,1)}{2}}\; \Longleftrightarrow\,$
$\,\Longleftrightarrow\; (x\,+\,2)\centerdot (x\,+\,1)\;=\; 132\;\Longleftrightarrow\; x^2\,+\,3x\,-\,130\,=\,0\;\Longleftrightarrow\; x\,=\,10\;$ ou $\;x\,=\,-13\,$
c)
De (a) e (b) concluímos que o conjunto verdade da equação é $\,V\;=\;\{\,0;\,1;\,10\;\}\,$
Calcular o valor da expressão: $\,\frac{10 \, \left[ {\large \binom{3}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{3}{3} } \right]\,+\,2\,\left[\,{\large \binom{2}{2}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{4}{2}} \right]}{\large \binom{2}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{4}{2}\,+\,\binom{5}{3}}\,$
resposta:
Pela propriedade da soma na linha do triângulo de Pascal (veja a figura), temos que: $\,\binom{3}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{3}{3}\,=\,2^{\large{3}}\,=\,8$
Pela propriedade da soma na coluna do triângulo de Pascal, temos que: $\,\binom{2}{2}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{4}{2}\,=\,\binom{5}{3}\,=\,10$
Pela propriedade da soma na diagonal do triângulo de Pascal (veja a figura), temos que: $\,\binom{2}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{4}{2}\,+\,\binom{5}{3}\,=\,\binom{6}{3}\,=\,20$
(MACKENZIE) A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de $\phantom{X}(2x\,-\,5y)^{\Large n}\phantom{X}$ é 81 . Ordenando os termos segundo potências decrescentes de $\,x\,$, o termo cujo módulo do coeficiente numérico é máximo é:
(OSEC - 1982) No desenvolvmiento do binômio $\phantom{X}\left(\sqrt{\large x}\,+\,{\LARGE \frac{1}{x}}\right)^{\Large n}\phantom{X}$, com n > 0 Â , a diferença entre os coeficientes do terceiro e segundo termos é igual a 90 . Neste caso o termo independente de x no desenvolvimento pode ser o:
(PUCC - 1982) Encontre o termo independente de $\,x\,$ no desenvolvimento de $\phantom{X}\left( x^{\Large 5}\,+\,{\LARGE \frac{1}{x^5}}\right)^{\Large 10}\phantom{X}$
(FEI - MAUÁ) Calcular o valor da expressão $\phantom{X}1\,+\,\left(\frac{1}{4}\right)^{\large n}\,+\, \sum\limits_{k=1}^n \binom{n}{k}\,\left(\frac{1}{4}\right)^{n\,-\,k}\centerdot \left(\frac{3}{4}\right)^k\phantom{X}$
(FGV) A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de $\phantom{X} \left({\LARGE \frac{x^{2}}{2\,}}\,+\,{\LARGE \frac{3x^{3}}{2}} \right)^{\large 10}\phantom{X}$ é igual a:
(FGV) No desenvolvimento do binômio $\phantom{X}(a\,+\,b)^{\large n\,+\,5}\phantom{X}$, ordenado segundo as potências decrescentes de $\,a\,$, o quociente entre o termo que ocupa a (n + 3) - ésima posição por aquele que ocupa a (n + 1) - ésima é $\,{\Large \frac{2b^2}{3a^2}}\,$, isto é $\phantom{X}{\LARGE \frac{T_{n\,+\,3}}{T_{n\,+\,1}}} = {\LARGE \frac{2b^2}{3a^2}}\phantom{X}$. Então o valor de $\,n\,$ é:
(OSEC) Seja dado $\phantom{X}(2x\,+\,y)^{\large m}\,=\,$ $\,...\,+\,60x^{\large 2}y^{\large 4}\,+\,12xy^{\large 5}\,+\,y^{\large 6}\phantom{X}$. No desenvolvimento desse binômio, foram escritos apenas os três últimos termos. Sabendo-se que $\,m\,$ é inteiro, 2 <$\,m\,$< 20 , e que os termos foram ordenados segundo as potências de $\,x\,$ em ordem decrescente, então o segundo termo do desenvolvimento é:
(MACKENZIE) Para todo $\,n,p\;\in\;\mathbb{N}^*\,$, o valor de $\phantom{X}{\Large \sum\limits_{n\,=\,1}^{p}{\Large \binom{n}{n\,-\,1}}}\phantom{X}$ é, sempre,
