Exercícios sobre intersecção

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(MACKENZIE - 1969) Sendo $\,\mathbb{A}\,=\,\lbrace\,\lbrace\,1\,\rbrace , \,\lbrace\,2\,\rbrace,\,\lbrace\,1,\,2\,\rbrace\,\rbrace\,\;$ pode-se afirmar que

a) $\,\{1\}\,\notin \mathbb{A}\,$
b) $\,\{1\}\,\subset \mathbb{A}\,$
c) $\,\{1\}\,\cap\,\{2\}\,\not\subset \, \mathbb{A}\,$
d) $\,2\,\in \mathbb{A}\,$
e) $\,\{1\}\,\cup\,\{2\}\,\in \, \mathbb{A}\,$

resposta: (E)
×

Considere os conjuntos:
$\;S = \;\lbrace1,2,3,4,5\rbrace$ e $A =\;\lbrace2,4\rbrace$

Determine o conjunto $\;X\;$ de tal forma que as condições seguintes sejam ambas satisfeitas:
(1) $\;X\;\cap\;A\;=\;\varnothing$ (2)$\;X\;\cup\;A\;=\;S\;$

resposta:

Resolução:
Como $\;X\cap A = \varnothing\;\;$ e $\;\;X \cup A = S\;$, então $X = \overline{A} = S - A = \sideset{}{_S^A}\complement \;\Rightarrow$
$\Rightarrow\;X = \lbrace 1;3;5\rbrace$

Resposta:

$\;X = \lbrace 1;3;5\rbrace$
×

(PUCRIO) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente:
17% têm casa própria
22% têm automóvel
8% têm casa própria e automóvel

Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?

resposta: 69% não têm casa nem automóvel.
×

(MACKENZIE - 1982) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é:

249

137

158

127

183

resposta: (C)
×

Para cada item de (a.) até (n.) a seguir há uma operação com conjuntos e um diagrama representando três conjuntos A, B e C. Indique em cada diagrama o resultado da operação indicada.

a. $A\;\cup\;B$

b. $\;A\;\cup\;C$

c. $\;B\;\cup\;C$

d. $\;A\;\cap\;B$

e. $\;A\;\cap\;C$

f. $\;B\;\cap\;C$

g. $\;(A\;\cup\;B)\;\cap\;C$

h. $\;A\;\cup\;(B\;\cap\;C)$

i. $\;A\;\cup\;B\;\cup\;C$

j. $\;A\;\cap\;B\;\cap\;C$

k. ${\large \sideset{}{_S^{(A \cup B)}}\complement }$

l. ${\large\sideset{}{_S^A}\complement\; \cup \; \sideset{}{_S^B}\complement}$

m. ${\large \sideset{}{_A^{(A \cap B)}}\complement}$

n. ${\large \sideset{}{_B^{(A \cap B)}}\complement}$

resposta:

(PUC) Dado $\;A\,=\,\lbrace x \in \mathbb{R} \mid |x| = 2 \rbrace$, tem-se:

$\;A \subset \mathbb{N}$

$\;A \subset \mathbb{R}_+$

$\;A \cup \mathbb{Z}_+ \;=\; \mathbb{Z}_+$

$\;A \cap \mathbb{Z}_- \;=\;A$

$\;A \cap \mathbb{N}\;=\;2$

resposta: (E)
×

(OSEC) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e}, o conjunto (A - C) $\cup$ (C - B) $\cup$ (A $\cap$ B $\cap$ C) é:

a)	{a, b, c, e}	b)	{a, c, e}	c)	A
d)	{b, d, e}	e)	{a, b, c, d}

resposta: alternativa B
×

(PUC) Sabendo-se que $\,A\,$ e $\,B\,$ são subconjuntos de $\,U\,$, $ \;A\, \cap B \, = \, \lbrace c, d \rbrace\,$, $\;A\, \cup\, B \,=\, \lbrace a, b, c, d, e, f \rbrace\;$ e $\;\sideset{}{_U^A}\complement \, = \lbrace e, f, g, h, i \rbrace\,$, então:

n(A) = 2 e n(B) = 4

n(A) = 4 e n(B) = 2

n(A) = 3 e n(B) = 3

n(A) = 4 e n(B) = 4

n(A) = 1 e n(B) = 5

Observação: n(X) significa "número de elementos do conjunto X".

resposta: (D)
×

(OSEC) Sejam $\;A\;$ e $\;B\;$ conjuntos quaisquer.
$\;A\,\cup\;B\;=\;A\,\cap\,B\;$ se e somente se:

$\,A\,=\,\varnothing$

$\,A\,\supset\,B$

$\,A\,\subset\,B$

$\,A\,\supset\,B\;$ ou $\;B\,\supset\,A$

$\,A\,\subset\,B\;$ e $\;B\,\subset\,A$

resposta: (E)
×

(CESGRANRIO) Se $\,X\,$ e $\,Y\,$ são conjuntos e $\,X\,\cup\,Y\,=\,Y\,$, pode-se concluir que:

$\,X \,\subset\, Y$

$\,X \,=\,Y$

$\,X\,\cap\,Y\,=\,Y$

$\,X \,=\,\varnothing $

$\,Y\,\subset\,X$

resposta: (A)
×

Sendo $\,A\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,1\,\leqslant\,x\, < \,3\,\rbrace\;$ e $\;B\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,x\,\leqslant\,1 \; \text{ ou }\,x > 2\,\rbrace\;\,$, determinar:

$\,A \cup B\,$

$\,A \cap B\,$

$\,A \,-\, B\,$

$\,B \,-\, A\,$

$\,\large{\overline{A}} \,$

Obs.: $\,\large{\overline{A}} \;$ é o complementar de A em relação a $\,\mathbb{R}\;$, ou $\;\overline{A} \,=\, \sideset{}{_A^\mathbb{R}}\complement \,$

resposta:

$\boxed{\,A \cup B\,=\, \mathbb{R}\,}$

intersecção do conjunto A com o conjunto B

$\boxed{\small\,A \cap B\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,x\,=\,1\;\text{ ou }\; 2 < x < 3\,\rbrace\,}$

$\boxed{\,A\,-\,B\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid 1\,<\,x\, \leqslant 2\,\rbrace\,}$

subtração de conjuntos - conjunto B menos conjunto A

$\boxed{\small\,B\,-\,A\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,x\,<\,1\;\text{ ou }\;x \geqslant 3\,\rbrace\,}$

complementar do conjunto A em relação a R

$\boxed{\,\overline{A}\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,x\,<\,1\;\text{ ou }\;x \geqslant 3\,\rbrace\,}$

(ITA - 1979) Considere o triângulo ABC , onde AD é a mediana relativa do lado BC . Por um ponto arbitrário M do segmento BD , tracemos o segmento MP paralelo a AD , onde P é o ponto de intersecção desta paralela com o prolongamento do lado AC . Se N é o ponto de intersecção de AB com MP , podemos afirmar que:

MN + MP = 2BM

MN + MP = 2CM

MN + MP = 2AB

MN + MP = 2AD

MN + MP = 2AC

triângulo ABC com mediana AD e prolongamento de AC

resposta:

Resolução:

1.$\;\overline{MN}\;$ é paralelo a $\;\overline{AD}\;$ e $\;\overline{AD}\;$ é paralelo a $\;\overline{MP}\;$
$MN // AD\;\Rightarrow\;$ $\;\triangle BMN\thicksim\triangle BDA\;\Rightarrow\;\dfrac{MN}{DA}\,=\,\dfrac{BM}{BD}\;\Rightarrow\;$ $\;MN\,=\,DA\centerdot\, \dfrac{BM}{BD}\phantom{X}$(I)

$AD // MP\;\Rightarrow\;\triangle MPC\thicksim\triangle DAC\;\Rightarrow\;$ $\; \dfrac{MP}{DA}\,=\, \dfrac{MC}{DC}\;\Rightarrow\;$ $\;MP\,=\,DA\centerdot\,\dfrac{MC}{DC}\phantom{X}$(II)

2. Fazendo a soma (I) + (II):

$\;MN\,+\,MP\,=\,$ $\,DA\,\centerdot\,\dfrac{BM}{BD}\,+\,DA\,\centerdot\,\dfrac{MC}{DC}\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,(\dfrac{BM}{BD}\,+\, \dfrac{MC}{DC})$

3.$\;AD\;$ é a mediana relativa ao lado $\;BC\;\Rightarrow\;D\;$ é ponto médio de $\;BC\;\Rightarrow\;BD\,=\,DC\;$.

$\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\left(\dfrac{BM}{BD}\,+\, \dfrac{MC}{BD}\right)\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\left(\dfrac{BM + MC}{BD}\right)$

4. Da figura, $\;BM\,+\,MC\,=\,BC\;$, então concluimos que:

$\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\left( \dfrac{BC}{BD}\right)\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\, \dfrac{(BD\,+\,DC)}{BD}\;\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,\dfrac{(BD\,+\,BD)}{BD}\;\Leftrightarrow\;$ $\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\, \dfrac{2(BD)}{BD}\;\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow\;MN\,+\,MP\,=\,DA\,\centerdot\,2\;\Leftrightarrow\;$

$\;\boxed{\;MN\,+\,MP\,=\,2\,\centerdot\,DA\;}$

Resposta:

(D)

×

(ITA - 1990) Seja $\;C\;$ o centro da circunferência $\;x^2\,+\,y^2\,-\,6\sqrt{2}y\,=\,0\;$. Considere $\,A\,$ e $\,B\,$ os pontos de intersecção desta circunferência com a reta $\,y\,=\,\sqrt{2}x\,$. Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices $\,A\,$, $\,B\,$ e $\,C\,$ é:

$\,6\sqrt{2}\,+\,\sqrt{3}\,$

$\,4\sqrt{3}\,+\,\sqrt{2}\,$

$\,\sqrt{2}\,+\,\sqrt{3}\,$

$\,5\sqrt{3}\,+\,\sqrt{2}\,$

n.d.a.

resposta: (E)
×

(UNESP) Dadas as funções trigonométricas $\,f(x)\,=\,\operatorname{sen}x\,$ e $\,g(x)\,=\,\operatorname{sen}(2x)\,$, os valores de $\;x \mbox{, }\,0\,\leqslant\,x\,\leqslant\,\pi\,$, para os quais há intersecção entre os gráficos de $\,f(x)\,$ e $\,g(x)\,$ são:

$\,\dfrac{\pi}{2}\,$ e $\,\dfrac{\pi}{4}\,$

$\,0\,$, $\,\dfrac{\pi}{3}\,$ e $\,\pi\,$

$\,0\,$ e $\,\dfrac{\pi}{4}\,$

$\,0\,$, $\dfrac{\pi}{2}\,$ e $\,\dfrac{\pi}{4}\,$

$\,\dfrac{\pi}{6}\,$ e $\,\pi\,$

resposta: (B)
×

(FUVEST - 1977) Resolva (em $\,\mathbb{R}\,$) a inequação
$\phantom{XXX}\dfrac{\large x^2\,-\,x\,-\,1}{\large \sqrt{x^2\,-\,3x}}\,\geqslant\,0\phantom{X}$

resposta:

$\phantom{X}\dfrac{\large x^2\,-\,x\,-\,1}{\large \sqrt{x^2\,-\,3x}}\,>\,0\phantom{X}\Longleftrightarrow\;\left\{ \begin{array}{rcr} x^{\large 2}\,-\,3x\,>\,0\phantom{XX}&(I) \\ x^{\large 2}\,-\,x\,-\,1\,\geqslant\,0\,&(II) \\ \end{array}\right.$

Solução de (I)
$\,x^2\,-\,3x\,>\,0\;\Rightarrow\;x(x\,-\,3)\,>\,0\;\Longleftrightarrow\;x\,<\,0\,$ ou $\,x\,>\,3\,$
O gráfico de $\;f(x)\,=\,x^2\,-\,3x\;$ é uma parábola como na figura:

Temos então do gráfico que a solução de (I) é $\;S_1\,=\,\left\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\;|\;x\,<\,0\;\mbox{ou}\;x\,>\,3\,\right\}\,$

Solução de (II)
Como o gráfico $\,f(x)\,=\,x^2\,-\,x\,-\,1\,$ é uma parábola do tipo:

então: $\,x^2\,-\,x\,-1\,\geqslant\,0\;\Longleftrightarrow\;x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,\geqslant\,\dfrac{1\,+\,\sqrt{5}}{2}\;\,$ e temos o conjunto temporário da situação (II)
$\;S_2\,=\,\left\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\;|\;x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,\geqslant\,\dfrac{1\,+\,\sqrt{5}}{2}\,\right\}\;$

Solução da questão (Conjunto Verdade)
A solução é o conjunto Verdade, a intersecção dos dois conjuntos $\,S_1\,$ e $\,S_2\,$
$\;V\,=\,S_1\,\cap\,S_2\,=\,\left\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\;|\;x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,>\,3\,\right\}\;$ conforme o diagrama abaixo:

RESPOSTA:

$\,V\,=\,\lbrace\,x\,\in\,\mathbb{R}\,|\,x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,>\,3 \rbrace\,$

×

(FUVEST - 1977) Determine a intersecção das curvas de $\,{\rm\,I\!R}\,×\,{\rm\,I\!R}\,$ dadas por $\,x^3\,-\,x^2\,=\,0\phantom{X}$ e $\phantom{X}y^3\,-\,y^2\,=\,0\,$

resposta: $\,A\,\cap\,B\,=\,\lbrace\,(0;0),\,(0;1),\,(1;0),\,(1;1)\,\rbrace\,$

×

(FGV - 1970) A parte hachurada no gráfico representa:

$\,A\,\cap\,(B\,\cup\,C)\,$

$\,(A\,\cap\,B)\,\cup\,C\,$

$\,(A\,\cup\,B)\,\cap\,C\,$

$\,A\,\cup\,(B\,\cap\,C)\,$

nenhuma das respostas anteriores

resposta: (A)
×

Se uma imagem é real em relação a um Sistema Óptico, podemos concluir que:

ela poderá sempre ser recebida num anteparo;

ela estará sempre na intersecção física dos raios da luz;

ela nunca poderá ser recebida num anteparo;

els só poderá ser um objeto real para um outro Sistema Óptico colocado em série com o primeiro;

ela poderá ser um objeto virtual para outro Sistema Óptico.

resposta: Alternativa E
×

Se uma imagem é virtual em relação a um Sistema Óptico, então:

ela nunca poderá ser recebida num anteparo;

ele pode estar na intersecção física dos raios de luz;

ela pode constituir-se num objeto virtual para um outro Sistema Óptico, colocado em série com o primeiro;

ela não pode ser um objeto real para um outro Sistema Óptico, colocado em série com o primeiro;

nenhuma das anteriores.

resposta: Alternativa A
×

Determine o valor de x nos casos:

a) $\,s\,$ é perpendicular a $\;\overline{AB}\,$

circunferência de centro O com corda AB e reta s perpendicular a AB

b) $\,\overline{PA}\,$ e $\,\overline{PB}\,$ são tangentes à circunferência

ponto P externo é intersecção de duas tangentes à circunferência de centro O

resposta: a) 6b) 9
×

(EESC USP - 1969) Encontrar a equação da reta que é perpendicular à reta $\;x\,+\,y\,-3\,=\,0\;$ e forma com os eixos coordenados um triângulo de área 8 unidades de área, de modo que este triângulo tenha intersecção não vazia com a reta $\;x\,-\,2y\,=\,1\,$.

resposta: x - y - 4 = 0

×

Dados os pontos A( 3; -1) e B( -2; 4), determinar a intersecção de AB com:

eixo das abscissas

II)

eixo das ordenadas

III)

bissetriz dos quadrantes ímpares

IV)

bissetriz dos quadrantes pares

resposta: I) (2;0) II) (0;2) III)(1;1) IV) não existe

×

Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número de elmentos de A ∩ (B ∪ C) sabendo-se que:
a) A ∩ B tem 26 elementos
b) A ∩ C tem 10 elementos
c) A ∩ B ∩ C tem 7 elementos

resposta:

Intersecção do conjunto A com a união dos conjuntos B e C

Resolução:
Observe a figura onde está representado A ∩ (B ∪ C) .
1)n(A ∩ B ∩ C) = b ⇒ b = 7
2)n(A ∩ B) = b + c ⇒ b + c = 26 ⇒ c = 19 pois b = 7
3)n(A ∩ C) = a + b ⇒ a + b = 10 ⇒ a = 3 pois b = 7
Então n[A ∩ (B ∪ C)] = a + b + c = 3 + 7 + 19 = 29

n[A ∩ (B ∪ C)] = 29
×

Numa escola existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se:
a) Quantas crianças existem na escola?
b) Quantas crianças ou são meninas ou são ruivas?

resposta:

a) Existem 70 crianças na escola
b) 57 crianças são meninas ou são ruivos.
×

Hachurar na figura abaixo A ∩ B ∩ C .

diagrama de Venn-Euler dos conjuntos A B e C

resposta:

(MAPOFEI - 1971) É dada a função $\phantom{X}y\,=\,(2x^2\,-\,9x\,-\,5)(x^2\,-\,2x\,+2)\phantom{X}$
Determinar:

os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo das abscissas.

o conjunto dos valores de x para os quais $\,y\,\leqslant\,0\,$.

resposta:

a) P₁ = (5, 0) e P₂ = (-1/2, 0)

b) $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\frac{1}{2}\,\leqslant\,x\,\leqslant\,5\rbrace\;$

Na figura, Y é um espelho côncavo e X é o seu foco principal. O é um objeto pontual. Qual dos pontos A , B , C , D ou E melhor corresponde à imagem de O conjugada por Y?

resposta: (E)

Resolução:

espelho côncavo com raios definindo a imagem do objeto puntiforme O

De acordo com o enunciado, X é o foco do espelho.
O raio incidente (I) representado em vermelho é paralelo ao eixo principal e reflete passando pelo foco.
O raio incidente (II) representado em azul passa pelo foco e reflete paralelo ao eixo principal do espelho.
A formação da imagem é na intersecção dos raios refletidos, o que acontece em E.

(FUVEST - 2001) Na figura abaixo, tem-se um cilindro circular reto, onde A e B são os centros das bases e C é um ponto da intersecção da superfície lateral com a base inferior do cilindro. Se D é o ponto do segmento $\,\overline{BC}\,$, cujas distâncias a $\,\overline{AC}\,$ e $\,\overline{AB}\,$ são ambas iguais a d , obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área total (área lateral somada com as áreas das bases), em função de d .

resposta: d/2
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Veja exercÍcio sobre:
teoria dos conjuntos
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intersecção
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