Exercícios sobre matriz

(ITA - 2004) Seja

$\;x\in\mathbb{R}\;$ e a matriz

$\; A = \begin{bmatrix} 2^{\large x} & (x^2 + 1)^{-1} \\ 2^{\large x} & log_2 5 \end{bmatrix}$ . Assinale a opção correta:

$\forall \; x \in \mathbb{R}$ ,

$A$ possui inversa.

Apenas para

$x > 0$ ,

$A$ possui inversa.

São apenas dois os valores de

$x$ para os quais

$A$ possui inversa.

Não existe valor de

$x$ para o qual

$A$ possui inversa.

Para

$x = log_2 5$ ,

$A$ não possui inversa.

resposta: (A)
×

(ITA - 2004) Considere as afirmações dadas a seguir em que A é uma matriz quadrada

$n \times n, \; n \geqslant 2\;$ :

O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.

II.

$\;A = (a_{ij})\;$ é tal que

$\;a_{ij}\,=\,0\;$ para

$\;i\,>\,j\;$ , com

$\;i,j\,=\,1,\,2, ...., n\;$ , então

$\;det A\, =\, a_{11} a_{22} ... a_{nn}\;$ .

III.

Se B for obtida de A multiplicando-se a primeira coluna por

$\; \sqrt{2} \, + \, 1\;$ e a segunda por

$\;\sqrt{2}\, - \, 1\;$ , mantendo-se inalteradas as demais colunas, então

$\;det B\, =\, det A\;$ .

Então podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)

apenas II.

apenas III.

apenas I e III.

apenas II e III.

todas.

resposta: (D)
×

(ITA - 2004) Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos

$\;(x,y)\;$ do plano que satisfazem a equação:

$det \begin{bmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ 40 & 2 & 6 & 1 \\ 4 & 2 & 0 & 1 \\ 34 & 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} = 288 \;$ .

a) Uma elipse.
b) Uma parábola.
c) Uma circunferência.
d) Uma hipérbole.
e) Uma reta.

resposta: alternativa C
×

(ITA - 2012) Sejam

$\;z = n^2(cos45^o + i\;sen45^o)\phantom{X}$ e

$\phantom{X}w = n(cos15^o + i\;sen15^o)\;$ , em que

$\;n\;$ é o menor inteiro positivo tal que

$\;(1 + i)^n\;$ é real. Então

$\;\dfrac{\;z\;}{\;w\;}\;$ é igual a:

$\;\sqrt{3}\;+\;i\phantom{X}\;$ .

$\;2(\sqrt{3}\;+\;i)$ .

$\;2(\sqrt{2}\;+\;i)$ .

$\;2(\sqrt{2}\;-\;i)$ .

$\;2(\sqrt{3}\;-\;i)$ .

resposta: (B)
×

Considerando a matriz

$\phantom{X}A\,=\,{\large(a_{ij})_{2\times3}}\phantom{X}$ com

${\large\phantom{X}a_{ij}}\,=\,2i\,+\,3j\phantom{X}$ , podemos afirmar que a soma dos elementos da 1Âª linha de

$\;A\;$ vale:

resposta: alternativa C
×

Considerando a matriz

$\phantom{X}A\,=\,{\large(a_{ij})_{2\times3}}\phantom{X}$ com

$\phantom{X}{\large a_{ij}}\,=\,2i\,+\,3j\phantom{X}$ , podemos afirmar que a matriz transposta de A , também indicada por

$\;A^t\;$ , é:

$\;\begin{pmatrix} 5& 8& 11 \\ 6& 9& 12 \end{pmatrix}\;$

$\;\begin{pmatrix} 5& 8& 11 \\ 7& 10& 13 \end{pmatrix}\;$

$\;\begin{pmatrix} 5& 7 \\ 8& 10 \\ 11& 13 \end{pmatrix}\;$

$\;\begin{pmatrix} 5& 6 \\ 8& 9 \\ 11& 12 \end{pmatrix}\;$

$\;\begin{pmatrix} 2& 3& 4 \\ 3& 4& 5 \end{pmatrix}\;$

resposta: (C)
×

(PUC) A matriz A de ordem

$\;2\times 3\;$ definida por

$\;{\large a_{ij}}\,=\,i\centerdot j\;$ é dada por:

$\;\begin{pmatrix} 2& 4& 6 \\ 1& 2& 3 \end{pmatrix}\;$

$\;\begin{pmatrix} 1& 2& 6 \\ 2& 4& 12 \end{pmatrix}\;$

$\;\begin{pmatrix} 1& 2& 3 \\ 2& 4& 6 \end{pmatrix}\;$

$\;\begin{pmatrix} 1& 1& 1 \\ 1& 2& 3 \end{pmatrix}\;$

$\;\begin{pmatrix} -2& -4& -6 \\ -1& -2& -3 \end{pmatrix}\;$

resposta: alternativa C
×

(UFBA) A matriz

$\;\; 2\times3\;\;$ , com

$\left\{\begin{array}{rcr} {\large a_{ij}}\,=\,2i\,-\,j\;&\text{, se }\;i\,\neq\,j \\{\large a_{ij}}\,=\,i\,+\,j\;\;&\text{, se }\;i\,=\,j \\ \end{array} \right.\;\phantom{X}$ , é:

$\;\begin{pmatrix} \phantom{X}2& 0 \\ -3& 4 \\ -1& 1 \end{pmatrix}\;$

$\;\begin{pmatrix} 2& 3 \\ 0& 4 \\ 1& 1 \end{pmatrix}\;$

$\;\begin{pmatrix} 2& 0& -1 \\ 3& 4& \phantom{X}1 \end{pmatrix}\;$

$\;\begin{pmatrix} \phantom{X}2& 0& -1 \\ -3& 4& \phantom{X}1 \end{pmatrix}\;$

resposta: alternativa D
×

(UBERABA) Se

$\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})\phantom{X}$ é a matriz quadrada de ordem 2, tal que

$\phantom{X}{\large a_{ij}}\,=\,{\large (\;i\,)^j}\;,\,\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - i\,,\,\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - j\, \in\,\,\lbrace\,1\,;\,2\,\rbrace\phantom{X}$ , então:

$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 1 \\ 2& 4 \end{bmatrix}$

$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 1& 4 \end{bmatrix}$

$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 2& 4 \end{bmatrix}$

$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 2& 1 \end{bmatrix}$

$A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 4 \\ 1& 2 \end{bmatrix}$

resposta: alternativa A
×

(MED JUNDIAÍ) A matriz transposta da matriz quadrada

$\;A\,=\,({\large a_{ij}})\;$ de ordem 2 com

$\;{ \large a_{ij}}\,=\,{\large i^j}\,+\,2\;\;,$

$\;1\,\leqslant\,i\,\leqslant\,2\;\;,$

$\;1\,\leqslant\,j\leqslant\,2 \phantom{X}$ , é:

$\begin{bmatrix} 2& 4 \\ 4& 6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3& 4 \\ 4& 6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3& 4 \\ 3& 6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3& 3 \\ 6& 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2& 3 \\ 4& 6 \end{bmatrix}$

resposta: (C)
×

(UBERABA) A matriz transposta da matriz

$\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})\phantom{X}$ , de tipo

$\,3\times 2\,$ , onde

$\phantom{X}a_{ij}\,=\,2i\,-\,3j\phantom{X}$ , é igual a:

$\begin{pmatrix} -1& -1& -3 \\ -4& -2& 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -1& 1& 3 \\ -4& -2& 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1& 1& 3 \\ -4& -2& 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3& 1& -1 \\ 0& -2& -4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3& -1& 1 \\ 0& 2& -4 \end{pmatrix}$

resposta: (B)
×

(MED ABC) Se

$\phantom{X}A\,=\,\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 3& 2 \\ 4& 3 \end{bmatrix}\phantom{X}$ e

$\phantom{X} B\,=\,\begin{bmatrix} 2& 0 \\ 1& 2 \\ 2& 2 \end{bmatrix}\phantom{X}$ então

$\,A\,+\,B\,$ resultará:

$\begin{bmatrix} 3& 2 \\ 4& 4 \\ 6& 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3& 2 \\ 4& 0 \\ 6& 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3& 4& 6 \\ 2& 4& 5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1& 2 \\ 4& 4 \\ 5& 6 \end{bmatrix}$

nenhuma das
alternativas
anteriores

resposta: alternativa A
×

(PUC) Da equação matricial

$\phantom{X}\begin{bmatrix} x& 1 \\ 1& 2 \end{bmatrix} \;+\;\begin{bmatrix} 2& y \\ 0& -1 \end{bmatrix}\;=\;\begin{bmatrix} 3& 2 \\ z& t \end{bmatrix}\phantom{X}$ resulta:

x = y = z = t = 1

x = 1 , y = 2 , z = t = 0

x = 1 , y = 1 , z = 3 , t = 2

x = 2 , y = 0 , z = 2 , t = 3

x = 3/2 , y = 2 , z = 0 , t = -2

resposta: alternativa A
×

Resolver a equação

$\phantom{X}\begin{pmatrix} 1& 3 \\ 2& x \\ \negthickspace -1\;& y \end{pmatrix} \;=\;\begin{pmatrix} 1& 3 \\ 2& \negthickspace-1\; \\ \negthickspace-1\;& 3 \end{pmatrix}$

resposta: (x;y)=(-1;3)
×

(UFBA) Dadas as matrizes

$\phantom{X}A\;=\;\begin{pmatrix} 2& \negthickspace -1\; \\ 3& 2 \end{pmatrix} \phantom{X}$ e

$\phantom{X}B\;=\;\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& 1 \end{pmatrix} \phantom{X}$ , o valor de

$\;2B\,-\,{\large \frac{1}{2}}A\;$ é:

$\,\begin{pmatrix} 1& \negthickspace -{\large\frac{1}{2}}\; \\ {\large\frac{3}{2}}& 1 \end{pmatrix}\,$

$\,\begin{pmatrix} 1& \negthickspace -{\large\frac{1}{2}}\; \\ \negthickspace -{\large\frac{3}{2}}\;& 3 \end{pmatrix}\,$

$\,\begin{pmatrix} 1& \negthickspace {\large\frac{1}{2}} \\ \negthickspace -{\large\frac{3}{2}}\;& 1 \end{pmatrix}\,$

$\,\begin{pmatrix} \negthickspace -1\;& {\large\frac{1}{2}}\; \\ \negthickspace -{\large\frac{1}{2}}\;& 3 \end{pmatrix}\,$

$\,\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ \negthickspace -3\;& 3 \end{pmatrix}\,$

resposta: alternativa C
×

Dada a matriz

$\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})_{2\times2}\phantom{X}$ tal que

$\phantom{X}{\large a_{ij}}\,=\,3i\,-\,j\phantom{X}$ , calcule

$\;X\,=\,A^{\large t}\,+\,2A\,$ .

resposta: Resolução:

$\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})_{2\times2}\phantom{X} \Longleftrightarrow \phantom{X} A\,=\,\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} \\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix}$
portanto:

I.
 Xaij=3i−j
⟺{a11=3⋅1−1=2a12=3⋅1−2=1a21=3⋅2−1=5a22=3⋅2−2=4
⟺A=(2154)

⟺At=(2514)

II. Vamos subtituir

$\,A\,$ e

$\,A^t\,$ em

$\,X\,=\,A^t\,+\,2A\,$

$X\,=\,\begin{pmatrix} 2& 5 \\ 1& 4 \end{pmatrix}\;+\;2\centerdot\begin{pmatrix} 2& 1 \\ 5& 4 \end{pmatrix}\;\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow$

$X\,=\,\begin{pmatrix} 2& 5 \\ 1& 4 \end{pmatrix}\;\;+\;\;\begin{pmatrix} 4& 2 \\ 10& 8 \end{pmatrix}\;\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow$

$X\,=\,\begin{pmatrix} 6& 7 \\ 11& 12 \end{pmatrix}$

Resposta:

$\,X\,=\,\begin{pmatrix} 6& 7 \\ 11& 12 \end{pmatrix}$

×

Resolva a equação

$\phantom{X}(X\,+\,A)^{\large t}\,=\,C\phantom{X}$ sabendo-se que:

$\phantom{XX}A\,=\,\begin{pmatrix} 1& 3& 1 \\ 2& 1& 4 \end{pmatrix}\phantom{X}$ e

$\phantom{X}C\,=\,\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 2& \negthickspace -3\; \\ 1& 2 \end{pmatrix}$

resposta: Resolução:

$\phantom{XX}(X\,+\,A)^{\large t}\,=\,C\;\Leftrightarrow\;X\,+\,A\,=\,C^{\large t}\;\Leftrightarrow\;X\,=\,C^{\large t}\,-\,A$

$\phantom{X}C\,=\,\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 2& \negthickspace -3\; \\ 1& 2 \end{pmatrix}\phantom{X} \Longleftrightarrow \phantom{X}C^{\large t} \,=\,\begin{pmatrix} 1& 2& 1 \\ 0& \negthickspace -3\;& 2 \end{pmatrix}\phantom{X}e\phantom{x}A\,=\,\begin{pmatrix} 1& 3& 1 \\ 2& 1& 4 \end{pmatrix}$

Então

$\phantom{X}X\,=\,\begin{pmatrix} 1& 2& 1 \\ 0& \negthickspace -3\;& 2 \end{pmatrix}\;-\;\begin{pmatrix} 1& 3& 1 \\ 2& 1& 4 \end{pmatrix}\;\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow$

$\phantom{X}X\,=\,\begin{pmatrix} 0& \negthickspace -1\;& 0 \\ \negthickspace -2\;& \negthickspace -4\;& \negthickspace -2\; \end{pmatrix}\,$

(ITA - 1979) Sejam A , B , C matrizes reais 3 Ã— 3 , satisfazendo as seguintes relações

$\phantom{X}AB\,=\,C^{\large -1}\phantom{X}$ ,

$\phantom{X}B\,=\,2A\phantom{X}$ . Se o determinante de C é 32, qual é o valor do módulo do determinante de A ?

1/16

1/4

1/8

resposta: Resolução:

$\left\{\begin{array}{rcr} AB\,=\,C^{\large -1}& \\ B\,=\,2A\phantom{XX}& \\ \end{array} \right. \;\;\Longrightarrow\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{det}{(AB)}\,=\,\operatorname{det}{(C^{\large -1})}& \\ \operatorname{det}{(B)}\,=\,\operatorname{det}{(2A)}\;\;\phantom{X}& \\ \end{array} \right. \;\;\Longrightarrow\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{det}{(A)}\,\centerdot\,\operatorname{det}{(B)}\,=\,\frac{1}{{\large \operatorname{det}{(C)}}}& \;(I) \\ \operatorname{det}{(B)}\,=\,2^{\large 3}\,\centerdot\,\operatorname{det}{(A)}\;\;\phantom{XX}& \;(II) \\ \end{array} \right.$

Vamos fazer a substituição de (II) em (I)

$\,\operatorname{det}{(A)}\,\centerdot\,2^{\large 3}\operatorname{det}{(A)}\,=\,\frac{1}{\large \operatorname{det}{(C)}}\;\Leftrightarrow\;8(\operatorname{det}{(A)})^2\,=\,\frac{1}{\large \operatorname{det}{(C)}}$

$\;\operatorname{det}{(C)}\,=\,32\;$ segue que:

$(\operatorname{det}{(A)})^{\large 2}\,=\,\frac{1}{\large 8\,\centerdot\,32}\;\Leftrightarrow\; \boxed{\;|\operatorname{det}{(A)}|\,=\,\frac{1}{\large 16}\;}$

Resposta: alternativa A

(ITA - 1990) Considere a matriz

$\phantom{X} A\,=\,\begin{bmatrix} \operatorname{sen}x& 2 \\ \operatorname{log_3}10 & 2 \operatorname{sen}x \end{bmatrix} \phantom{X}$ onde

$\,x\,$ é real. Então podemos afirmar que:

$\,A\,$ é inversível apenas para x > 0.

$\,A\,$ é inversível apenas para x = 0.

$\,A\,$ é inversível qualquer x.

$\,A\,$ é inversível apenas para x da forma (2k + 1)Ï€, k inteiro.

$\,A\,$ é inversível apenas para x da forma 2kÏ€, k inteiro.

resposta: alternativa C
×

(ITA - 1990) Sejam A, B e C matrizes quadradas n x n tais que A e B são inversíveis e ABCA =

$\,A^t\,$ , onde

$\,A^t\,$ é a transposta da matriz A. Então, podemos afirmar que:

C é inversível e

$\,det C\,=\,det(AB)^{-1}\,$

C é inversível e

$\,det C\,=\,det(A)^{2}\centerdot det B$

C não é inversível pois

$\,det C\,=\,0\,$

C é inversível e

$\,det C\,=\,\dfrac{detA}{det B}\,$

C é inversível e

$\,det C\,=\,det B\,$

Nota: det X denota o determinante da matriz quadrada X.

resposta: (A)
×

(PUC) A matriz

$\phantom{X}A\,=\,(a_{\large ij})\phantom{X}$ é quadrada de ordem 2
com

$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large ij}\,=\,2i\,-\,j\;\; & \mbox{ para }\; i\,=\,j \\ a_{\large ij}\,=\,3i\,-\,2j & \mbox{ para }\; i\,\neq\,j \\ \end{array} \right.\,$
O determinante de

$\,A\,$ é igual a:

resposta: Alternativa E
×

(ABC) Sejam as matrizes

$\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\;$ e

$\;B\;=\;\begin{pmatrix} a& b\; \\ c& d \end{pmatrix} \phantom{X}\,$
Se o determinante de

$\,AB\,$ é igual a zero, então, necessariamente, devemos ter:

$\;ab + cd = 0\;$

$\;a = 0\;$ e

$\;b = 0\;$

$\;ad - bc = 0\;$

$\;a + c = 0\;$ e

$\;b + d = 0\;$

$\;a = b = c = d = 0\;$

resposta: Alternativa C
×

(UFG) Se

$\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\phantom{X}$ então os valores de

$\,{\large \lambda}\,$ , tais que o determinante da matriz

$\,A^{\large 2}\,-\,{\large \lambda}I_2\,$ é igual a zero, são:

somente

$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$

$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou

$\,{\large \lambda}\,=\,2\,$

qualquer que seja

$\,{\large \lambda}\,$ real

$\,{\large \lambda}\,=\,4\,$ ou

$\,{\large \lambda}\,=\,2\,$

$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou

$\,{\large \lambda}\,=\,4\,$

resposta: Alternativa E
Resolução:

$\,I_2\,$ é representação da matriz identidade de ordem 2, a saber

$\;\begin{pmatrix} 1& 0\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\phantom{X}$ .

$\,A^{\large 2}\,= \;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\,\centerdot\,\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$

$\;\begin{pmatrix} 1+1& 1+1\; \\ 1+1& 1+1 \end{pmatrix}\phantom{X}\;\Rightarrow\;$

$\;\begin{pmatrix} 2& 2\; \\ 2& 2 \end{pmatrix}$

$\,{\large \lambda}I_2\;=\;{\large \lambda}\centerdot\begin{pmatrix} 1& 0\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\;=\;$

$\begin{pmatrix} {\large \lambda}& 0\; \\ 0& {\large \lambda} \end{pmatrix}\;$

Então

$\,A^2 \,-\,\lambda I_2\;=\;\begin{pmatrix} 2& 2\; \\ 2& 2 \end{pmatrix}\, - \,\begin{pmatrix} {\large \lambda}& 0\; \\ 0& {\large \lambda} \end{pmatrix}\,=$

$\,\begin{pmatrix} 2-{\large \lambda}& 2\; \\ 2& 2-{\large \lambda} \end{pmatrix}$

O determinante de

$\,\begin{pmatrix} 2-{\large \lambda}& 2\; \\ 2& 2-{\large \lambda} \end{pmatrix}\,$ é

$\,(2\,-\,{\large \lambda})^{\large 2}\,-\,2^{\large 2}\,=$

$\,(2\,-\,{\large \lambda})^{\large 2}\,-\,4\,=\,0\Rightarrow\;$

$\,2^2\,-\,4{\large \lambda}\,+\,{\large \lambda}^2\,-\,4\,=\,0\;\Rightarrow\;$

${\large \lambda}^2\,-\,4{\large \lambda}\,=\,0\;\Rightarrow\,$

$\,\left\{\begin{array}{rcr} &{\large \lambda}\,=\,0\;\mbox{ ou } \\ &{\large \lambda}\,=\,4\phantom{XX} \\ \end{array} \right.\,$
×

(SANTA CASA - 1982) Seja a matriz quadrada

$\,A\,=\,(a_{\large ij})\,$ de ordem 2, tal que:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{cos}\dfrac{\pi}{2i\,-\,j}\, & \mbox{, se } i\,=\,j \\ \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{i\,+\,j}\;\; & \mbox{, se } i\,\neq\,j \end{array} \right.\,$
O determinante de

$\,A\,$ é igual a:

$\,\dfrac{3}{4}\,$

$\,\dfrac{1}{4}\,$

$\,0\,$

$\,-\dfrac{1}{4}\,$

$\,-\dfrac{3}{4}\,$

resposta: Alternativa E
×

O conjunto solução de

$\phantom{X}\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & x\; \\ 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1\; \\ x & 1 \end{vmatrix}}\;=\;\begin{vmatrix} 1 & 1\; \\ x & 1 \end{vmatrix}\phantom{X}$ é:

$\,\lbrace\,x\,\in \,\mathbb{R}\,\vert\,x\,\neq\,1\,\rbrace\,$

$\,\lbrace\,0,\;1\,\rbrace\,$

$\,\lbrace\,1\,\rbrace\,$

$\,\lbrace\,-1\,\rbrace\,$

$\,\lbrace\,0\,\rbrace\,$

resposta: Alternativa E
×

A sentença

$\,\begin{vmatrix} x & 1\; \\ 0 & x \end{vmatrix}\;+\;\begin{vmatrix} 0 & y\; \\ y & 1 \end{vmatrix}\;=\;\begin{vmatrix} x & y+1\; \\ y & x+1 \end{vmatrix}$

é equivalente a

$\,\begin{pmatrix} x & 1\; \\ 0 & x \end{pmatrix}\;+\;\begin{pmatrix} 0 & y\; \\ y & 1 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} x & y+1\; \\ y & x+1 \end{pmatrix}$

só é verdadeira se

$\,x\,=\,y\,$ não ambos nulos.

só é verdadeira se

$\,x\,=\,y\,=\,0\,$

nunca é verdadeira

é equivalente a

$\,x\,=\,y\,$

resposta: (E)
×

O produto da matriz

$\phantom{X}A\,=\,\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ x & y \end{pmatrix}\phantom{X}$ pela sua transposta é a identidade. Determine

$\,x\,$ e

$\,y\,$ sabendo que

$\,detA\,>\,0\,$

resposta:

$\,(x,y)\,=\,\left(\,-\dfrac{4}{5}\,;\,\dfrac{3}{5}\,\right)\,$
×

$\;I\,=\,\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \phantom{X}$ e

$\phantom{X}A\,=\,\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \;$ então a solução da equação

$\;X\,+\,5\centerdot A\,=\,A^{\large 2}\,+\,2\centerdot I\;$ é:

$\,X\,=\,3\centerdot I\;$

$\,X\,=\,2\centerdot I\;$

$\,X\,=\,-2\centerdot I\;$

$\,X\,=\,I\;$

$\,X\,=\,-3\centerdot I\;$

resposta: Alternativa E
×

Resolver pela "regra de Cramer" o sistema:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} \;\;x\,+\phantom{X}y\,+\,2z\,=\,9\;& \\ \;\;x\,+\;2y\,+\,\;\;z\,=\,8\;& \\ 2x\,+\phantom{X}y\,+\;\;z\,=\,7\;& \\ \end{array} \right.\,$

resposta:

Resolução:
Passo 1:
Calcular o valor do determinante D da matriz 3x3 formada pelos coeficientes de x, y e z

$\;D\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\; \\ 1 & 2 & 1 \; \\ 2 & 1 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-4$
Passo 2:
2a. Calcular o valor do determinante D_x da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de x por uma coluna com os termos independentes

$\;D_x\;=\,\begin{vmatrix} 9 & 1 & 2\; \\ 8 & 2 & 1 \; \\ 7 & 1 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-4$
2b. Calcular o valor do determinante D_y da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de y por uma coluna com os termos independentes

$\;D_y\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 9 & 2\; \\ 1 & 8 & 1 \; \\ 2 & 7 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-8$
2c. Calcular o valor do determinante D_z da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de z por uma coluna com os termos independentes

$\;D_z\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & 9\; \\ 2 & 2 & 8 \; \\ 2 & 1 & 7 \;\end{vmatrix}\;=\;-12$
Passo 3:

(calcular x)

$\;x\,=\,\dfrac{D_x}{D}\,=\,\dfrac{-4}{-4}\,=\,1\;$

(calcular y)

$\;y\,=\,\dfrac{D_y}{D}\,=\,\dfrac{-8}{-4}\,=\,2\;$

(calcular z)

$\;z\,=\,\dfrac{D_z}{D}\,=\,\dfrac{-12}{-4}\,=\,3\;$

V = {(1, 2, 3)}

×

Sendo

$\phantom{X}M\;=\;\begin{pmatrix} a & b & c \\ m & n & p \\ x & y & z \end{pmatrix} \,$ ;

$\phantom{X}A\;=\;\begin{pmatrix} 2m & 2n & 2p \\ 3a & 3b & 3c \\ x & y & z \end{pmatrix} \,$

$\phantom{X}B\,=\,2M\phantom{X}$ e $\phantom{X}detM\,=\,5\phantom{X}$ calcular:

a) $\,detA\,$ b) $\,detB\,$

resposta: a)detA = -30; b)detB = 40
×