Lista de exercícios do ensino médio para impressão
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(ITA - 2004) Considere as afirmações dadas a seguir em que A é uma matriz quadrada $n \times n, \; n \geqslant 2\;$:
I.
O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.
II.
Se $\;A = (a_{ij})\;$ é tal que $\;a_{ij}\,=\,0\;$ para $\;i\,>\,j\;$, com $\;i,j\,=\,1,\,2, ...., n\;$, então $\;det A\, =\, a_{11} a_{22} ... a_{nn}\;$.
III.
Se B for obtida de A multiplicando-se a primeira coluna por $\; \sqrt{2} \, + \, 1\; $ e a segunda por $\;\sqrt{2}\, - \, 1\;$, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então $\;det B\, =\, det A\;$.
Então podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)
a)
apenas II.
b)
apenas III.
c)
apenas I e III.
d)
apenas II e III.
e)
todas.

 



resposta: (D)
×
(UBERABA) Se $\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})\phantom{X}$ é a matriz quadrada de ordem 2, tal que $\phantom{X}{\large a_{ij}}\,=\,{\large (\;i\,)^j}\;,\,\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - i\,,\,\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - j\, \in\,\,\lbrace\,1\,;\,2\,\rbrace\phantom{X}$, então:
a)
$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 1 \\ 2& 4 \end{bmatrix}$

b)
$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 1& 4 \end{bmatrix}$
c)
$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 2& 4 \end{bmatrix}$
d)
$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 2& 1 \end{bmatrix}$
e)
$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 4 \\ 1& 2 \end{bmatrix}$

 



resposta: alternativa A
×
(MED JUNDIAÍ) A matriz transposta da matriz quadrada $\;A\,=\,({\large a_{ij}})\;$ de ordem 2 com $\;{ \large a_{ij}}\,=\,{\large i^j}\,+\,2\;\;,$ $\;1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,2\;\;,$ $\;1\,\leqslant\,j\leqslant\,2 \phantom{X}$, é:
a)
$\begin{bmatrix} 2& 4 \\ 4& 6 \end{bmatrix}$
b)
$\begin{bmatrix} 3& 4 \\ 4& 6 \end{bmatrix}$
c)
$\begin{bmatrix} 3& 4 \\ 3& 6 \end{bmatrix}$
d)
$\begin{bmatrix} 3& 3 \\ 6& 4 \end{bmatrix}$
e)
$\begin{bmatrix} 2& 3 \\ 4& 6 \end{bmatrix}$

 



resposta: (C)
×
(ITA - 1990) Sejam A, B e C matrizes quadradas n x n tais que A e B são inversíveis e ABCA = $\,A^t\,$, onde $\,A^t\,$ é a transposta da matriz A. Então, podemos afirmar que:
a)
C é inversível e $\,det C\,=\,det(AB)^{-1}\,$
b)
C é inversível e $\,det C\,=\,det(A)^{2}\centerdot det B$
c)
C não é inversível pois $\,det C\,=\,0\,$
d)
C é inversível e $\,det C\,=\,\dfrac{detA}{det B}\,$
e)
C é inversível e $\,det C\,=\,det B\,$

Nota: det X denota o determinante da matriz quadrada X.


 



resposta: (A)
×
(PUC) A matriz $\phantom{X}A\,=\,(a_{\large ij})\phantom{X}$ é quadrada de ordem 2
com$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large ij}\,=\,2i\,-\,j\;\; & \mbox{ para }\; i\,=\,j \\ a_{\large ij}\,=\,3i\,-\,2j & \mbox{ para }\; i\,\neq\,j \\ \end{array} \right.\,$
O determinante de $\,A\,$ é igual a:
a)
1
b)
2
c)
4
d)
5
e)
6

 



resposta: Alternativa E
×
(ABC) Sejam as matrizes $\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\;$ e $\;B\;=\;\begin{pmatrix} a& b\; \\ c& d \end{pmatrix} \phantom{X}\,$
Se o determinante de $\,AB\,$ é igual a zero, então, necessariamente, devemos ter:
a)
$\;ab + cd = 0\;$
b)
$\;a = 0\;$ e $\;b = 0\;$
c)
$\;ad - bc = 0\;$
d)
$\;a + c = 0\;$ e $\;b + d = 0\;$
e) $\;a = b = c = d = 0\;$

 



resposta: Alternativa C
×
(UFG) Se $\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\phantom{X}$ então os valores de $\,{\large \lambda}\,$, tais que o determinante da matriz $\,A^{\large 2}\,-\,{\large \lambda}I_2\,$ é igual a zero, são:
a)
somente $\,{\large \lambda}\,=\,0\,$
b)
$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,2\,$
c)
qualquer que seja $\,{\large \lambda}\,$ real
d)
$\,{\large \lambda}\,=\,4\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,2\,$
e)
$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,4\,$

 



resposta: Alternativa E
Resolução:
$\,I_2\,$ é representação da matriz identidade de ordem 2, a saber $\;\begin{pmatrix} 1& 0\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\phantom{X}$.
$\,A^{\large 2}\,= \;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\,\centerdot\,\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $\;\begin{pmatrix} 1+1& 1+1\; \\ 1+1& 1+1 \end{pmatrix}\phantom{X}\;\Rightarrow\;$ $\;\begin{pmatrix} 2& 2\; \\ 2& 2 \end{pmatrix}$
$\,{\large \lambda}I_2\;=\;{\large \lambda}\centerdot\begin{pmatrix} 1& 0\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\;=\;$ $\begin{pmatrix} {\large \lambda}& 0\; \\ 0& {\large \lambda} \end{pmatrix}\;$
Então
$\,A^2 \,-\,\lambda I_2\;=\;\begin{pmatrix} 2& 2\; \\ 2& 2 \end{pmatrix}\, - \,\begin{pmatrix} {\large \lambda}& 0\; \\ 0& {\large \lambda} \end{pmatrix}\,=$ $\,\begin{pmatrix} 2-{\large \lambda}& 2\; \\ 2& 2-{\large \lambda} \end{pmatrix}$
O determinante de $\,\begin{pmatrix} 2-{\large \lambda}& 2\; \\ 2& 2-{\large \lambda} \end{pmatrix}\,$ é $\,(2\,-\,{\large \lambda})^{\large 2}\,-\,2^{\large 2}\,=$ $\,(2\,-\,{\large \lambda})^{\large 2}\,-\,4\,=\,0\Rightarrow\;$ $\,2^2\,-\,4{\large \lambda}\,+\,{\large \lambda}^2\,-\,4\,=\,0\;\Rightarrow\;$ ${\large \lambda}^2\,-\,4{\large \lambda}\,=\,0\;\Rightarrow\,$ $\,\left\{\begin{array}{rcr} &{\large \lambda}\,=\,0\;\mbox{ ou } \\ &{\large \lambda}\,=\,4\phantom{XX} \\ \end{array} \right.\,$
×
(SANTA CASA - 1982) Seja a matriz quadrada $\,A\,=\,(a_{\large ij})\,$ de ordem 2, tal que:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{cos}\dfrac{\pi}{2i\,-\,j}\, & \mbox{, se } i\,=\,j \\ \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{i\,+\,j}\;\; & \mbox{, se } i\,\neq\,j \end{array} \right.\,$
O determinante de $\,A\,$ é igual a:
a)
$\,\dfrac{3}{4}\,$
b)
$\,\dfrac{1}{4}\,$
c)
$\,0\,$
d)
$\,-\dfrac{1}{4}\,$
e)
$\,-\dfrac{3}{4}\,$

 



resposta: Alternativa E
×
O conjunto solução de $\phantom{X}\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & x\; \\ 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1\; \\ x & 1 \end{vmatrix}}\;=\;\begin{vmatrix} 1 & 1\; \\ x & 1 \end{vmatrix}\phantom{X}$ é:
a)
$\,\lbrace\,x\,\in \,\mathbb{R}\,\vert\,x\,\neq\,1\,\rbrace\,$
b)
$\,\lbrace\,0,\;1\,\rbrace\,$
c)
$\,\lbrace\,1\,\rbrace\,$
d)
$\,\lbrace\,-1\,\rbrace\,$
e)
$\,\lbrace\,0\,\rbrace\,$

 



resposta: Alternativa E
×
A sentença $\,\begin{vmatrix} x & 1\; \\ 0 & x \end{vmatrix}\;+\;\begin{vmatrix} 0 & y\; \\ y & 1 \end{vmatrix}\;=\;\begin{vmatrix} x & y+1\; \\ y & x+1 \end{vmatrix}$
a)
é equivalente a $\,\begin{pmatrix} x & 1\; \\ 0 & x \end{pmatrix}\;+\;\begin{pmatrix} 0 & y\; \\ y & 1 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} x & y+1\; \\ y & x+1 \end{pmatrix}$
b)
só é verdadeira se $\,x\,=\,y\,$ não ambos nulos.
c)
só é verdadeira se $\,x\,=\,y\,=\,0\,$
d)
nunca é verdadeira
e)
é equivalente a $\,x\,=\,y\,$

 



resposta: (E)
×
Veja exercÍcio sobre:
matrizes e determinantes
matrizes
determinantes
matriz
determinante