Exercícios sobre

(E. E. LINS - 1968) Dados os vértices $\;P(1,1)\,$, $\;Q(3,-4)\,$ e $\;R(-5,2)\,$ de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice $\;Q\;$ é:

$12$

$10$

$15$

$\dfrac{\sqrt{221}}{2}$

nenhuma das respostas anteriores

resposta: Alternativa D
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(EPUSP - 1966) Seja C o ponto de encontro das medianas do triângulo OAB de ângulo reto A . Sendo O = (0 , 0) e A = (3 , 0) , a abscissa de C :

é inferior a 1

é 1

é 1,5

só pode ser conhecida se for dada a ordenada de B

nenhuma das respostas anteriores

resposta: alternativa E
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(ITA - 1979) Considere o triângulo ABC , onde AD é a mediana relativa do lado BC . Por um ponto arbitrário M do segmento BD , tracemos o segmento MP paralelo a AD , onde P é o ponto de intersecção desta paralela com o prolongamento do lado AC . Se N é o ponto de intersecção de AB com MP , podemos afirmar que:

MN + MP = 2BM

MN + MP = 2CM

MN + MP = 2AB

MN + MP = 2AD

MN + MP = 2AC

triângulo ABC com mediana AD e prolongamento de AC

resposta:

Resolução:

1.$\;\overline{MN}\;$ é paralelo a $\;\overline{AD}\;$ e $\;\overline{AD}\;$ é paralelo a $\;\overline{MP}\;$
$MN // AD\;\Rightarrow\;$ $\;\triangle BMN\thicksim\triangle BDA\;\Rightarrow\;\dfrac{MN}{DA}\,=\,\dfrac{BM}{BD}\;\Rightarrow\;$ $\;MN\,=\,DA\centerdot\, \dfrac{BM}{BD}\phantom{X}$(I)

$AD // MP\;\Rightarrow\;\triangle MPC\thicksim\triangle DAC\;\Rightarrow\;$ $\; \dfrac{MP}{DA}\,=\, \dfrac{MC}{DC}\;\Rightarrow\;$ $\;MP\,=\,DA\centerdot\,\dfrac{MC}{DC}\phantom{X}$(II)

2. Fazendo a soma (I) + (II):

$\;MN\,+\,MP\,=\,$ $\,DA\,\centerdot\,\dfrac{BM}{BD}\,+\,DA\,\centerdot\,\dfrac{MC}{DC}\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,(\dfrac{BM}{BD}\,+\, \dfrac{MC}{DC})$

3.$\;AD\;$ é a mediana relativa ao lado $\;BC\;\Rightarrow\;D\;$ é ponto médio de $\;BC\;\Rightarrow\;BD\,=\,DC\;$.

$\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\left(\dfrac{BM}{BD}\,+\, \dfrac{MC}{BD}\right)\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\left(\dfrac{BM + MC}{BD}\right)$

4. Da figura, $\;BM\,+\,MC\,=\,BC\;$, então concluimos que:

$\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\left( \dfrac{BC}{BD}\right)\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\, \dfrac{(BD\,+\,DC)}{BD}\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\dfrac{(BD\,+\,BD)}{BD}\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\, \dfrac{2(BD)}{BD}\;\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,2\;\Leftrightarrow\;$

$\;\boxed{\;MN\,+\,MP\,=\,2\,\centerdot\,DA\;}$

Resposta:

(D)

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(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?

resposta:

Resolução:
a)

triângulo retângulo inscrito na circunferência

Seja $\,\triangle ABC\,$ o triângulo retângulo como na figura, com ângulo $\,\hat{C}\,$ de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro $\,M\,$ circunscrita ao $\,\triangle ABC\,$.O ângulo $\,B\hat{A}C\,$ é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente $\,B\hat{M}C\,$. Portanto a medida de $\,B\hat{M}C\,$ é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento $\,\overline{BC}\,$, é um diâmetro da circunferência de centro $\,M\,$, e que $\,M\,$ (centro) é ponto médio de $\,\overline{BC}\,$. Sendo $\,\overline{AM}\,$ um raio da circunferência, então a medida de $\,\overline{AM}\,$ é igual à metade da medida do diâmetro $\,\overline{BC}\,$.
Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio)
b)

Como a $\,\overline{AM}\,$ e $\,\overline{MC}\,$ têm a mesma medida, então o $\,\triangle AMC\,$ é isósceles e portanto: $\,M\hat{A}C\,=\,M\hat{C}A\,=\,20^o\,$.
Sendo $\,\overline{AS}\,$ bissetriz de $\,\hat{A}\,$ de medida 90°, então $\,C\hat{A}S\,=\,45^o\,$, donde concluímos que:
$\,S\hat{A}M\,=\,S\hat{A}C\,-\,M\hat{A}C\;\Rightarrow\;S\hat{A}M\,=\,45^o\,-\,20^o\,=\,25^o$
resposta

a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e
b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°

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(ITA - 2005) Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a

$\,\dfrac{\;4\;}{5}\,$

$\,\dfrac{(2\,+\,\sqrt{\;3\;})}{5}\,$

$\,(\dfrac{\;1\;}{2})\sqrt{(2\,+\,\sqrt{3})}\,$

$\,(\dfrac{\;1\;}{4})\sqrt{(4\,+\,\sqrt{3})}\,$

$\,(\dfrac{\;1\;}{3})\sqrt{(2\,+\,\sqrt{3})}\,$

resposta: (C)
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