Exercícios sobre matrizes e determinantes

(ITA - 2004) Seja $\;x\in\mathbb{R}\;$ e a matriz $\; A = \begin{bmatrix} 2^{\large x} & (x^2 + 1)^{-1} \\ 2^{\large x} & log_2 5 \end{bmatrix}$. Assinale a opção correta:

$\forall \; x \in \mathbb{R}$, $A$ possui inversa.

Apenas para $ x > 0$, $ A $ possui inversa.

São apenas dois os valores de $x$ para os quais $A$ possui inversa.

Não existe valor de $x$ para o qual $A$ possui inversa.

Para $x = log_2 5$, $A$ não possui inversa.

resposta: (A)
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(ITA - 2004) Considere as afirmações dadas a seguir em que A é uma matriz quadrada $n \times n, \; n \geqslant 2\;$:

O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.

II.

Se $\;A = (a_{ij})\;$ é tal que $\;a_{ij}\,=\,0\;$ para $\;i\,>\,j\;$, com $\;i,j\,=\,1,\,2, ...., n\;$, então $\;det A\, =\, a_{11} a_{22} ... a_{nn}\;$.

III.

Se B for obtida de A multiplicando-se a primeira coluna por $\; \sqrt{2} \, + \, 1\; $ e a segunda por $\;\sqrt{2}\, - \, 1\;$, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então $\;det B\, =\, det A\;$.

Então podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)

apenas II.

apenas III.

apenas I e III.

apenas II e III.

todas.

resposta: (D)
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(ITA - 2004) Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos $\;(x,y)\;$ do plano que satisfazem a equação:

$ det \begin{bmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ 40 & 2 & 6 & 1 \\ 4 & 2 & 0 & 1 \\ 34 & 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} = 288 \;$ .

a) Uma elipse.
b) Uma parábola.
c) Uma circunferência.
d) Uma hipérbole.
e) Uma reta.

resposta: alternativa C
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(PUC) A matriz $\phantom{X}A\,=\,(a_{\large ij})\phantom{X}$ é quadrada de ordem 2
com$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large ij}\,=\,2i\,-\,j\;\; & \mbox{ para }\; i\,=\,j \\ a_{\large ij}\,=\,3i\,-\,2j & \mbox{ para }\; i\,\neq\,j \\ \end{array} \right.\,$
O determinante de $\,A\,$ é igual a:

resposta: Alternativa E
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(ABC) Sejam as matrizes $\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\;$ e $\;B\;=\;\begin{pmatrix} a& b\; \\ c& d \end{pmatrix} \phantom{X}\,$
Se o determinante de $\,AB\,$ é igual a zero, então, necessariamente, devemos ter:

$\;ab + cd = 0\;$

$\;a = 0\;$ e $\;b = 0\;$

$\;ad - bc = 0\;$

$\;a + c = 0\;$ e $\;b + d = 0\;$

e) $\;a = b = c = d = 0\;$

resposta: Alternativa C
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(UFG) Se $\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\phantom{X}$ então os valores de $\,{\large \lambda}\,$, tais que o determinante da matriz $\,A^{\large 2}\,-\,{\large \lambda}I_2\,$ é igual a zero, são:

somente $\,{\large \lambda}\,=\,0\,$

$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,2\,$

qualquer que seja $\,{\large \lambda}\,$ real

$\,{\large \lambda}\,=\,4\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,2\,$

$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,4\,$

resposta: Alternativa E
Resolução:
$\,I_2\,$ é representação da matriz identidade de ordem 2, a saber $\;\begin{pmatrix} 1& 0\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\phantom{X}$.

$\,A^{\large 2}\,= \;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\,\centerdot\,\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $\;\begin{pmatrix} 1+1& 1+1\; \\ 1+1& 1+1 \end{pmatrix}\phantom{X}\;\Rightarrow\;$ $\;\begin{pmatrix} 2& 2\; \\ 2& 2 \end{pmatrix}$

$\,{\large \lambda}I_2\;=\;{\large \lambda}\centerdot\begin{pmatrix} 1& 0\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\;=\;$ $\begin{pmatrix} {\large \lambda}& 0\; \\ 0& {\large \lambda} \end{pmatrix}\;$

Então
$\,A^2 \,-\,\lambda I_2\;=\;\begin{pmatrix} 2& 2\; \\ 2& 2 \end{pmatrix}\, - \,\begin{pmatrix} {\large \lambda}& 0\; \\ 0& {\large \lambda} \end{pmatrix}\,=$ $\,\begin{pmatrix} 2-{\large \lambda}& 2\; \\ 2& 2-{\large \lambda} \end{pmatrix}$

O determinante de $\,\begin{pmatrix} 2-{\large \lambda}& 2\; \\ 2& 2-{\large \lambda} \end{pmatrix}\,$ é $\,(2\,-\,{\large \lambda})^{\large 2}\,-\,2^{\large 2}\,=$ $\,(2\,-\,{\large \lambda})^{\large 2}\,-\,4\,=\,0\Rightarrow\;$ $\,2^2\,-\,4{\large \lambda}\,+\,{\large \lambda}^2\,-\,4\,=\,0\;\Rightarrow\;$ ${\large \lambda}^2\,-\,4{\large \lambda}\,=\,0\;\Rightarrow\,$ $\,\left\{\begin{array}{rcr} &{\large \lambda}\,=\,0\;\mbox{ ou } \\ &{\large \lambda}\,=\,4\phantom{XX} \\ \end{array} \right.\,$
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