Exercícios sobre intervalos

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(ITA - 2004) Seja $\;\alpha\;$ um número real, com $\;0 < \alpha < 1\;$. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de $\;x\;$ tais que $\; \alpha^{\large 2x}\left( \dfrac{1}{\sqrt{\alpha}} \right)^{\large 2x^2} < 1$.

$] -\infty , 0]\;\; \cup \;\; [2, + \infty[$

$] -\infty , 0[ \;\; \cup \;\; ]2, + \infty[$

$]0, 2[ $

$]-\infty, 0[ $

$]2, +\infty[$

resposta: (C)
×

(ITA - 2004) O conjunto de todos os valores de $\;\alpha\;$, $\;\alpha \; \in \; \Bigl] - \frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\Bigr[\phantom{X}$, tais que as soluções da equação (em $x$)

$x^4 - \sqrt[4]{48} x^2 + tg\alpha = 0$

são todas reais é:

$\left[ - \frac{\pi}{3},\;0\right]$

$\left[ - \frac{\pi}{4},\;\frac{\pi}{4}\right]$

$\left[ - \frac{\pi}{6},\;\frac{\pi}{6}\right]$

$\left[0,\;\frac{\pi}{3}\right]$

$\left[\frac{\pi}{12},\;\frac{\pi}{3}\right]$

resposta: (D)
×

(ITA - 2004) Dada a equação $\phantom{} x^3\,+\,(m\,+\,1)x^2\,+\,(m\,+\,9)x\,+\,9\,=\,0\phantom{X}$, em que $\;m\;$ é uma constante real, considere as seguintes afirmações:

Se $\phantom{X} m\; \in \;\; ]-6, 6[\phantom{X}$ então existe apenas uma raiz real.

II.

Se $\phantom{X}m\,=\,-6\phantom{X}$ ou $\phantom{X}m\,=\,+6\phantom{X}$, então existe raiz com multiplicidade $\;2\;$.

III.

$\forall \;m \in \mathbb{R}\phantom{X}$, todas as raízes são reais.

Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas:

III

II e III

I e III

resposta: alternativa E
×

(UEMT) Dados os intervalos A = ]-2;1] e B=[0;2], então $\;A\,\cap\,B\;$ e $\;A\,\cup\,B\;$ são respectivamente:

]0;1[ e ]2;2[

]0;1] e ]-2;2]

[0;1] e ]-2;2]

[0;1[ e [-2;2[

[0;1[ e [-2;2]

resposta: (C)
×

(PUC) Seja $\;x\;$ elemento de $\;\mathbb{A}\;$. Se $\;x\,\notin \;]{\small -1};\,2]\,\text{, }\; x < 0\;$ ou $\; x \geqslant 3\,$, determine $\;\mathbb{A}\,$.

resposta: $\,A\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,x\,\leqslant \, -1 \; \text{ ou } \;x\, \geqslant \, 3 \,\rbrace\,$

×

(ITA - 1992) Considere as funções $\phantom{X} f\;:\;\mathbb{R^*}\,\rightarrow \,\mathbb{R}\;$,$\;\;g\;:\mathbb{R}\,\rightarrow\; \mathbb{R}\;\;$ e $\;\;h\,:\,\mathbb{R^*}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\phantom{X}$ definidas por:

$\phantom{X}f(x)\,=\,{\large 3}^{\,{\huge x\,+\,\frac{1}{x}}}\,$,
$\phantom{X}g(x)\,=\,x^2\,$;
$\phantom{X}h(x)\,=\,{\large \frac{81}{x}}\,$

O conjunto dos valores de $\phantom{X} x \phantom{X}$ em $\phantom{X}\mathbb{R^*} \phantom{X}$ tais que $\phantom{X} (f\circ g)(x)\,=\,(h\circ f)(x) \phantom{X}$, é subconjunto de:

$\,[0\,,\,3]\,$

$\,[-2\,,\,2]\,$

$\,[3\,,\,7]\,$

nenhuma das anteriores

$\,[-6\,,\,1]\,$

resposta: alternativa C
×

Em um "horário especial" um diretor de televisão dispõe de 7 intervalos para anúncios comerciais. Se existirem 7 diferentes tipos de anúncios, de quantas formas o diretor poderá colocar os 7 nos intervalos destinados a eles?

resposta: 7!

×

(CESGRANRIO - 1976) Sejam A = [-∞, 2] e B = [0, +∞] intervalos de número reais. Então, A ∩B é:

{1}

[-∞, 0]

vazio

{0, 1, 2}

[0, 2]

resposta: (E)
×

Uma partícula está em x = 5 m , quando t = 0 s ; em x = -7 m , quando t = 6 s e x = 2 m , quando t = 10 s . Determinar a velocidade média da partícula nos intervalos:

de 0 s a 6 s;

de 6 s a 10 s;

de 0 s a 10 s.

resposta: a) -2 m/s a) 2,25 m/s a) -0,3 m/s
×

O gráfico mostra a posição de um móvel de dimensões desprezíveis em função do tempo. Determinar as velocidades médias nos intervalos de tempo indicados por a, b, c e d .

gráfico cartesiano do espaço em metros em função do tempo em segundos

resposta: a) 0 m/s b) 1/3 m/s c) -2 m/s c) 1 m/s
×

Escreva com notação de conjunto e represente sobre a reta real os intervalos: $\phantom{X}\left]\,-1;\;2\;\right],\phantom{X}\left[0;\;3\right[,\phantom{X}\left]-1;\;1\right[\phantom{X}$ e $\phantom{X}\left[-1; 1\right]\phantom{X}$.

resposta: Resolução:

$\,\left]\,-1;\;2\;\right]\;=$

$\;\lbrace\;x\;\in\;{\rm\;I\!R}\;|\;-1\;\lt\;x\;\leqslant\;2\;\rbrace\;$
intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, de extremos -1 e 2.

$\,\left[\,0;\;3\;\right[\;=$

$\;\lbrace\;x\;\in\;{\rm\;I\!R}\;|\;0\;\leqslant\;x\;\lt\;3\;\rbrace\;$
intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, de extremos 0 e 3.

$\,\left]\,-1;\;1\;\right[\;=$

$\;\lbrace\;x\;\in\;{\rm\;I\!R}\;|\;-1\;\lt\;x\;\lt\;1\;\rbrace\;$
intervalo aberto de extremos -1 e 1

$\,\left[\,-1;\;1\;\right[\;=$

$\;\lbrace\;x\;\in\;{\rm\;I\!R}\;|\;-1\;\leqslant\;x\;\leqslant\;1\;\rbrace\;$
intervalo fechado de extremos -1 e 1

Sendo $\phantom{X}A\;=\;\left[0;\;4\right]\phantom{X}$ e $\phantom{X}B\;=\;\left[2;\;5\right]\phantom{X}$
a) determine A ∩ B e A ∪ B
b) determine A - B e B - A

resposta: Resolução:
a) A solução é obtida representando os intervalos lineares na reta, com os números que representam as extremidades de A e B (0 e 4; 2 e 5) em alinhamento vertical como abaixo:

intervalos lineares representados na reta

Então $\,A\,\cap\,B\,=\,\left[2;\,4\right]\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,2\,\leqslant\,x\,\leqslant\,4\,\rbrace\;$ e
$\,A\,\cup\,B\,=\,\left[0;\,5\right]\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,0\,\leqslant\,x\,\leqslant\,5\,\rbrace\,$
b)

representação linear da subtração de intervalos

$\,A\,-\,B\,=\,\left[0;\,2\right[\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,2\,\leqslant\,x\,\lt\,2\,\rbrace\;$
O extremo direito do intervalo é aberto porque se 2 ∈ B então 2 ∉ (A - B)

$\,B\,-\,A\,=\,\left]4;\,5\right]\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,4\,\lt\,x\,\leqslant\,5\,\rbrace\,$
O extremo esquerdo do intervalo resposta é aberto, pois se 4 ∈ A então 4 ∉ (B - A)

Escrever como notação de conjunto e representar sobre a reta real os intervalos: $\phantom{X}\left]\,-\infty\,,\,1\right]\,,\phantom{X}$ $\phantom{X}\left]-\infty,\,1\right[\,,\phantom{X}$ $\phantom{X}\left[1,\,+\infty\right[\,,\phantom{X}$ e $\phantom{X}\left]1,\,+\infty\,\right[\phantom{X}$.

resposta:

$\;\left]\,-\infty\,,\,1\right]\;=$

$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\leqslant\,1\,\rbrace\;$

$\;\left]-\infty,\,1\right[\;=$

$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\lt\,1\,\rbrace\;$

$\;\left[1,\,+\infty\right[\;=$

$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\geqslant\,1\,\rbrace\;$

$\;\left]1,\,+\infty\,\right[\;=$

$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\gt\,1\,\rbrace\;$

Sendo $\phantom{X}A\;=\;\left[-\infty ;\;2\right]\phantom{X}$ e $\phantom{X}B\;=\;\left[2;\;3\right[\phantom{X}$, determinar A ∩ B e A ∪ B

resposta: Resolução:
Observar os intervalos representados na reta.

Então $\,A\,\cap\,B\,=\,\lbrace\,2\,\rbrace\;$ e $\,A\,\cup\,B\,=\,\left]-\infty ;\,3\right[\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\lt\,3\,\rbrace\,$
×

(FGV - 1977) Dados os conjuntos $\phantom{X}A = \lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\gt\,6\,\rbrace\,\phantom{X}$ e $\phantom{X}B = \lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\lt\,3\,\rbrace\,\phantom{X}$, qual a sentença correta?

A ⊂ B;

A ∩ B = ∅

A ∪ B = {x | 3 < x < 6};

A ∩ B = {x | x > 3};

A ∪ B = ${\rm I\!R}$.

resposta: (B)
×

Sendo A = ]0; 2] e B = [1; 3] a afirmação verdadeira é:

A ⊂ B;

A ∩ B = ∅;

A ∪ B = [0; 3];

A - B = ]0;1[ ;

A - B = ]0;1] ;

resposta: (D)
×

(FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS - 1977) Dados os conjuntos P = [2;7] e Q = [-3;5[ , podemos afirmar que:

P ∪ Q = [-1;12[ ;

3 ∈ (Q - P) ;

5 ∉ P ∪ Q ;

[3;4] ⊂ P ∩ Q ;

P - Q = ]-3;2] ;

resposta: (D)
×

(PUC - 1977) Sendo o número real x tal que:
$x\;\notin\;\left]-1;2\right]\;,\;x\;\lt\;0\;$ ou $\;x\;\geqslant\;3\;$, pode-se concluir que:

$\,x\;\leqslant\;-1\,$ ou $\,x\;\geqslant\;3\,$;

$\,x\;\lt\;-1\,$ ou $\,x\;\geqslant\;3\,$;

$\,-1\;\lt\;x\;\lt\;0\,$ ou $\,2\;\lt\;x\;\leqslant\;3\,$;

$\,x\;\lt\;-1\,$ ou $\,x\;\geqslant\;2\,$;

$\,x\;\leqslant\;-1\,$ ou $\,x\;\gt\;3\,$;

resposta: (A)
×

(UFRGS - 1977) Se $\phantom{X}A\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-1\,\lt\,x\,\lt\,2\rbrace\phantom{X}$ e $\phantom{X}B\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-3\,\leqslant\,x\,\lt\,1\rbrace\phantom{X}$, então $\phantom{X}(A\,-\,B)\,\cup\,(B\,\cap\,A)\phantom{X}$ é o conjunto:

$\,\lbrace -1; 2\rbrace\,$;

$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,2\rbrace\,$;

$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-1\,\lt\,x\,\leqslant\,2\rbrace\,$;

$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-1\,\leqslant\,x\,\lt\,2\rbrace\,$;

$\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-1\,\lt\,x\,\lt\,2\rbrace\,$.

resposta: (E)
×

Se $\phantom{X}A\,=\,\left]-\infty;2\right]\phantom{X}$, $\phantom{X}B\,=\,\left[2;+\infty\right[\phantom{X}$ e $\phantom{X}C\,=\,\left]1;2\right[\phantom{X}$, então o número de elementos de $\phantom{X}(A\,\cap\,B)\,-\,C\phantom{X}$ é:

infinito;

um;

zero;

dois;

indeterminado.

resposta: (C)
×

(UNESP - 1977) Consideremos os conjuntos

A = [1;2] ∪ [3;4]

B = ]1;4] - {3}

C = [2;3[ ∪ {4} e

X = (A - B) ∪ (A ∩ C)

Então:

X ∪ A = B;

X ∩ B = C;

X ∪ C = X;

X ∩ A = X;

nenhuma das anteriores

resposta: (D)
×

(MED JUNDIAÍ) Dados os intervalos A = ]-2;1] e B = [0;2], então A ∩ B e A ∪ B são, respectivamente:

]0;1[ e ]-2;2[ ;

]0;1] e ]-2;2] ;

[0;1] e ]-2;2] ;

[0;1[ e [-2;2[ ;

[0;1[ e [-2;2] .

resposta: (C)
×

(MACKENZIE - 1979) Se designarmos por [3;4] o intervalo fechado, em $\,{\rm I\!R}\,$, de extremidades 3 e 4, é correto escrever:

{3;4} = [3;4] ;

{3;4} ∈ [3;4] ;

{3;4} ⊂ [3;4] ;

{3;4} ⊃ [3;4] ;

nenhuma das alternativa anteriores é correta.

resposta: (C)
×

(CESESP - 1977) Sejam $\,{\rm I\!R}\,$ o conjunto dos números reais, a e b elementos de $\,{\rm I\!R}\,$ tais que a < b e considere os intervalos:

(a,b) =

conjunto dos números reais x tais que a < x < b

[a,b) =

conjunto dos números reais x tais que a $\,\leqslant\,$ x < b

(a,b] =

conjunto dos números reais x tais que a < x $\,\leqslant\,$ b

[a,b] =

conjunto dos números reais x tais que a $\,\leqslant\,$ x $\,\leqslant\,$ b

Qual dentre as seguintes alternativas é verdadeira?

se x ∈ (a,b), então x² ∈ (a,b) ;

(a,b) é um conjunto ilimitado pois tem uma infinidade de elementos;

(a,b) tem um número finito de elementos pois é um conjunto limitado;

(a,b) = [a,b) ∪ (a,b] e [a,b] = [a,b) ∩ (a,b];

(a,b) = [a,b) ∩ (a,b] e [a,b] = (a,b] ∪ [a,b).

resposta: (E)
×

Para os itens seguintes, considere as funções $\,f\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\phantom{X}$ e $\phantom{X}g\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\;$ a seguir:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} f(x)\,=\,3\phantom{XXX}& \\ g(x)\,=\,x\,+\,1\;& \\ \end{array} \right.\,$

a) Represente num mesmo plano
cartesiano as funções f(x) e g(x) .

b) Calcule para quais valores
de $\;x\;$ as imagens
de f(x) e g(x) são iguais.

Calcule para quais intervalos do $\;x\;$ temos f(x) < 0 .

Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos g(x) < 0 .

Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos f(x) > g(x) .

Calcule as raízes de cada uma das funções citadas. .

resposta: a)

Para os itens seguintes, considere as funções $\,f\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\phantom{X}$ e $\phantom{X}g\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\;$ a seguir:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} f(x)\,=\,-\frac{\,2\,}{3}x\,+\,\frac{\,8\,}{3}\,& \\ g(x)\,=\,x\,+\,1\phantom{XXX}& \\ \end{array} \right.\,$

a) Represente num mesmo plano
cartesiano as funções f(x) e g(x) .

b) Calcule para quais valores
de $\;x\;$ as imagens
de f(x) e g(x) são iguais.

Calcule para quais intervalos do $\;x\;$ temos f(x) < 0 .

Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos g(x) < 0 .

Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos f(x) > g(x) .

Calcule os zeros das funções citadas.

resposta: a)

Veja exercÍcio sobre:
conjuntos
inequações
intervalos numéricos
intervalos lineares
intervalos