(ITA - 2004) Seja $\;\alpha\;$ um número real, com $\;0 < \alpha < 1\;$. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de $\;x\;$ tais que $\; \alpha^{\large 2x}\left( \dfrac{1}{\sqrt{\alpha}} \right)^{\large 2x^2} < 1$.
a)
$] -\infty , 0]\;\; \cup \;\; [2, + \infty[$
b)
$] -\infty , 0[ \;\; \cup \;\; ]2, + \infty[$
✓ mostrar resposta ... Resolver em $\,\mathbb{R}\,$ as inequações, aplicando as propriedades da desigualdade.
c)
$\,6\,-\,2x\,\geqslant\,0\,$
d)
$\,x\,-\,3\,<\,x\,+\,3\,$
e)
$\,-x\,+3\,\leqslant \,x\,+\,3\,$
f)
$\,x\,-\,2\, > \,x\,+\,2\,$
✓ mostrar resposta ... resposta:
Resolução :
a)
$\,3x\,-\,6\,<\,0\;\Rightarrow $ $ \; 3x\,<\,6\; \Rightarrow $ $ \;\boxed{x<2}\,$
b)
$\,-3x\,+\,6\, < \, 0 \; \Rightarrow $ $ \; -3x\, < \, -6 \;\Rightarrow $ $ \; \boxed{x > 2} \,$
c)
$\,6\,-\,2x\,\geqslant 0 \; \Rightarrow $ $ \; -2x\, \geqslant \,-6 \;\Rightarrow $ $ \boxed{x \leqslant 3}\,$
d)
$\,x\,-\,3\, < \, x\,+\,3 \; \Rightarrow $ $ \; 0x\, < 6 \;$ que ocorre para $\; \boxed{\,\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x \,\in\, \, \mathbb{R} \,}\,$
e)
$\,-x\,+\,3\,\leqslant \,x\,+\,3\; \Rightarrow $ $ \,-2x \, \leqslant \, 0 \Rightarrow $ $ \boxed{x \geqslant 0}\,$
f)
$\,x\,-\,2\, > \, x\,+\,2 \; \Rightarrow $ $ \; 0x \, > \, 4 \; \Rightarrow $ $ \; \boxed{x \notin \mathbb{R}}\;$ ou $ \; \mathbb{S} \,=\, \varnothing \,$
× (FUVEST - 1977) Resolva (em $\,\mathbb{R}\,$) a inequação
$\phantom{XXX}\dfrac{\large x^2\,-\,x\,-\,1}{\large \sqrt{x^2\,-\,3x}}\,\geqslant\,0\phantom{X}$
✓ mostrar resposta ... resposta:
$\phantom{X}\dfrac{\large x^2\,-\,x\,-\,1}{\large \sqrt{x^2\,-\,3x}}\,>\,0\phantom{X}\Longleftrightarrow\;\left\{ \begin{array}{rcr} x^{\large 2}\,-\,3x\,>\,0\phantom{XX}&(I) \\ x^{\large 2}\,-\,x\,-\,1\,\geqslant\,0\,&(II) \\ \end{array}\right.$
Solução de (I) $\,x^2\,-\,3x\,>\,0\;\Rightarrow\;x(x\,-\,3)\,>\,0\;\Longleftrightarrow\;x\,<\,0\,$ ou $\,x\,>\,3\,$
O gráfico de $\;f(x)\,=\,x^2\,-\,3x\;$ é uma parábola como na figura:
Temos então do gráfico que a solução de
(I) é $\;S_1\,=\,\left\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\;|\;x\,<\,0\;\mbox{ou}\;x\,>\,3\,\right\}\,$
Solução de (II) Como o gráfico $\,f(x)\,=\,x^2\,-\,x\,-\,1\,$ é uma parábola do tipo:
então: $\,x^2\,-\,x\,-1\,\geqslant\,0\;\Longleftrightarrow\;x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,\geqslant\,\dfrac{1\,+\,\sqrt{5}}{2}\;\,$ e temos o conjunto temporário da situação
(II) $\;S_2\,=\,\left\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\;|\;x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,\geqslant\,\dfrac{1\,+\,\sqrt{5}}{2}\,\right\}\;$
Solução da questão (Conjunto Verdade) A solução é o conjunto Verdade, a intersecção dos dois conjuntos $\,S_1\,$ e $\,S_2\,$
$\;V\,=\,S_1\,\cap\,S_2\,=\,\left\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\;|\;x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,>\,3\,\right\}\;$ conforme o diagrama abaixo:
RESPOSTA: $\,V\,=\,\lbrace\,x\,\in\,\mathbb{R}\,|\,x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,>\,3 \rbrace\,$
× (FUVEST - 1977) Construa o gráfico da relação definida pelas desigualdades:
$\phantom{XXX} \left\{\begin{array}{rcr} log_2(y\,-\,x^2)\,\geqslant & log_218\,-\,2\,log_23 \\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\large 3x\,-\,y}\,\leqslant\,1 & \\ \end{array} \right.$
✓ mostrar resposta ... Resolver em $\;{\rm I\!R}\;$ a inequação $\phantom{X}-2\;\lt\;3x\,-\,1\;\lt\;4\phantom{X}$
✓ mostrar resposta ... resposta: $\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\dfrac{1}{\;3\;}\,\lt\,x\,\lt\,\dfrac{5}{\;3\;} \rbrace\,$
× Resolver as inequações em $\;{\rm I\!R}\;$:
a)
$\,-4\;\lt\;4\,-\,2x\;\leqslant\;3\,$
b)
$\,-3\;\lt\;3x\,-\,2\;\lt\;x\,$
c)
$\,x\,+\,1\;\leqslant\;7\,-\,3x\;\lt\;\dfrac{\;x\;}{\;2\;}\,-\,1\,$
d)
$\,3x\,+\,4\;\lt\;5\;\lt\;6\,-\,2x\,$
e)
$\,2\,-\,x\;\lt\;3x\,+\,2\;\lt\;4x\,+\,1\,$
✓ mostrar resposta ... resposta:
a)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;\dfrac{1}{\;2\;}\,\leqslant\,x\,\lt\,4 \rbrace\,$
b)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\dfrac{1}{\;3\;}\,\lt\,x\,\lt\,1 \rbrace\,$
c)
$\,\mathbb{S}\;=\;\varnothing\,$
d)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,\dfrac{1}{\;3\;} \rbrace\,$
e)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\gt\,1 \rbrace\,$
× Baseado no gráfico das
funções f , g e h , definidas no conjunto dos números reais, determine os valores de $\,x\;\in\;{\rm I\!R}\,$ tais que:
a)
$\,f(x)\,\lt\,g(x)\,\leqslant\,h(x)\,$
b)
$\,g(x)\,\leqslant\,f(x)\,\lt\,h(x)\,$
c)
$\,h(x)\,\leqslant\,f(x)\,\lt\,g(x)\,$
✓ mostrar resposta ... resposta:
a) $\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;1\,\lt\,x\,\leqslant\,4 \rbrace\,$ b) $\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-3\,\lt\,x\,\leqslant\,1 \rbrace\,$ c)$\,\mathbb{S}\,=\,\varnothing\,$ × Resolver os sistemas de inequações em $\phantom{X}{\rm I\!R}\phantom{X}$:
a)
$\,\left\{\begin{array}{rcr} 3x\,-\,2\,\gt\,4x\,+\,1\;& \\ 5x\,+\,1\,\leqslant\,2x\,-\,5\;& \\ \end{array} \right.\,$
b)
$\,\left\{\begin{array}{rcr} 5\,-\,2x\;\lt\;0\phantom{XXX}& \\ 3x\,+\,1\,\geqslant\,4x\,-\,5\;& \\x\,-\,3\,\geqslant\,0\phantom{XXXX}& \\ \end{array} \right.\,$
c)
$\,\left\{\begin{array}{rcr} 3x\,+\,2\,\geqslant\,5x\,-\,2\;& \\ 4x\,-\,1\,\gt\,3x\,-\,4\;& \\3\,-\,2x\,\lt\,x\,-\,6\phantom{X}& \\ \end{array} \right.\,$
d)
$\,\left\{\begin{array}{rcr}\dfrac{\;2x\,-\,5\;}{\;1\,-\,x\;} \;\leqslant\;-2\phantom{X}& \\ \dfrac{\,x^2\,+\,x\,+\,3\,}{x\,+\,1}\,\gt\,x\;& \\ \end{array} \right.\,$
✓ mostrar resposta ... resposta:
a)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-3\,\rbrace\,$
b)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;3\,\leqslant\,x\,\leqslant\,6 \rbrace\,$
c)
$\,\mathbb{S}\;=\;\varnothing\,$
d)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\lt\,x\,\lt\,1 \rbrace\,$
× Resolver a inequação $\phantom{X}(3x\,-\,2)(x\,+\,1)(3\,-\,x)\;\lt\;0\phantom{X}$ em $\,{\rm I\!R}\,$
✓ mostrar resposta ... resposta: $\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\lt\,x\,\lt\,\frac{\,2\,}{3}\;{\text ou}\;x\,\gt\,3 \rbrace\,$
× Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ as inequações:
a)
$\,(3x\,+\,3)(5x\,-\,3)\;\gt\;0\,$
b)
$\,(4\,-\,2x)(5\,+\,2x)\;\lt\;0\,$
c)
$\,(5x\,+\,2)(2\,-\,x)(4x\,+\,3)\;\gt\;0\,$
d)
$\,(3x\,+\,2)(-3x\,+\,4)(x\,-\,6)\;\lt\;0\,$
e)
$\,(6x\,-\,1)(2x\,+\,7)\;\geqslant\;0\,$
✓ mostrar resposta ... resposta:
a)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-1\;{\text ou}\;x\,\gt\,\frac{\,3\,}{5} \rbrace\,$
b)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-\frac{\,5\,}{2}\;{\text ou}\;x\,\gt\,2 \rbrace\,$
c)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-\frac{\,3\,}{4}\;{\text ou}\;-\frac{\,2\,}{5}\,\lt\,x\,\lt\,2 \rbrace\,$
d)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\frac{\,2\,}{3}\,\lt\,x\,\lt\,\frac{\,4\,}{3}\;{\text ou}\;x\,\gt\,6 \rbrace\,$
e)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,-\frac{\,7\,}{2}\;{\text ou}\;x\,\geqslant\,\frac{\,1\,}{6} \rbrace\,$
× Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ as inequações:
a)
$\,(5\,-\,2x)(-7x\,-\,2)\;\leqslant\;0\,$
b)
$\,(3\,-\,2x)(4x\,+\,1)(5x\,+\,3)\;\geqslant\;0\,$
c)
$\,(5\,-\,3x)(7\,-\,2x)(1\,-\,4x)\;\leqslant\;0\,$
✓ mostrar resposta ... resposta:
a)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\frac{\,2\,}{7}\,\leqslant\,x\,\leqslant\,\frac{\,5\,}{2} \rbrace\,$
b)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,-\frac{\,3\,}{5}\;{\text ou}\;-\frac{\,1\,}{4}\leqslant\,x\,\leqslant\,\frac{3}{\,2\,} \rbrace\,$
c)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;\frac{\,1\,}{4}\leqslant\,x\,\leqslant\,\frac{\,5\,}{3}\;{\text ou}\;x\,\geqslant\,\frac{\,7\,}{2} \rbrace\,$
× Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ as inequações:
a)
$\,(x\,-\,3)^{{}^{\LARGE 4}}\;\gt\;0\,$
b)
$\,(3\,+\,8)^{{}^{\LARGE 3}}\;\lt\;0\,$
c)
$\,(4\,-\,5x)^{{}^{\LARGE 6}}\;\lt\;0\,$
d)
$\,(1\,-\,7x)^{{}^{\LARGE 5}}\;\gt\;0\,$
e)
$\,(3x\,+\,5)^{{}^{\LARGE 2}}\;\geqslant\;0\,$
f)
$\,(5x\,+\,1)^{{}^{\LARGE 3}}\;\leqslant\;0\,$
g)
$\,(4\,+\,3x)^{{}^{\LARGE 4}}\;\leqslant\;0\,$
h)
$\,(3x\,-\,8)^{{}^{\LARGE 5}}\;\geqslant\;0\,$
✓ mostrar resposta ... resposta:
a)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\ne\,3\rbrace\;$
b)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-\frac{\,8\,}{3}\rbrace\;$
c)
$\,\mathbb{S}\;=\;\varnothing\;$
d)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,\frac{\,1\,}{7}\rbrace\;$
e)
$\,\mathbb{S}\;=\;{\rm I\!R}\;$
f)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,-\frac{\,1\,}{5}\rbrace\;$
g)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace -\frac{\,4\,}{3}\rbrace\;$
h)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\geqslant\,\frac{\,8\,}{3}\rbrace\;$
× Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ a inequação $\phantom{X}(x\,-\,3)^{{}^{\LARGE 5}}\,\centerdot\,(2x\,+\,3)^{{}^{\LARGE 6}}\;\lt\;0\phantom{X}$.
✓ mostrar resposta ... resposta: $\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,3\phantom{X}{\text e}\phantom{X}x\,\ne\,-\frac{\,3\,}{2}\rbrace\;$
× Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ as inequações:
a)
$\phantom{X}(5x\,+\,4)^{{}^{\LARGE 4}}\,\centerdot\,(7x\,-\,2)^{{}^{\LARGE 3}}\;\geqslant\;0\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}(3x\,+\,1)^{{}^{\LARGE 3}}\,\centerdot\,(2\,-\,5x)^{{}^{\LARGE 5}}\,\centerdot\,(x\,+\,4)^{{}^{\LARGE 8}}\;\gt\;0\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}(x\,+\,6)^{{}^{\LARGE 7}}\,\centerdot\,(6x\,-\,2)^{{}^{\LARGE 4}}\,\centerdot\,(4x\,+\,5)^{{}^{\LARGE 10}}\;\leqslant\;0\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}(5x\,-\,1)^{{}^{\LARGE 3}}\,\centerdot\,(2x\,+\,6)^{{}^{\LARGE 8}}\,\centerdot\,(4\,-\,6x)^{{}^{\LARGE 6}}\;\geqslant\;0\phantom{X}$.
✓ mostrar resposta ... resposta:
a)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\geqslant\,\frac{\,2\,}{7}\rbrace\;$
b)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\frac{\,1\,}{3}\,\lt\,x\,\lt\,\frac{\,2\,}{5}\rbrace\;$
c)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,-6\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,=\,\frac{\,1\,}{3}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,=\,-\frac{\,5\,}{4}\rbrace\;$
d)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\geqslant\,\frac{\,1\,}{5}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,=\,-3\rbrace\;$
× Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ a inequação $\phantom{X}\dfrac{\;3x\,+\,4\;}{1\,-\,x}\phantom{X}$
✓ mostrar resposta ... resposta: $\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,-\frac{2}{5}\phantom{X}{\text e}\phantom{X}x\,\gt\,1\rbrace\;$
× Resolver as inequações:
a)
$\,4\,\lt\,x^2\,-\,12\,\leqslant\,4x\,$
b)
$\,x^2\,+\,1\,\lt\,2x^2\,-\,3\,\leqslant\,-5x\,$
c)
$\,0\,\leqslant\,x^2\,-\,3x\,+\,2\,\leqslant\,6\,$
d)
$\,7x\,+\,1\,\lt\,x^2\,+\,3x\,-\,4\,\leqslant\,2x\,+\,2\,$
e)
$\,0\,\lt\,x^2\,+\,x\,+\,1\,\lt\,1\,$
e)
$\,4x^2\,-\,5x\,+\,4\,\lt\,3x^2\,-\,6x\,+\,6\,\lt\,x^2\,+\,3x\,-\,4\,$
✓ mostrar resposta ... resposta: a)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;4\,\lt\,x\,\leqslant\,6\rbrace$
b)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-3\,\leqslant\,x\,\lt\,-2\rbrace$
c)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,1\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}2\,\leqslant\,x\,\leqslant\,4\rbrace$
d)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-3\,\leqslant\,x\,\lt\,-1\rbrace$
e)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\lt\,x\,\lt\,0\rbrace$
f)$\,\mathbb{S}\,=\,\varnothing\;$
× Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ as inequaçoes abaixo
a)
$\,\dfrac{\;2x\,+\,1\;}{\;x\,+\,2\;}\;\gt\;0\,$
b)
$\,\dfrac{\;3x\,-\,2\;}{\;3\,-\,2x\;}\;\lt\;0\,$
c)
$\,\dfrac{\;3\,-\,4x\;}{\;5x\,+\,1\;}\;\geqslant\;0\,$
d)
$\,\dfrac{\;-3\,-\,2x\;}{\;3x\,+\,1\;}\;\leqslant\;0\,$
✓ mostrar resposta ... resposta:
a)$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-2\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,-\frac{\,1\,}{2}\rbrace\;$ b)$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,\frac{\,2\,}{3}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,\frac{\,3\,}{2}\rbrace\;$ c)$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\frac{\,1\,}{5}\,\lt\,x\,\leqslant\,\frac{\,3\,}{4}\rbrace\;$ d)$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,-\frac{\,3\,}{2}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,-\frac{\,1\,}{3}\rbrace\;$ × Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ as inequaçoes quociente:
a)
$\,\dfrac{\;5x\,-\,3\;}{\;3x\,-\,4\;}\;\gt\;-1\phantom{X}$
b)
$\,\dfrac{\;5x\,-\,2\;}{\;3x\,+\,4\;}\;\lt\;2\,$
c)
$\,\dfrac{\;x\,-\,1\;}{\;x\,+\,1\;}\;\geqslant\;3\,$
d)
$\,\dfrac{\;3x\,-\,5\;}{\;2x\,-\,4\;}\;\leqslant\;1\,$
✓ mostrar resposta ... resposta:
a)$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,\frac{\,7\,}{8}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,\frac{\,4\,}{3}\rbrace\;$ b)$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-10\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,\frac{\,-4\,}{3}\rbrace\;$ c)$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-2\,\leqslant\,x\,\lt\,-1\rbrace\;$ d)$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;1\,\leqslant\,x\,\lt\,2\rbrace\;$ × Resolver as inequações em $\,{\rm I\!R}\,$:
a)
$\,\dfrac{\;(1\,-\,2x)(3\,+\,4x)\;}{(4\,-\,x)}\;\gt\;0\,$
b)
$\,\dfrac{\;(3x\,+\,1)\;}{\;(2x\,+\,5)(5x\,+\,3)\;}\;\lt\;0\,$
c)
$\,\dfrac{\;(5x\,+\,4)(4x\,+\,1)\;}{(5\,-\,4x)}\;\geqslant\;0\,$
d)
$\,\dfrac{\;(1\,-\,2x)\;}{\;(5\,-\,x)(3\,-\,x)\;}\;\leqslant\;0\,$
✓ mostrar resposta ... resposta:
a)$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;\frac{-3}{4}\,\lt\,x\,\lt\,\frac{1}{2}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,4\rbrace\;$ b)$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-\frac{5}{2}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}-\frac{3}{5}\,\lt\,x\,\lt\,-\frac{1}{3}\rbrace\;$ c)$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,-\frac{4}{5}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}-\frac{1}{4}\,\leqslant\,x\,\lt\,\frac{5}{4}\rbrace\;$ d)$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;\frac{1}{2}\,\leqslant\,x\,\lt\,3\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,5\rbrace\;$ × (PUC - 1977) O trinômio $\phantom{X}-x^2\,+\,3x\,-\,4\phantom{X}$:
a)
é positivo para todo número real x
b)
é negativo para todo número real x
c)
muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os números reais
d)
é positivo para 1 < x < 4
e)
é positivo para x < 1 ou x > 4
✓ mostrar resposta ... (PUC - 1977) Para qual dos seguintes conjuntos de valores
de m o polinômio $\phantom{X}P(x)\,=\,mx^2\,+\,2(m\,-\,2)x\,+\,m^2\phantom{X}$ é negativo
quando x = 1 ?
✓ mostrar resposta ... (CESCEM - 1975) A expressão $\phantom{X}ax^2\,+\,bx\,+\,c\phantom{X}$ onde $\phantom{X}b^2\,-\,4ac\,\gt\,0\phantom{X}$ e $\phantom{X}a\,\lt\,0\phantom{X}$ é estritamente positiva
se x for: c)
igual às raízes
d)
exterior às raízes
✓ mostrar resposta ... Resolver as inequações do segundo grau a seguir em $\,{\rm I\!R}\,$:
a)
$\,x^2\,-\,3x\,+\,2\;\gt\;0\,$
b)
$\,-x^2\,+\,x\,+\,6\;\gt\;0\,$
c)
$\,-3x^2\,-\,8x\,+\,3\;\leqslant\;0\,$
d)
$\,-x^2\,+\,\dfrac{\,3\,}{\,2\,}x\,+\,10\;\geqslant\;0\,$
e)
$\,8x^2\,-\,14x\,+\,3\;\leqslant\;0\,$
f)
$\,4x^2\,-\,4x\,+\,1\;\gt\;0\,$
g)
$\,x^2\,-\,6x\,+\,9\;\geqslant\;0\,$
h)
$\,-4x^2\,+\,12x\,-\,9\;\geqslant\;0\,$
i)
$\,x^2\,+\,3x\,+\,7\;\gt\;0\,$
j)
$\,-3x^2\,+\,3x\,-\,3\;\lt\;0\,$
k)
$\,2x^2\,-\,4x\,+\,5\;\lt\;0\,$
l)
$\,-\dfrac{\,1\,}{\,3\,}x^2\,+\,\dfrac{\,1\,}{\,2\,}x\,-\,\dfrac{\,1\,}{\,4\,}\;\gt\;0\,$
✓ mostrar resposta ... resposta:
a)
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,1\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,2\rbrace\;$
b)
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|-2\,\lt\,x\,\lt\,3\rbrace\;$
c)
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,-3\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\geqslant\,\frac{\,1\,}{\,3\,}\rbrace\;$
d)
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\frac{\,5\,}{\,2\,}\,\leqslant\,x\,\leqslant\,4\rbrace\;$
e)
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;\frac{\,1\,}{\,4\,}\,\leqslant\,x\,\leqslant\,\frac{\,3\,}{\,2\,}\rbrace\;$
f)
$\,\mathbb{S}\,=\,{\rm I\!R}\;-\;\lbrace \frac{\,1\,}{\,2\,}\rbrace\,$
g)
$\,\mathbb{S}\,=\,{\rm I\!R}\,$
h)
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace \frac{\,3\,}{\,2\,}\rbrace\;$
i)
$\,\mathbb{S}\,=\,{\rm I\!R}\,$
j)
$\,\mathbb{S}\,=\,{\rm I\!R}\,$
k)
$\,\mathbb{S}\,=\,\varnothing\,$
l)
$\,\mathbb{S}\,=\,\varnothing\,$
× Resolver as inequações em $\,{\rm I\!R}\,$:
a)
$\,\dfrac{1}{\,x\,-\,4\,}\;\lt\;\dfrac{2}{\,x\,+\,3\,}\,$
b)
$\,\dfrac{1}{\,x\,-\,1\,}\;\lt\;\dfrac{2}{\,x\,-\,2\,}\,$
c)
$\,\dfrac{x\,+\,1}{\,x\,+\,2\,}\;\gt\;\dfrac{x\,+\,3}{\,x\,+\,4\,}\,$
d)
$\,\dfrac{x\,+\,5}{\,3x\,+\,2\,}\;\leqslant\;\dfrac{x\,-\,2}{\,3x\,+\,5\,}\,$
e)
$\,\dfrac{5x\,+\,2}{\,4x\,-\,1\,}\;\gt\;\dfrac{5x\,-\,1}{\,4x\,+\,5\,}\,$
f)
$\,\dfrac{1}{\,x\,-\,1\,}\; + \;\dfrac{2}{\,x\,-\,2\,}\; - \;\dfrac{3}{\,x\,-\,3\,}\;\lt\;0$
g)
$\,\dfrac{2}{\,3x\,-\,1\,}\; \geqslant \;\dfrac{1}{\,x\,-\,1\,}\; - \;\dfrac{1}{\,x\,+\,1\,}\;$
✓ mostrar resposta ... resposta:
a)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\; -3\,\lt\,x\,\lt\,4\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,11\rbrace\;$
b)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;0\,\lt\, x\,\lt\,1\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,2 \rbrace\;$
c)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-4\,\lt\, x\,\lt\,-2 \rbrace\;$
d)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-\frac{5}{3}$ $\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}-\frac{29}{24}\,\leqslant\,x\,\lt\,-\frac{2}{3} \rbrace\;$
e)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\frac{5}{4}\,\lt\,x\,\lt\,-\frac{9}{42}$ $\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,-\frac{1}{4} \rbrace\;$
f)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,1$ $\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}\frac{3}{6}\,\lt\,x\,\lt\,2\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,3\rbrace\;$
c)
$\,\mathbb{S}\;=\;\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\lt\,x\,\leqslant\,0$ $\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}\frac{1}{3}\,\lt\,x\,\lt\,1\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\geqslant\,3\rbrace\;$
× Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ as inequações:
a)
$\,(1\,-\,4x^2)\centerdot(2x^2\,+\,3)\,\gt\,0\,$
b)
$\,(2x^2\,-\,7x\,+\,6)\centerdot(2x^2\,-\,7x\,+\,5)\,\leqslant\,0\,$
c)
$\,(x^2\,-\,x\,-\,6)\centerdot(-x^2\,+\,2x\,-1)\,\gt\,0\,$
d)
$\,(x^2\,+\,x\,-\,6)\centerdot(-x^2\,-2x\,+\,3)\,\geqslant\,0\,$
e)
$\,x^3\,-\,2x^2\,-\,x\,+\,2\,\gt\,0\,$
f)
$\,2x^3\,-\,6x^2\,+\,x\,-\,3\,\leqslant\,0\,$
✓ mostrar resposta ... resposta:
a)
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\frac{3}{2}\,\lt\,x\,\lt\,-\frac{1}{2}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}0\,\lt\,x\,\lt\,\frac{1}{2}\rbrace\;$
b)
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,\frac{3}{2}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}2\,\leqslant\,x\,\leqslant\,\frac{5}{2}\rbrace\;$
c)
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-2\,\lt\,x\,\lt\,3\phantom{X}{\text e}\phantom{X}x\,\ne\,1\rbrace\;$
d)
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,-3\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,2\rbrace\;$
e)
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\lt\,x\,\lt\,1\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,2\rbrace\;$
e)
$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,3\rbrace\;$
× Resolver as inequações em $\,{\rm I\!R}\,$:
a)
$\,\dfrac{\;4x^2\,+\,x\,-\,5\;}{2x^2\,-3x\,-\,2}\;\gt\;0\,$
b)
$\,\dfrac{\;-9x^2\,+\,9x\,-\,2\;}{\;3x^2\,+\,7x\,+\,2\;}\;\geqslant\;0\,$
c)
$\,\dfrac{\;x^2\,+\,2x\;}{\;x^2\,+\,5x\,+\,6\;}\;\geqslant\;0\,$
d)
$\,\dfrac{\;2\,-\,3x\;}{\;2x^2\,+\,3x\,-\,2\;}\;\lt\;0\,$
e)
$\,\dfrac{\;x^2\,+\,3x\,-\,16\;}{\;-x^2\,+\,7x\,-\,10\;}\;\geqslant\;1\,$
f)
$\,\dfrac{\;2x^2\,+\,4x\,+\,5\;}{\;3x^2\,+\,7x\,+\,2\;}\;\lt\;-2\,$
g)
$\,\dfrac{\;6x^2\,+\,12x\,+\,17\;}{\;-2x^2\,+\,7x\,-\,5\;}\;\geqslant\;-1\,$
h)
$\,\dfrac{\;(x\,+\,1)^3\,-\,1\;}{\;(x\,-\,1)^3\,+\,1\;}\;\gt\;1\,$
✓ mostrar resposta ... resposta: a)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-\frac{5}{4}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}-\frac{1}{2}\,\lt\,x\,\lt\,1\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,2\rbrace$
b)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-2\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}-\frac{1}{3}\,\lt\,x\,\leqslant\,\frac{1}{3}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\geqslant\,\frac{2}{3}\rbrace$
c)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-3\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\geqslant\,0\rbrace$
d)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-2\,\lt\,x\,\lt\,\frac{1}{2}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,\frac{2}{3}\rbrace$
e)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\leqslant\,x\,\lt\,2\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}3\,\leqslant\,x\,\lt\,5\rbrace$
f)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-2\,\lt\,x\,\lt\,-\frac{3}{2}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}-\frac{3}{4}\,\lt\,x\,\lt\,-\frac{1}{3}\rbrace$
g)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-4\,\leqslant\,x\,\leqslant\,-\frac{3}{4}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}1\,\lt\,x\,\lt\,\frac{5}{2}\rbrace$
f)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\gt\,0\rbrace$
× Resolver os sistemas de inequações:
a)
$\,\left\{\begin{array}{rcr} x^2\,+\,x\,-\,2\;\gt\;0 & \\ 3x\,-\,x^2\,\lt\,0\phantom{XX}& \\ \end{array} \right.\,$
b)
$\,\left\{\begin{array}{rcr} x^2\,+\,x\,-\,20\;\leqslant\;0\;\;& \\ x^2\,-\,4x\,-\,21\,\gt\,0\;& \\ \end{array} \right.\,$
c)
$\,\left\{\begin{array}{rcr} 1\,+\,2x\;\geqslant\;0\phantom{XXXX}& \\ -4x^2\,+\,8x\,-\,3\,\lt\,0\;& \\ \end{array} \right.\,$
d)
$\,\left\{\begin{array}{rcr} -2x^2\,-\,x\,+\,1\,\geqslant\,0\phantom{X}& \\ 4x^2\,-\,8x\,+\,3\;\leqslant\,0\phantom{X}& \\ \end{array} \right.\,$
✓ mostrar resposta ... resposta:
a)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-2\,\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,3\rbrace$ × Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ as inequações a seguir:
a)
$\,x^4\,-\,10x^2\,+\,9\,\leqslant\,0\,$
b)
$\,x^4\,-\,3x^2\,-\,9\,\gt\,0\,$
c)
$\,x^4\,+\,8x^2\,-\,9\,\lt\,0\phantom{X}$
d)
$\,2x^4\,-\,3x^2\,+\,4\,\lt\,0\,$
e)
$\,x^6\,-\,7x^3\,-\,8\,\geqslant\,0\phantom{X}$
f)
$\,3x^4\,-\,5x^2\,+\,4\,\gt\,0\,$
✓ mostrar resposta ... resposta: a) $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-3\,\leqslant\,x\,\leqslant\,-1\,\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,3\rbrace$
b) $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-2\,\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,2\rbrace$
c) $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\lt\,x\,\lt\,1\rbrace$
d) $\,\mathbb{S}\,=\,\varnothing\,$
e) $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,-1\,\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\geqslant\,2\rbrace$
a) $\,\mathbb{S}\,=\,{\rm I\!R}\,$
× Qual é o polígono regular cujo
ângulo interno (ai ) mede entre 130° e 140° ?
✓ mostrar resposta ... resposta:
Resolução: A condição descrita no enunciado
é 130° < ai < 140° Sabemos que $\,a_i\,=\,\dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\;$graus, e então temos que:
$\,130^o\,\lt\,\dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\,\lt\,140^o\,$ que podemos então resolver como um sistema de inequações:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} 130^o \lt \,\dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\;&(I) \\ \dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\,\lt\,140^o\;&(II) \end{array} \right.\,$
Resolvento (I)
Resolvento (II)
(*) e (**) Temos então
que 7,2 < n < 9 e como n ∈ ℕ concluímos que n = 8
o polígono é o octógono regular (n = 8) × 
