Lista de exercícios do ensino médio para impressão
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(ITA - 2004) Seja $\;\alpha\;$ um número real, com $\;0 < \alpha < 1\;$. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de $\;x\;$ tais que $\; \alpha^{\large 2x}\left( \dfrac{1}{\sqrt{\alpha}} \right)^{\large 2x^2} < 1$.
a)
$] -\infty , 0]\;\; \cup \;\; [2, + \infty[$
b)
$] -\infty , 0[ \;\; \cup \;\; ]2, + \infty[$
c)
$]0, 2[ $
d)
$]-\infty, 0[ $
e)
$]2, +\infty[$

 



resposta: (C)
×
(ITA - 2004) O conjunto de todos os valores de $\;\alpha\;$, $\;\alpha \; \in \; \Bigl] - \frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\Bigr[\phantom{X}$, tais que as soluções da equação (em $x$)
$x^4 - \sqrt[4]{48} x^2 + tg\alpha = 0$
são todas reais é:
a)
$\left[ - \frac{\pi}{3},\;0\right]$
b)
$\left[ - \frac{\pi}{4},\;\frac{\pi}{4}\right]$
c)
$\left[ - \frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{6}\right]$
d)
$\left[0,\;\frac{\pi}{3}\right]$
e)
$\left[\frac{\pi}{12},\;\frac{\pi}{3}\right]$
 
 

 



resposta: (D)
×
(ITA - 2004) Dada a equação $\phantom{} x^3\,+\,(m\,+\,1)x^2\,+\,(m\,+\,9)x\,+\,9\,=\,0\phantom{X}$, em que $\;m\;$ é uma constante real, considere as seguintes afirmações:
I.
Se $\phantom{X} m\; \in \;\; ]-6, 6[\phantom{X}$ então existe apenas uma raiz real.
II.
Se $\phantom{X}m\,=\,-6\phantom{X}$ ou $\phantom{X}m\,=\,+6\phantom{X}$, então existe raiz com multiplicidade $\;2\;$.
III.
$\forall \;m \in \mathbb{R}\phantom{X}$, todas as raízes são reais.

Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas:
a)
I
b)
II
c)
III
d)
II e III
e)
I e III

 



resposta: alternativa E
×
(UEMT) Dados os intervalos A = ]-2;1] e B=[0;2], então $\;A\,\cap\,B\;$ e $\;A\,\cup\,B\;$ são respectivamente:
a)
]0;1[ e ]2;2[
b)
]0;1] e ]-2;2]
c)
[0;1] e ]-2;2]
d)
[0;1[ e [-2;2[
e)
[0;1[ e [-2;2]

 



resposta: (C)
×
(PUC) Seja $\;x\;$ elemento de $\;\mathbb{A}\;$. Se $\;x\,\notin \;]{\small -1};\,2]\,\text{, }\; x < 0\;$ ou $\; x \geqslant 3\,$, determine $\;\mathbb{A}\,$.

 



resposta: $\,A\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,x\,\leqslant \, -1 \; \text{ ou } \;x\, \geqslant \, 3 \,\rbrace\,$

×
(ITA - 1992) Considere as funções $\phantom{X} f\;:\;\mathbb{R^*}\,\rightarrow \,\mathbb{R}\;$,$\;\;g\;:\mathbb{R}\,\rightarrow\; \mathbb{R}\;\;$ e $\;\;h\,:\,\mathbb{R^*}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\phantom{X}$ definidas por:
$\phantom{X}f(x)\,=\,{\large 3}^{\,{\huge x\,+\,\frac{1}{x}}}\,$,
$\phantom{X}g(x)\,=\,x^2\,$;
$\phantom{X}h(x)\,=\,{\large \frac{81}{x}}\,$

O conjunto dos valores de $\phantom{X} x \phantom{X}$ em $\phantom{X}\mathbb{R^*} \phantom{X}$ tais que $\phantom{X} (f\circ g)(x)\,=\,(h\circ f)(x) \phantom{X}$, é subconjunto de:
a)
$\,[0\,,\,3]\,$
d)
$\,[-2\,,\,2]\,$
b)
$\,[3\,,\,7]\,$
e)
nenhuma das anteriores
c)
$\,[-6\,,\,1]\,$

 



resposta: alternativa C
×
Escreva com notação de conjunto e represente sobre a reta real os intervalos: $\phantom{X}\left]\,-1;\;2\;\right],\phantom{X}\left[0;\;3\right[,\phantom{X}\left]-1;\;1\right[\phantom{X}$ e $\phantom{X}\left[-1; 1\right]\phantom{X}$.

 



resposta: Resolução:
$\,\left]\,-1;\;2\;\right]\;=$
$\;\lbrace\;x\;\in\;{\rm\;I\!R}\;|\;-1\;\lt\;x\;\leqslant\;2\;\rbrace\;$
intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, de extremos -1 e 2.
intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, de extremos -1 e 2
$\,\left[\,0;\;3\;\right[\;=$
$\;\lbrace\;x\;\in\;{\rm\;I\!R}\;|\;0\;\leqslant\;x\;\lt\;3\;\rbrace\;$
intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, de extremos 0 e 3.
intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, de extremos 0 e 3
$\,\left]\,-1;\;1\;\right[\;=$
$\;\lbrace\;x\;\in\;{\rm\;I\!R}\;|\;-1\;\lt\;x\;\lt\;1\;\rbrace\;$
intervalo aberto de extremos -1 e 1
intervalo fechado de extremos -1 e 1
$\,\left[\,-1;\;1\;\right[\;=$
$\;\lbrace\;x\;\in\;{\rm\;I\!R}\;|\;-1\;\leqslant\;x\;\leqslant\;1\;\rbrace\;$
intervalo fechado de extremos -1 e 1
intervalo fechado de extremos -1 e 1

×
Sendo $\phantom{X}A\;=\;\left[0;\;4\right]\phantom{X}$ e $\phantom{X}B\;=\;\left[2;\;5\right]\phantom{X}$
a) determine A ∩ B e A ∪ B
b) determine A - B e B - A

 



resposta: Resolução:
a) A solução é obtida representando os intervalos lineares na reta, com os números que representam as extremidades de A e B (0 e 4; 2 e 5) em alinhamento vertical como abaixo:
intervalos lineares representados na reta
Então $\,A\,\cap\,B\,=\,\left[2;\,4\right]\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,2\,\leqslant\,x\,\leqslant\,4\,\rbrace\;$ e
$\,A\,\cup\,B\,=\,\left[0;\,5\right]\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,0\,\leqslant\,x\,\leqslant\,5\,\rbrace\,$
b)
representação linear da subtração de intervalos

$\,A\,-\,B\,=\,\left[0;\,2\right[\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,2\,\leqslant\,x\,\lt\,2\,\rbrace\;$
O extremo direito do intervalo é aberto porque se 2 ∈ B então 2 ∉ (A - B)

$\,B\,-\,A\,=\,\left]4;\,5\right]\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,4\,\lt\,x\,\leqslant\,5\,\rbrace\,$
O extremo esquerdo do intervalo resposta é aberto, pois se 4 ∈ A então 4 ∉ (B - A)


×
Escrever como notação de conjunto e representar sobre a reta real os intervalos: $\phantom{X}\left]\,-\infty\,,\,1\right]\,,\phantom{X}$ $\phantom{X}\left]-\infty,\,1\right[\,,\phantom{X}$ $\phantom{X}\left[1,\,+\infty\right[\,,\phantom{X}$ e $\phantom{X}\left]1,\,+\infty\,\right[\phantom{X}$.

 



resposta:
$\;\left]\,-\infty\,,\,1\right]\;=$
$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\leqslant\,1\,\rbrace\;$
intervalo infinito x menor ou igual a 1
$\;\left]-\infty,\,1\right[\;=$
$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\lt\,1\,\rbrace\;$
intervalo infinito x menor que 1
$\;\left[1,\,+\infty\right[\;=$
$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\geqslant\,1\,\rbrace\;$
intervalo infinito x maior ou igual a 1
$\;\left]1,\,+\infty\,\right[\;=$
$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\gt\,1\,\rbrace\;$
intervalo infinito x maior que 1

×
Sendo $\phantom{X}A\;=\;\left[-\infty ;\;2\right]\phantom{X}$ e $\phantom{X}B\;=\;\left[2;\;3\right[\phantom{X}$, determinar A ∩ B e A ∪ B

 



resposta: Resolução:
Observar os intervalos representados na reta.
intervalos lineares representados na reta
Então $\,A\,\cap\,B\,=\,\lbrace\,2\,\rbrace\;$ e $\,A\,\cup\,B\,=\,\left]-\infty ;\,3\right[\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\lt\,3\,\rbrace\,$
×
(FGV - 1977) Dados os conjuntos $\phantom{X}A = \lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\gt\,6\,\rbrace\,\phantom{X}$ e $\phantom{X}B = \lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\lt\,3\,\rbrace\,\phantom{X}$, qual a sentença correta?
a)
A ⊂ B;
b)
A ∩ B = ∅
c)
A ∪ B = {x | 3 < x < 6};
d)
A ∩ B = {x | x > 3};
e)
A ∪ B = ${\rm I\!R}$.

 



resposta: (B)
×
Sendo A = ]0; 2] e B = [1; 3] a afirmação verdadeira é:
a)
A ⊂ B;
b)
A ∩ B = ∅;
c)
A ∪ B = [0; 3];
d)
A - B = ]0;1[ ;
e)
A - B = ]0;1] ;

 



resposta: (D)
×
(FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - 1977) Dados os conjuntos P = [2;7] e Q = [-3;5[ , podemos afirmar que:
a)
P ∪ Q = [-1;12[ ;
b)
3 ∈ (Q - P) ;
c)
5 ∉ P ∪ Q ;
d)
[3;4] ⊂ P ∩ Q ;
e)
P - Q = ]-3;2] ;

 



resposta: (D)
×
(PUC - 1977) Sendo o número real x tal que:
$x\;\notin\;\left]-1;2\right]\;,\;x\;\lt\;0\;$ ou $\;x\;\geqslant\;3\;$, pode-se concluir que:
a)
$\,x\;\leqslant\;-1\,$ ou $\,x\;\geqslant\;3\,$;
b)
$\,x\;\lt\;-1\,$ ou $\,x\;\geqslant\;3\,$;
c)
$\,-1\;\lt\;x\;\lt\;0\,$ ou $\,2\;\lt\;x\;\leqslant\;3\,$;
d)
$\,x\;\lt\;-1\,$ ou $\,x\;\geqslant\;2\,$;
e)
$\,x\;\leqslant\;-1\,$ ou $\,x\;\gt\;3\,$;

 



resposta: (A)
×
(UFRGS - 1977) Se $\phantom{X}A\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-1\,\lt\,x\,\lt\,2\rbrace\phantom{X}$ e $\phantom{X}B\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-3\,\leqslant\,x\,\lt\,1\rbrace\phantom{X}$, então $\phantom{X}(A\,-\,B)\,\cup\,(B\,\cap\,A)\phantom{X}$ é o conjunto:
a)
$\,\lbrace -1; 2\rbrace\,$;
b)
$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,2\rbrace\,$;
c)
$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-1\,\lt\,x\,\leqslant\,2\rbrace\,$;
d)
$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-1\,\leqslant\,x\,\lt\,2\rbrace\,$;
e)
$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-1\,\lt\,x\,\lt\,2\rbrace\,$.

 



resposta: (E)
×
Se $\phantom{X}A\,=\,\left]-\infty;2\right]\phantom{X}$, $\phantom{X}B\,=\,\left[2;+\infty\right[\phantom{X}$ e $\phantom{X}C\,=\,\left]1;2\right[\phantom{X}$, então o número de elementos de $\phantom{X}(A\,\cap\,B)\,-\,C\phantom{X}$ é:
a)
infinito;
b)
um;
c)
zero;
d)
dois;
e)
indeterminado.

 



resposta: (C)
×
(UNESP - 1977) Consideremos os conjuntos
A = [1;2] ∪ [3;4]
B = ]1;4] - {3}
C = [2;3[ ∪ {4} e
X = (A - B) ∪ (A ∩ C)
Então:
a)
X ∪ A = B;
b)
X ∩ B = C;
c)
X ∪ C = X;
d)
X ∩ A = X;
e)
nenhuma das anteriores
 
 

 



resposta: (D)
×
(MED JUNDIAÍ) Dados os intervalos A = ]-2;1] e B = [0;2], então A ∩ B e A ∪ B são, respectivamente:
a)
]0;1[ e ]-2;2[ ;
b)
]0;1] e ]-2;2] ;
c)
[0;1] e ]-2;2] ;
d)
[0;1[ e [-2;2[ ;
e)
[0;1[ e [-2;2] .
 
 

 



resposta: (C)
×
(MACKENZIE - 1979) Se designarmos por [3;4] o intervalo fechado, em $\,{\rm I\!R}\,$, de extremidades 3 e 4, é correto escrever:
a)
{3;4} = [3;4] ;
b)
{3;4} ∈ [3;4] ;
c)
{3;4} ⊂ [3;4] ;
d)
{3;4} ⊃ [3;4] ;
e)
nenhuma das alternativa anteriores é correta.

 



resposta: (C)
×
(CESESP - 1977) Sejam $\,{\rm I\!R}\,$ o conjunto dos números reais, a e b elementos de $\,{\rm I\!R}\,$ tais que a < b e considere os intervalos:
(a,b) =
conjunto dos números reais x tais que a < x < b
[a,b) =
conjunto dos números reais x tais que a $\,\leqslant\,$ x < b
(a,b] =
conjunto dos números reais x tais que a < x $\,\leqslant\,$ b
[a,b] =
conjunto dos números reais x tais que a $\,\leqslant\,$ x $\,\leqslant\,$ b
Qual dentre as seguintes alternativas é verdadeira?
a)
se x ∈ (a,b), então x² ∈ (a,b) ;
b)
(a,b) é um conjunto ilimitado pois tem uma infinidade de elementos;
c)
(a,b) tem um número finito de elementos pois é um conjunto limitado;
d)
(a,b) = [a,b) ∪ (a,b] e [a,b] = [a,b) ∩ (a,b];
e)
(a,b) = [a,b) ∩ (a,b] e [a,b] = (a,b] ∪ [a,b).

 



resposta: (E)
×
Veja exercÍcio sobre:
conjuntos
inequações
intervalos numéricos
intervalos lineares
intervalos