Exercícios sobre geometria euclideana

(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?

resposta:

Resolução:
a)

triângulo retângulo inscrito na circunferência

Seja $\,\triangle ABC\,$ o triângulo retângulo como na figura, com ângulo $\,\hat{C}\,$ de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro $\,M\,$ circunscrita ao $\,\triangle ABC\,$.O ângulo $\,B\hat{A}C\,$ é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente $\,B\hat{M}C\,$. Portanto a medida de $\,B\hat{M}C\,$ é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento $\,\overline{BC}\,$, é um diâmetro da circunferência de centro $\,M\,$, e que $\,M\,$ (centro) é ponto médio de $\,\overline{BC}\,$. Sendo $\,\overline{AM}\,$ um raio da circunferência, então a medida de $\,\overline{AM}\,$ é igual à metade da medida do diâmetro $\,\overline{BC}\,$.
Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio)
b)

Como a $\,\overline{AM}\,$ e $\,\overline{MC}\,$ têm a mesma medida, então o $\,\triangle AMC\,$ é isósceles e portanto: $\,M\hat{A}C\,=\,M\hat{C}A\,=\,20^o\,$.
Sendo $\,\overline{AS}\,$ bissetriz de $\,\hat{A}\,$ de medida 90°, então $\,C\hat{A}S\,=\,45^o\,$, donde concluímos que:
$\,S\hat{A}M\,=\,S\hat{A}C\,-\,M\hat{A}C\;\Rightarrow\;S\hat{A}M\,=\,45^o\,-\,20^o\,=\,25^o$
resposta

a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e
b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°

×

(FUVEST - 2009) Na figura, estão representados a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:

1. O ponto O pertence ao segmento $\,\overline{PQ}\,$.
2. OP = 1 , OQ = $\,\sqrt{2}\,$.
3. A e B são pontos da circunferência. $\;\overline{AP}\; \bot \;\overline{PQ}\phantom{X}$ e $\phantom{X}\overline{BQ}\; \bot\; \overline{PQ}\,$.

Assim sendo, determine:

A área do triângulo APO.

Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.

resposta:

$\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,$

$\,\frac{5\pi}{6}\,$ e $\,\frac{19\pi}{6}\,$

$\,\frac{3\sqrt{3}\,+\,6\,+\,5\pi}{6}\,$

Classifique as seguintes afirmativas como verdadeiras ou falsas:

( )

por um ponto passam infinitas retas.

( )

por dois pontos distintos passa uma reta.

( )

uma reta contém dois pontos distintos.

( )

dois pontos distintos determinam uma e uma só reta.

( )

Pos três pontos dados passa uma só reta.

resposta:

Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

( )

três pontos distintos são sempre colineares.

( )

três pontos distintos são sempre coplanares.

( )

quatro pontos todos distintos determinam uma reta.

( )

por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta.

( )

três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares.

resposta:

Classifique as afirmações seguintes em verdadeiras (V) ou falsas (F):

( )

Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto de B, então existe uma reta a tal que A ∈ a e B ∈ A.

( )

Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto de Q, e P e Q pertencem às retas r e s, então r = s.

( )

Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A e B tais que A é distinto de B, com A ∈ r e B ∈ r.

( )

Se A = B, existe uma reta r tal que A, B ∈ r.

resposta:

Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas podemos construir?

resposta: 4 (quatro) retas
×

Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

( )

Duas retas distintas que têm um ponto em comum são concorrentes.

( )

Duas retas concorrentes têm um ponto em comum.

( )

Se duas retas distintas têm um ponto comum, então elas possuem um único ponto comum.

resposta:

Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):

( )

Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares.

( )

Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.

( )

Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.

( )

Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes.

( )

Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.

( )

Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.

resposta:

Obs. a) dois segmentos são consecutivos quando a extremidade de um coincide com a extremidade de outro — não são necessariamente colineares. Na figura a seguir, $\,\overline{AB}\,$ é consecutivo de $\,\overline{BC}\,$ e também $\,\overline{DE}\,$ é consecutivo de $\,\overline{EF}\,$

Responda as afirmações de A) até E) como CERTO ou ERRADO.

A)
Se $\,\overline{AB}\,\cong\,\overline{BD}\,$ então $\,A\,=\,D\,$.
 ( )

B)
Todo plano é convexo.
 ( )

C)
A circunferência é convexa.
 ( )

A união de duas
regiões convexas é convexa.

( )

E)
A reta é convexa.
 ( )

resposta:

(ERRADO)

Resolução:
Podemos ter:

onde a medida $\,(\overline{AB})\,$ é igual à medida de $\,(\overline{BD})\,$ e $\,A\,$ é diferente de $\,D\,$.

(CERTO)

Resolução:
Seja um plano $\,\alpha\,$:
Se $\,\left\{\begin{array}{rcr} A\,\in\,\alpha& \\ B\,\in\,\alpha& \\ \end{array} \right.\; \Rightarrow\;$ $\,\overline{AB} \;\subset\;\alpha\;\;\forall\;A,B\;\in\,\alpha\;\Rightarrow$
$\,\Rightarrow \;\alpha \mbox { é convexo}\,$

(ERRADO)

Resolução:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} A\,\in\,\mbox{ circunferência}& \\ B\,\in\,\mbox{ circunferência}& \\ \end{array} \right.\;$ $ \Rightarrow\; \mbox{ o segmento}\;\overline{AB} \;\not\subset\; \mbox{ na circunferência}$
$\,\Rightarrow \;$ circunferência não é convexa.

segmentos de reta AB com A e B pontos de uma circunferência

(ERRADO)

Resolução:

Como no exemplo, S₁ e S₂ são círculos; S₁ é convexo e S₂ é convexo.Na figura, S₁ ∪ S₂ = S que não é convexa, pois ∃ A,B ∈ S | AB ⊄ S

círculos S1 e S2 tangentes externamente com pontos A pertence a S1 e B pertence a S2 ligados

(CERTO)

$\,\forall\,A,B\,\in\,\mbox{ reta } \;\Rightarrow\,\overline{AB}\,\subset\,\mbox{reta}\,$