(ITA - 2004) Considere as afirmações dadas a seguir em que A é uma matriz quadrada $n \times n, \; n \geqslant 2\;$:
I.
O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.
II.
Se $\;A = (a_{ij})\;$ é tal que $\;a_{ij}\,=\,0\;$ para $\;i\,>\,j\;$, com $\;i,j\,=\,1,\,2, ...., n\;$, então $\;det A\, =\, a_{11} a_{22} ... a_{nn}\;$.
III.
Se B for obtida de A multiplicando-se a primeira coluna por $\; \sqrt{2} \, + \, 1\; $ e a segunda por $\;\sqrt{2}\, - \, 1\;$, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então $\;det B\, =\, det A\;$.
(ITA - 2012) Sejam $\;z = n^2(cos45^o + i\;sen45^o)\phantom{X}$ e $\phantom{X}w = n(cos15^o + i\;sen15^o)\;$, em que $\;n\;$ é o menor inteiro positivo tal que $\;(1 + i)^n\;$ é real.Então $\;\dfrac{\;z\;}{\;w\;}\;$ é igual a:
Considerando a matriz $\phantom{X}A\,=\,{\large(a_{ij})_{2\times3}}\phantom{X}$ com ${\large\phantom{X}a_{ij}}\,=\,2i\,+\,3j\phantom{X}$, podemos afirmar que a soma dos elementos da 1ª linha de $\;A\;$ vale:
Considerando a matriz $\phantom{X}A\,=\,{\large(a_{ij})_{2\times3}}\phantom{X}$ com $\phantom{X}{\large a_{ij}}\,=\,2i\,+\,3j\phantom{X}$, podemos afirmar que a matriz transposta de A , também indicada por $\;A^t\;$, é:
(UFBA) A matriz $\;\; 2\times3\;\;$, com $\left\{\begin{array}{rcr} {\large a_{ij}}\,=\,2i\,-\,j\;&\text{, se }\;i\,\neq\,j \\{\large a_{ij}}\,=\,i\,+\,j\;\;&\text{, se }\;i\,=\,j \\ \end{array} \right.\;\phantom{X}$, é:
(UBERABA) Se $\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})\phantom{X}$ é a matriz quadrada de ordem 2, tal que $\phantom{X}{\large a_{ij}}\,=\,{\large (\;i\,)^j}\;,\,\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - i\,,\,\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - j\, \in\,\,\lbrace\,1\,;\,2\,\rbrace\phantom{X}$, então:
(UBERABA) A matriz transposta da matriz $\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})\phantom{X}$, de tipo $\,3\times 2\,$, onde $\phantom{X}a_{ij}\,=\,2i\,-\,3j\phantom{X}$, é igual a:
Dada a matriz $\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})_{2\times2}\phantom{X}$ tal que $\phantom{X}{\large a_{ij}}\,=\,3i\,-\,j\phantom{X}$, calcule $\;X\,=\,A^{\large t}\,+\,2A\,$.
(ITA - 1979) Sejam A , B , C matrizes reais 3 × 3 , satisfazendo as seguintes relações $\phantom{X}AB\,=\,C^{\large -1}\phantom{X}$,$\phantom{X}B\,=\,2A\phantom{X}$. Se o determinante de C é 32, qual é o valor do módulo do determinante de A ?
(ITA - 1990) Sejam A, B e C matrizes quadradas n x n tais que A e B são inversíveis e ABCA = $\,A^t\,$, onde $\,A^t\,$ é a transposta da matriz A. Então, podemos afirmar que:
a)
C é inversível e $\,det C\,=\,det(AB)^{-1}\,$
b)
C é inversível e $\,det C\,=\,det(A)^{2}\centerdot det B$
c)
C não é inversível pois $\,det C\,=\,0\,$
d)
C é inversível e $\,det C\,=\,\dfrac{detA}{det B}\,$
e)
C é inversível e $\,det C\,=\,det B\,$
Nota: det X denota o determinante da matriz quadrada X.
(PUC) A matriz $\phantom{X}A\,=\,(a_{\large ij})\phantom{X}$ é quadrada de ordem 2 com$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large ij}\,=\,2i\,-\,j\;\; & \mbox{ para }\; i\,=\,j \\ a_{\large ij}\,=\,3i\,-\,2j & \mbox{ para }\; i\,\neq\,j \\ \end{array} \right.\,$ O determinante de $\,A\,$ é igual a:
(ABC) Sejam as matrizes $\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\;$ e $\;B\;=\;\begin{pmatrix} a& b\; \\ c& d \end{pmatrix} \phantom{X}\,$ Se o determinante de $\,AB\,$ é igual a zero, então, necessariamente, devemos ter:
(UFG) Se $\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\phantom{X}$ então os valores de $\,{\large \lambda}\,$, tais que o determinante da matriz $\,A^{\large 2}\,-\,{\large \lambda}I_2\,$ é igual a zero, são:
a)
somente $\,{\large \lambda}\,=\,0\,$
b)
$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,2\,$
c)
qualquer que seja $\,{\large \lambda}\,$ real
d)
$\,{\large \lambda}\,=\,4\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,2\,$
e)
$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,4\,$
(SANTA CASA - 1982) Seja a matriz quadrada $\,A\,=\,(a_{\large ij})\,$ de ordem 2, tal que: $\,\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{cos}\dfrac{\pi}{2i\,-\,j}\, & \mbox{, se } i\,=\,j \\ \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{i\,+\,j}\;\; & \mbox{, se } i\,\neq\,j \end{array} \right.\,$ O determinante de $\,A\,$ é igual a:
A sentença $\,\begin{vmatrix} x & 1\; \\ 0 & x \end{vmatrix}\;+\;\begin{vmatrix} 0 & y\; \\ y & 1 \end{vmatrix}\;=\;\begin{vmatrix} x & y+1\; \\ y & x+1 \end{vmatrix}$
a)
é equivalente a $\,\begin{pmatrix} x & 1\; \\ 0 & x \end{pmatrix}\;+\;\begin{pmatrix} 0 & y\; \\ y & 1 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} x & y+1\; \\ y & x+1 \end{pmatrix}$
O produto da matriz $\phantom{X}A\,=\,\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ x & y \end{pmatrix}\phantom{X}$ pela sua transposta é a identidade. Determine $\,x\,$ e $\,y\,$ sabendo que $\,detA\,>\,0\,$
Resolver pela "regra de Cramer" o sistema:$\,\left\{\begin{array}{rcr} \;\;x\,+\phantom{X}y\,+\,2z\,=\,9\;& \\ \;\;x\,+\;2y\,+\,\;\;z\,=\,8\;& \\ 2x\,+\phantom{X}y\,+\;\;z\,=\,7\;& \\ \end{array} \right.\,$
resposta:
Resolução: Passo 1: Calcular o valor do determinante D da matriz 3x3 formada pelos coeficientes de x, y e z $\;D\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\; \\ 1 & 2 & 1 \; \\ 2 & 1 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-4$ Passo 2: 2a. Calcular o valor do determinante Dx da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de x por uma coluna com os termos independentes $\;D_x\;=\,\begin{vmatrix} 9 & 1 & 2\; \\ 8 & 2 & 1 \; \\ 7 & 1 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-4$ 2b. Calcular o valor do determinante Dy da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de y por uma coluna com os termos independentes $\;D_y\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 9 & 2\; \\ 1 & 8 & 1 \; \\ 2 & 7 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-8$ 2c. Calcular o valor do determinante Dz da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de z por uma coluna com os termos independentes $\;D_z\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & 9\; \\ 2 & 2 & 8 \; \\ 2 & 1 & 7 \;\end{vmatrix}\;=\;-12$ Passo 3:
