O valor de $\phantom{X}{\large \binom{20}{13}}\,+\,{\large \binom{20}{14}}\phantom{X}$:

$\;{\large \binom{20}{14}}\;$

$\;{\large \binom{20}{15}}\;$

$\;{\large \binom{21}{14}}\;$

$\;{\large \binom{21}{15}}\;$

$\;{\large \binom{21}{13}}\;$

resposta: Alternativa C - $\,{\Large \binom{21}{14}}\,$
×

O valor de $\phantom{X}{\Large \binom{n}{k}}\,\centerdot\,{\Large \frac{n\,-\,k}{k\,+\,1}}\;$, com $\;n,\,k\,\in\,\mathbb{N}\;$, é:

$\,{\large \binom{n}{n\,-\,k}}\,$

$\,{\large \binom{n}{k\,+\,1}}\,$

$\,{\large \binom{n\,+\,1}{k}}\,$

$\,{\large \binom{n\,+\,1}{k\,+\,1}}\,$

$\,{\large \binom{n}{k\,-\,1}}\,$

resposta: (B)
×

O valor do número binomial $\;{\large \binom{8}{3}}\;$ é:

336

resposta: alternativa B
×

O valor do número binomial $\;{\large \binom{200}{198}}\;$ é:

19900

20000

19800

39800

54600

resposta: alternativa A
×

Simplificando a expressão $\phantom{X}{\large \frac{(n\,+\,1)!\,-\,n}{(n\,-\,1)!}} \phantom{X}$, obtemos:

$n!$

${\large \frac{n\,+\,1}{n}}$

$n^2$

$n(n\,-\,1)$

$n^2\,-\,1$

resposta: alternativa C
×

(MACKENZIE) Efetuando $\phantom{X} \dfrac{1}{n!}\,-\,\dfrac{n}{(n+1)!}\phantom{X}$, obtém-se:

$\;\dfrac{1}{(n+1)!}\;$

$\;\dfrac{2}{n!}\;$

$\;\dfrac{n!(n+1)!}{n-1}\;$

$\;\dfrac{2n+1}{(n+1)!}\;$

resposta: (A)
×

Resolver a equação $\,{\large \binom{x\,+\,2}{4}}\,=\,11\centerdot{\large \binom{x}{2}} \,$

resposta: resposta: Resolução:

Se $\,\binom{x\,+\,2}{4}\,=\,11\binom{x}{2}\,=\,0\,$, então

$\,\left\{\begin{array}{rcr} 0\, \leqslant \,x\,+\,2\lt \,4& \\ 0\,\leqslant\,x\,\lt\,2\phantom{XX} & \\ \end{array}\right.\,$
então, concluímos que x = 0 ou x = 1

Se $\,\binom{x\,+\,2}{4}\,=\,11\binom{x}{2}\,\neq\,0\,$, então:

$\,\large{\frac{(x\,+\,2)!}{4!\,(x\,-\,2)!}}\;=\;\large{\frac{11\centerdot x!}{2!\,(x\,-\,2)!}}\;\Longleftrightarrow\;\large{\frac{(x\,+\,2)(x\,+\,1)\,x\,(x\,-\,1)}{4\,\centerdot \,3\,\centerdot \,2}}\,=\,\large{\frac{11\centerdot x \centerdot (x\,-\,1)}{2}}\; \Longleftrightarrow\,$

$\,\Longleftrightarrow\; (x\,+\,2)\centerdot (x\,+\,1)\;=\; 132\;\Longleftrightarrow\; x^2\,+\,3x\,-\,130\,=\,0\;\Longleftrightarrow\; x\,=\,10\;$ ou $\;x\,=\,-13\,$

De (a) e (b) concluímos que o conjunto verdade da equação é $\,V\;=\;\{\,0;\,1;\,10\;\}\,$

Calcular o valor da expressão:
$\,\frac{10 \, \left[ {\large \binom{3}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{3}{3} } \right]\,+\,2\,\left[\,{\large \binom{2}{2}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{4}{2}} \right]}{\large \binom{2}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{4}{2}\,+\,\binom{5}{3}}\,$

resposta:

Pela propriedade da soma na linha do triângulo de Pascal (veja a figura), temos que:
$\,\binom{3}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{3}{3}\,=\,2^{\large{3}}\,=\,8$

Pela propriedade da soma na coluna do triângulo de Pascal, temos que:
$\,\binom{2}{2}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{4}{2}\,=\,\binom{5}{3}\,=\,10$

Pela propriedade da soma na diagonal do triângulo de Pascal (veja a figura), temos que:
$\,\binom{2}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{4}{2}\,+\,\binom{5}{3}\,=\,\binom{6}{3}\,=\,20$

Então:
$\,\frac{10 \, \left[\large {\binom{3}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{3}{3}} \right]\,+\,2\,\left[\,\large {\binom{2}{2}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{4}{2}} \right]\phantom{XX}}{ {\large \binom{2}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{4}{2}\,+\,\binom{5}{3}}}\,=\,$ $\,\dfrac{10\centerdot 8 \,+\, 2\centerdot 10}{20}\,=\,\dfrac{100}{20}\,=\,5$

5
×

Desenvolver $\,(x\,+\,y)^{\large{4}}\,$

resposta: Resolução:

$\,(x\,+\,4)^{\large{4}}\,=\,$

$\,\binom{4}{0} x^4y^0\,+\,\binom{4}{1}x^3y^1\,+\,\binom{4}{2}x^2y^2\,+\,\binom{4}{3}x^1y^3\,+\,\binom{4}{4}x^0y^4\,=\,$

$\,=\;\;\boxed{x^4\,+\,4x^3y\,+\,6x^2y^2\,+\,4xy^3\,+\,y^4\,}$

Desenvolver $\,(x\,-\,y)^{\large{4}}\,$

resposta: Resolução:

$\,(x\,-\,y)^{\large{4}}\,=\,[x\,+\,(-y)]^{\large{4}}$

$\,\binom{4}{0} x^4(-y)^0\,+\,\binom{4}{1}x^3(-y)^1\,+\,\binom{4}{2}x^2(-y)^2\,+\,\binom{4}{3}x^1(-y)^3\,+\,\binom{4}{4}x^0(-y)^4\,=\,$

$\,=\,x^4\,-\,4x^3y\,+\,6x^2y^2\,-\,4xy^3\,+\,y^4\,$

Calcular o 6Âº termo do desenvolvimento de $\,(x\,+\,y)^{\large{15}}\,$, feito segundo expoentes decrescentes para $\,x\,$.

resposta: Resolução:

$\,T_6\,=\,T_{5\,+\,1}\,=\,\large{\binom{15}{5}}\,\centerdot \,x^{\large{15\,-\,5}}\;y^{\large{5}}\,=\,\large{\binom{15}{5}}x^{\large{10}}y^{\large{5}}$

Calcular o 10Âº termo do desenvolvimento de $\,(x\,-\,y)^{\large{12}}\,$, feito segundo expoentes crescentes para $\,x\,$.

resposta: Resolução:

$\,(x\,-\,y)^{\large{12}}\,=\,[(-y)\,+\,x]^{\large{12}}$

$\,T_{10}\,=\,T_{9\,+\,1}\,=\,\large{\binom{12}{9}}\,\centerdot \,(-y)^{\large{12\,-\,9}}\;x^{\large{9}}\,=\,-\large{\binom{12}{9}}y^{\large{3}}x^{\large{9}}$

Calcular o termo independente de $\,x\,$, no desenvolvimento de $\,\left(x\,+\,{\LARGE \frac{1}{x^2}}\right)^{\large{12}}\,$

resposta: Resolução:

$\,T_{k\,+\,1}\;=\;{\LARGE \binom{12}{k}}\,\centerdot\,x^{\large 12\,-\,k}\,\centerdot \,\left( x^{\large -2}\right)^{\large k} \;=\; {\LARGE \binom{12}{k}}\,\centerdot \,x^{\large 12\,-\,k}\,\centerdot x^{\large -2k} \;=\;{\LARGE \binom{12}{k}}x^{\large 12\,-\,3k} \,$

Se o termo é independente de $\,x\,$, então $\;12\,-\,3k\,=\,0\;\Leftrightarrow\;k\,=\,4\,$

Portanto: $\,T_{\large k\,+\,1}\;=\;T_{\large 4\,+\,1}\;=\;{\LARGE \binom{12}{4}}x^{\large 0} \;=\;{\LARGE \binom{12}{4}}\,$

Calcular o termo de grau 15 no desenvolvimento de $\,\left( x^{\large 3}\,- {\LARGE \frac{1}{x^2}}\right)^{\large 15}\,$

resposta: Resolução:

$\,T_{\large k + 1} \,=\,(-1)^{\large k}\,\centerdot \, {\LARGE \binom{15}{k}} \, \centerdot \, (x^{\large 3})^{\large 15\,-\,k}(x^{\large -2})^{\large k}\,$

$\,=\,(-1)^{\large k} {\LARGE \binom{15}{k}} \, \centerdot \, x^{\large 45\,-\,3k} \centerdot x^{\large -2k}\,$

$\,=\,(-1)^{\large k}\, \centerdot \, {\LARGE \binom{15}{k}} \, \centerdot \, x^{\large 45\,-\,5k}\,$

Se o termo é de grau 15, então $\,45\,-\,5k\,=\,15\;\Longleftrightarrow \; k\,=\,6\,$

Portanto $\,T_{\large 6 + 1} \,=\,(-1)^{\large 6}{\LARGE \binom{15}{6}}x^{\large 45\,-\,5\,\centerdot \, 6}\,=\,$

$\,{\LARGE \binom{15}{6}}x^{\large 15}\,$

(FGV) Simplificando $\phantom{X}\frac{5M!\,-\,2(M\,-\,1)!}{M!}\phantom{X}$ obtemos:

$\,\frac{5M\,-\,2}{M}\,$

$\,\frac{5\,-\,2M}{M}\,$

$\,\frac{5M\,-\,2}{M\,-\,1}\,$

$\,\frac{5M\,-\,2}{M!}\,$

$\,\frac{5\,-\,2M}{(M\,-\,1)!}\,$

resposta: (A)
×

(OSEC) Simplificando-se $\phantom{X}{\Large \frac{(n!)^2\,-\,(n\,-\,1)!\;n!}{(n\,-\,1)!\;n!}}\phantom{X}$ obtém-se:

$\,n\,-\,1\,$

$\,(n!)^{\large 2}\,$

$\,1\,$

$\,n!\,$

$\,n\,$

resposta: alternativa A
×

(OSEC) Simplificando-se $\phantom{X} \dfrac{(n!)^2\,+\,(n\,+\,1)!\;n!}{(n\,+\,2)!\;n!}\phantom{X}$ obtém-se:

$\,\frac{n}{n\,+\,2}\,$

$\,\frac{(n!)^2\,+\,(n\,+\,1)!}{(n\,+\,2)!}\,$

$\,\frac{1}{n\,+\,1}\,$

$\,\frac{n!\,+\,1}{n\,+\,2}\,$

$\,\frac{2}{n\,+\,2}\,$

resposta: (C)
×

(MACKENZIE) A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de $\phantom{X}(2x\,-\,5y)^{\Large n}\phantom{X}$ é 81 . Ordenando os termos segundo potências decrescentes de $\,x\,$, o termo cujo módulo do coeficiente numérico é máximo é:

o segundo

o terceiro

o quarto

o quinto

o sexto

resposta: alternativa C
×

(OSEC - 1982) No desenvolvmiento do binômio $\phantom{X}\left(\sqrt{\large x}\,+\,{\LARGE \frac{1}{x}}\right)^{\Large n}\phantom{X}$, com n > 0 Â , a diferença entre os coeficientes do terceiro e segundo termos é igual a 90 . Neste caso o termo independente de x no desenvolvimento pode ser o:

terceiro

quarto

sexto

sétimo

quinto

resposta: alternativa C
×

(PUCC - 1982) Encontre o termo independente de $\,x\,$ no desenvolvimento de $\phantom{X}\left( x^{\Large 5}\,+\,{\LARGE \frac{1}{x^5}}\right)^{\Large 10}\phantom{X}$

resposta: $\,T_{\Large 6}\,=\,{\LARGE \binom{10}{5}}\,$
×

(FEI - MAUÁ) Calcular o valor da expressão $\phantom{X}1\,+\,\left(\frac{1}{4}\right)^{\large n}\,+\, \sum\limits_{k=1}^n \binom{n}{k}\,\left(\frac{1}{4}\right)^{n\,-\,k}\centerdot \left(\frac{3}{4}\right)^k\phantom{X}$

resposta: 2
×

(FGV) A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de $\phantom{X} \left({\LARGE \frac{x^{2}}{2\,}}\,+\,{\LARGE \frac{3x^{3}}{2}} \right)^{\large 10}\phantom{X}$ é igual a:

$\,1024\,$

$\,1024^{\Large -1}\,$

$\,512\,$

$\,3^{\Large 10}\,$

$\,512^{\Large -1}\,$

resposta: alternativa A
×

Calcular a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de $\;(3x\,+\,2y)^{\large5}\,$

resposta: 3125
×

(FGV) No desenvolvimento do binômio $\phantom{X}(a\,+\,b)^{\large n\,+\,5}\phantom{X}$, ordenado segundo as potências decrescentes de $\,a\,$, o quociente entre o termo que ocupa a (n + 3) - ésima posição por aquele que ocupa a (n + 1) - ésima é $\,{\Large \frac{2b^2}{3a^2}}\,$, isto é $\phantom{X}{\LARGE \frac{T_{n\,+\,3}}{T_{n\,+\,1}}} = {\LARGE \frac{2b^2}{3a^2}}\phantom{X}$. Então o valor de $\,n\,$ é:

resposta: alternativa A
×

(OSEC) Seja dado $\phantom{X}(2x\,+\,y)^{\large m}\,=\,$ $\,...\,+\,60x^{\large 2}y^{\large 4}\,+\,12xy^{\large 5}\,+\,y^{\large 6}\phantom{X}$.
No desenvolvimento desse binômio, foram escritos apenas os três últimos termos. Sabendo-se que $\,m\,$ é inteiro, 2 <$\,m\,$< 20 , e que os termos foram ordenados segundo as potências de $\,x\,$ em ordem decrescente, então o segundo termo do desenvolvimento é:

$\,6x^{\large 5}y\,$

$\,12x^{\large 5}y\,$

$\,24x^{\large 5}y\,$

$\,192x^{\large 5}y\,$

$\,12^{\large 5}x^{\large 5}y\,$

resposta: (D)
×

Se $\,{\Large \binom{n}{k}}\,=\,{\Large \binom{n}{p}}\,\neq \,0\,$, então, obrigatoriamente:

k = p

k + p = n

k = n

k = p = n/2

k = p ou k + p = n

resposta: (E)
×

(PUC) Se $\;{\Large \binom{m\,-\,1}{p\,-\,1}}\;=\,10\;$ e $\;{\Large \binom{m}{m\,-\,p}}\;=\,55\;$, então $\;{\Large \binom{m\,-\,1}{p}}\;$ é igual a:

resposta: alternativa B
×

Empregando as propriedades do triângulo de Pascal, achar o valor das seguintes somas:

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,0}^{10}} {\Large \binom{10}{p}}\,$

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,0}^{9}} {\Large \binom{10}{p}}\,$

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,2}^{9}} {\Large \binom{9}{p}}\,$

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,4}^{10}} {\Large \binom{p}{4}}\,$

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,5}^{10}} {\Large \binom{p}{5}}\,$

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,0}^{7}} {\Large \binom{3\,+\,p}{p}}\,$

$\,{\Large \sum\limits_{p\,=\,0}^{3}} {\Large \binom{8\,+\,p}{p}}\,$

resposta:

1024

1023

502

462

330

220

(PUC) O valor de $\,x\,$ na equação $\phantom{X}{\large \binom{2n}{n}}\,=\,x{\large \binom{2n}{n\,-\,1}}\phantom{X}$ é:

$\,\frac{n\,+\,1}{n}\,$

$\,\frac{n\,-\,1}{n}\,$

$\,\frac{1\,-\,n}{n}\,$

$\,\frac{2n\,+\,1}{n}\,$

$\,\frac{2n\,-\,1}{n}\,$

resposta: (A)
×

Resolver a equação $\phantom{X}{\Large \binom{14}{5\,-\,x}}\,=\,{\Large \binom{14}{5x\,-\,7}}\,\neq\,0\phantom{X}$

resposta: S = { 2, 4}
×

Resolver a equação $\phantom{X}2{\Large \binom{x\,+\,1}{4}}\,=\,7{\Large \binom{x\,-\,1}{2}}\phantom{X}$

resposta: S = {1, 2, 6}
×

(FEI) Calcular $\,p\,\;$, p > 3 , sendo dado:

$\,\frac{\LARGE \binom{p\,-\,1}{2} \,+\,\binom{p\,-\,1}{3}}{\LARGE \binom{p}{2}\,-\,\binom{p\,-\,1}{1}} \,=\,{\Large \frac{5}{3}}\,$

resposta: p = 5
×

(MAUÁ) Resolver a equação $\phantom{X}{\Large \binom{n\,-\,1}{2}}\,=\,{\Large \binom{n\,+\,1}{4}}\phantom{X}$

resposta: S = {1;2;3}
×

Resolver a equação $\phantom{X}{\Large \binom{15}{3\,-\,x}}\,=\,{\Large \binom{15}{2x}}\phantom{X}$

resposta: {1}
×

Resolver a equação $\phantom{X}2{\Large \binom{x}{x\,-\,4}}\,=\,5{\Large \binom{x}{x\,-\,2}}\phantom{X}$

resposta: {8}
×

Sejam $\,n, p\;\in\;\mathbb{N}^*\,$ e $\,x\;\in\;\mathbb{Z}\,$. Resolver a equação em $\,x\,$.

$\phantom{X}x^2\,-\,{\large \binom{n}{p}}x\,+\,{\large \binom{n\,-\,1}{p\,-\,1}}\centerdot{\large \binom{n\,-\,1}{p}}\;=\;0\phantom{X}$

resposta: $\,\left\{ {\large \binom{n\,-\,1}{p\,-\,1}}\; ; \; {\large \binom{n\,-\,1}{p}} \right\}\,$
×

(ITA) Quanto vale $\phantom{X}{\large \binom{n}{0}}\,+\,{\large \binom{n}{1}}\,+\,{\large \binom{n}{2}}\,+\; ...\;+\,{\large \binom{n}{n}}\phantom{X}$ ?

resposta: $\,2^{\Large n}\,$
×

(MACKENZIE) Para todo $\,n,p\;\in\;\mathbb{N}^*\,$, o valor de $\phantom{X}{\Large \sum\limits_{n\,=\,1}^{p}{\Large \binom{n}{n\,-\,1}}}\phantom{X}$ é, sempre,

$\,2^{\large p}\,$

$\,{\large \frac{p(p\,+\,1)}{2}}\,$

$\,{\large \binom{p\,+\,1}{p}}\,$

$\,{\large \binom{p\,+\,2}{p\,-\,2}}\,$

$\,{\large \binom{n\,+\,2}{n\,+\,1}}\,$

resposta: alternativa B
×

(FGV) O valor de $\,m\,$ que satisfaz a sentença $\phantom{X}{\Large \sum\limits_{k\,=\,0}^{m}{\Large \binom{m}{k}}}\;=\;512\phantom{X}$ é:

resposta: alternativa E
×

Desenvolver $\phantom{X}(x\,+\,y)^{\Large 6}\phantom{X}$

resposta: $\:x^{\large 6}\,+\,6x^{\large 5}y\,+\,15x^{\large 4}y^{\large 2}\,+$ $\,20x^{\large 3}y^{\large 3}\,+\,15x^{\large 2}y^{\large 4}\,+\,6xy^{\large 5}\,+ \,y^{\large 6}\;$
×

Desenvolver $\;(x\,+\,3)^{\Large 4}$

resposta: $\;x^{\Large 4}\,+\,12x^{\Large 3}\,+\,54x^{\Large 2}\,+\,108x\,+\,81\;$
×

Desenvolver $\;(2x\,+\,5)^{\Large 4}$

resposta: $\;16x^{\Large 4}\,+\,160x^{\Large 3}\,+\,600x^{\Large 2}\,+\,1000x\,+\,625\;$
×

Desenvolver $\;(x\,-\,2)^{\Large 5}$

resposta: $\;x^{\Large 5}\,-\,10x^{\Large 4}\,+\,40x^{\Large 3}\,-\,80x^{\Large 2}\,+\,80x\,-\,32\;$
×

(MAUÁ) Calcular $\,a\,$ e $\,b\,$, sabendo-se que $\,(a\,+\,b)^{\large 3}\,=\,64\,$ e que
$\,a^{\large 5}\,-\,{\large \binom{5}{1}}a^{\large 4}b\,+\,$ $\,{\large \binom{5}{2}}a^{\large 3}b^{\large 2}\,-\,{\large \binom{5}{3}}a^{\large 2}b^{\large 3}\,+\,$ $\,{\large \binom{5}{4}}ab^{\large 4}\,-\,b^{\large 5}\,=\,-32\;$.

resposta: a = 1 ; b = 3
×

Desenvolver $\phantom{X}\left( {\large \sqrt{x}}\,-\,{\LARGE \frac{1}{\sqrt{x}}}\right)^{\Large 4}\phantom{X}$

resposta: $\,x^{\Large 2}\,-\,4x\,+\,6\,-\,{\Large \frac{4}{x}}\,+\,{\Large \frac{1}{x^2}}$
×

Calcular o termo médio no desenvolvimento de $\phantom{X}\left( {\large \sqrt{2}}\,x\;-\;{\large \sqrt{5}}\,y \right)^{\Large 10}\phantom{X}$

resposta: $\,-25200{\large \sqrt{10}}x^{\Large 5}y^{\Large 5}\,$
×

Calcular o termo independente de $\,x\,$ no desenvolvimento de $\phantom{X}\left( {\LARGE \frac{1}{x^2}}\,+\,\sqrt[{\LARGE 4}]{x}\right)^{\Large 18}\phantom{X}$.

resposta: 153
×

(PUC) No desenvolvimento do binômio $\,\left( x\,+\,{\Large\frac{4}{3x}}\right)^{\Large 8}\,$, o termo independente de $\,x\,$ é o:

1º

3º

2º

5º

4º

resposta: alternativa D
×

Calcular $\,{\large n}\,$, de modo que seja independente de $\,{\large x}\,$ o 4Âº termo de $\phantom{X}\left( x^{\large 3}\,+\,{\LARGE \frac{1}{x^2} } \right)^{\Large n}\phantom{X}$, no desenvolvimento feito segundo expoentes decrescentes para $\,x\,$.

resposta: 5
×

Calcular o termo de grau 2 no desenvolvimento de $\phantom{X}\left( x^{\large 2}\,+\,{\LARGE \frac{1}{x^3} } \right)^{\Large 12}\phantom{X}$.

resposta: $\,\nexists\,$ (não existe)
×

(MACKENZIE) Um dos termos no desenvolvimento de $\phantom{X}(x\,+\,3a)^{\Large 5}\phantom{X}$ é $\,360x^{\Large 3}\,$. Sabendo-se que $\,a\,$ não depende de $\,x\,$, o valor de $\,a\,$ é:

$\,\pm 1\,$

$\,\pm 2\,$

$\,\pm 3\,$

$\,\pm 4\,$

$\,\pm 5\,$

resposta: alternativa B
×

(FEI) Dados os binômios $\,A(x)\,=\,x^{\Large 3}\,+\,1\,$ e $\,B(x)\,=\,x^{\Large 3}\,-\,1\,$:

a) Determine k e n, tais que o 4Âº termo da expansão binomial de $\phantom{X}\left[ B(x) \right]^{\Large n}\phantom{X}$, feita segundo os expoentes decrescentes de x, seja $\,k \centerdot x^{\Large 6}\,$.

b) Se n é ímpar, ache a soma dos coeficientes do polinômio $\phantom{X}\left[ A(x) \right]^{\Large n}\left[ B(x) \right]^{\Large n}\phantom{X}$.

resposta: a) k = -10 ; n = 5
b) zero.
×

(MACKENZIE) O coeficiente do termo em $\,x^{\large -3}\;$ no desenvolvimento de $\phantom{X}\left( \sqrt{\large x}\,+\,{\LARGE \frac{1}{x}}\right)^{\Large 6}\phantom{X}$ é:

inexistente

resposta: alternativa D
×

(CESGRANRIO) O coeficiente de $\,x^{\large 4}\,$ no polinômio $\phantom{X}P(x)\,=\,(x\,+\,2)^{\large 6}\phantom{X}$ é:

resposta: alternativa B
×

(CESGRANRIO) O coeficiente de $\,x\,$ no desenvolvimento de $\phantom{X}(x\,+\,{\Large \frac{1}{2}})^{\large 21}\phantom{X}$ é:

$\,{\large \frac{21}{\,2^{20}}}\,$

$\,{\large \frac{1}{\,2^{20}}}\,$

$\,{\large \frac{20!}{21}}\,$

$\,21\,$

$\,{\large \frac{1}{2}}\,$

resposta: (A)
×

(MAUÁ) No binômio $\,\left( x^{\large 3}\,+\,\frac{1}{\Large y^2} \right)^{\Large 25}\,$, escreva o termo que contém $\,x^{\large 9}\,$, calculando o respectivo coeficiente.

resposta:

O termo geral(***) do binômio é dado pela fórmula:
$\phantom{X} T_{\large k\,+\,1}\;=\;\binom{n}{k}x^{\large n\,-\,k} y^{\large k}\phantom{X}$

O termo contém $\,x^9\,$ então $\,(x^3)^{\large n - k} = x^9\; \Rightarrow\;3(n\;-\;k)\;=\;9\;\Rightarrow $ $\;(n\;-\;k)\;=\;3\,$
O expoente da expressão é 25, então $\,n = 25\,$.
$\phantom{X}(\;25\;-\;k\;)\;=\;3\;\Rightarrow\;k\;=\;22\phantom{X}$
Vamos usar a fórmula(***) do termo geral dada acima:
$\phantom{X}T_{\large 22 + 1} = {\large \binom{25}{22}} \left( x^{\large 3} \right)^{\large 3} \left(\dfrac{\,1\,}{\;y^2\;}\right)^{\large 22}\phantom{X}$
$\phantom{X}{\large \binom{n}{k}} = \dfrac{n!}{(n-k)!(k)!}\phantom{X}$
$\phantom{X}{\large \binom{25}{22}}\;=\;\dfrac{25!}{(25-22)!(22)!}\phantom{X}\;\Rightarrow$ $\phantom{X} \dfrac{25\centerdot\,24\,\centerdot\,23\,\centerdot\,22!}{3!\,22!}\phantom{X}\,=$ $\phantom{X}\dfrac{25\centerdot\,24\,\centerdot\,23}{3\,\centerdot\,2\,\centerdot\,1}\phantom{X}\,=$ $\phantom{X}{25\centerdot\,4\,\centerdot\,23}\phantom{X}\,=\,2300\;$

$\phantom{X} T_{\large 23}\;=\;2300x^{\large 9} \dfrac{1}{y^{\large 44}}\phantom{X}$
×

(MACKENZIE) No desenvolvimento de $\,(2x\,+\,b)^{\Large 5}\,$, $\,b\,\neq\,0\,$, o coeficiente numérico do termo em $\,x^{\Large 4}\,$ é oito vezes aquele do termo em $\,x^{\Large 3}\,$. Então, $\,{\large b}\,$ vale:

$\,{\large \frac{1}{8}}\,$

$\,{\large \frac{1}{4}}\,$

$\,{\large \frac{1}{2}}\,$

resposta: (A)
×

(FGV) A razão entre os quintos termos dos desenvolvimentos, em ordem decrescente das potências de $\,x\,$, dos binõmios $\phantom{X}(2x^{\large 2}\,+\,a)^{\Large m}\phantom{X}$ e $\phantom{X}(2x^{\large 2}\,-\,a)^{\Large m}\;, (m \gt 0),\phantom{X}$ é igual a:

$2^{\large m\,-\,4}\,$

$(-2)^{\large m\,-\,4}\,$

-1

resposta: (B)
×

(FEI) Dado um número natural $\,{\large n}\,$, chama-se função fatorial de grau $\,n\,$ o produto:$\phantom{X}x^{\Large (n)}\,=\,x(x\,-\,1)(x\,-\,2)...$ $[x\,-\,(n\,-\,1)]\phantom{X}$.

a) Calcular $\phantom{X}2^{\Large (3)}\phantom{X}$.
b) Resolver a equação $\phantom{X}x^{\Large (2)}\,=\,2\phantom{X}$.

resposta: a)0 (zero) ; b) S = {-1}
×

Resolver a equação $\phantom{X}\dbinom{x}{3}\centerdot 3!\;=\;24\centerdot \dbinom{x\,-\,2}{2}\;\ne\;0\phantom{X}$

resposta: V = {4, 9}
×

Resolver a equação $\phantom{X}\dbinom{12}{2\,-\,x}\;=\;\dbinom{12}{2\,-\,3x}\;\ne\;0\phantom{X}$

resposta: V = {0, -2}
×

(SANTA CASA) A equação $\phantom{X}\dfrac{\;\dbinom{k\,+\,1}{2}\;+\;\dbinom{k\,+\,1}{3}\;}{\dbinom{k\,+\,2}{5}}\;=\;1\phantom{X}$

não admite soluções.

admite uma solução entre 1 e 5

admite uma solução entre 5 e 12

admite uma solução entre 12 e 20

admite uma solução maior que 20

resposta: (C)
×

Completar as igualdades abaixo:

$\,\dbinom{0}{0}\;=\;\dbinom{1}{0}\;=\;\dbinom{2}{0}\;=\;...\;=\;\dbinom{n}{0}\;=\;$

$\,\dbinom{0}{0}\;=\;\dbinom{1}{1}\;=\;\dbinom{2}{2}\;=\;...\;=\;\dbinom{n}{n}\;=\;$

$\,\dbinom{7}{3}\;+\;\dbinom{7}{4}\;=\;$

resposta: a) 1 b) 1 c) $\,\dbinom{8}{4}\,=\,70\,$ (relação de Stifel: $\binom{n}{k}\,+\,\binom{n}{k+1}\,=\,\binom{n+1}{k+1}$)
×

O termo geral(***) do binômio é dado pela fórmula:$\phantom{X} T_{\large k\,+\,1}\;=\;\binom{n}{k}x^{\large n\,-\,k} y^{\large k}\phantom{X}$

O termo geral(***) do binômio é dado pela fórmula:
$\phantom{X} T_{\large k\,+\,1}\;=\;\binom{n}{k}x^{\large n\,-\,k} y^{\large k}\phantom{X}$