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Lista de exercícios do ensino médio para impressão
(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?

 



resposta:
Resolução:
a)
triângulo retângulo inscrito na circunferência

Seja $\,\triangle ABC\,$ o triângulo retângulo como na figura, com ângulo $\,\hat{C}\,$ de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro $\,M\,$ circunscrita ao $\,\triangle ABC\,$.O ângulo $\,B\hat{A}C\,$ é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente $\,B\hat{M}C\,$. Portanto a medida de $\,B\hat{M}C\,$ é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento $\,\overline{BC}\,$, é um diâmetro da circunferência de centro $\,M\,$, e que $\,M\,$ (centro) é ponto médio de $\,\overline{BC}\,$. Sendo $\,\overline{AM}\,$ um raio da circunferência, então a medida de $\,\overline{AM}\,$ é igual à metade da medida do diâmetro $\,\overline{BC}\,$.
Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio)
b)
triângulo retângulo hipotenusa 20 cm

Como a $\,\overline{AM}\,$ e $\,\overline{MC}\,$ têm a mesma medida, então o $\,\triangle AMC\,$ é isósceles e portanto: $\,M\hat{A}C\,=\,M\hat{C}A\,=\,20^o\,$.
Sendo $\,\overline{AS}\,$ bissetriz de $\,\hat{A}\,$ de medida 90°, então $\,C\hat{A}S\,=\,45^o\,$, donde concluímos que:
$\,S\hat{A}M\,=\,S\hat{A}C\,-\,M\hat{A}C\;\Rightarrow\;S\hat{A}M\,=\,45^o\,-\,20^o\,=\,25^o$
resposta
a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e
b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°

×
(FUVEST - 2009) Na figura, estão representados a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:
1. O ponto O pertence ao segmento $\,\overline{PQ}\,$.
2. OP = 1 ,   OQ = $\,\sqrt{2}\,$.
3. A e B são pontos da circunferência. $\;\overline{AP}\; \bot \;\overline{PQ}\phantom{X}$ e $\phantom{X}\overline{BQ}\; \bot\; \overline{PQ}\,$.

Assim sendo, determine:

a)
A área do triângulo APO.
b)
Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.
circunferência com área hachurada

 



resposta:
a)
$\,\frac{\sqrt{3}}{2}\,$
b)
$\,\frac{5\pi}{6}\,$ e $\,\frac{19\pi}{6}\,$
c)
$\,\frac{3\sqrt{3}\,+\,6\,+\,5\pi}{6}\,$

×
Classifique as seguintes afirmativas como verdadeiras ou falsas:
a)
( )
por um ponto passam infinitas retas.
b)
( )
por dois pontos distintos passa uma reta.
c)
( )
uma reta contém dois pontos distintos.
d)
( )
dois pontos distintos determinam uma e uma só reta.
e)
( )
Pos três pontos dados passa uma só reta.

 



resposta:
a)
V
b)
V
c)
V
d)
V
e)
F

×
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a)
( )
três pontos distintos são sempre colineares.
b)
( )
três pontos distintos são sempre coplanares.
c)
( )
quatro pontos todos distintos determinam uma reta.
d)
( )
por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta.
e)
( )
três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares.

 



resposta:
a)
F
b)
V
c)
F
d)
V
e)
F

×
Classifique as afirmações seguintes em verdadeiras (V) ou falsas (F):
a)
( )
Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto de B, então existe uma reta a tal que A ∈ a e B ∈ A.
b)
( )
Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto de Q, e P e Q pertencem às retas r e s, então r = s.
c)
( )
Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos A e B tais que A é distinto de B, com A ∈ r e B ∈ r.
d)
( )
Se A = B, existe uma reta r tal que A, B ∈ r.

 



resposta:
a)
V
b)
V
c)
V
d)
V

×
Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas podemos construir?

 



resposta: 4 (quatro) retas
×
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a)
( )
Duas retas distintas que têm um ponto em comum são concorrentes.
b)
( )
Duas retas concorrentes têm um ponto em comum.
c)
( )
Se duas retas distintas têm um ponto comum, então elas possuem um único ponto comum.

 



resposta:
a)
V
b)
V
c)
V

×
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a)
( )
Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares.
b)
( )
Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.
c)
( )
Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.
d)
( )
Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes.
e)
( )
Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.
f)
( )
Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.

 



resposta:
a)
F
b)
F
c)
V
d)
F
e)
V
f)
F
Obs. a) dois segmentos são consecutivos quando a extremidade de um coincide com a extremidade de outro — não são necessariamente colineares. Na figura a seguir, $\,\overline{AB}\,$ é consecutivo de $\,\overline{BC}\,$ e também $\,\overline{DE}\,$ é consecutivo de $\,\overline{EF}\,$
segmentos de reta consecutivos

×
Responda as afirmações de A) até E) como CERTO ou ERRADO.
A)
Se $\,\overline{AB}\,\cong\,\overline{BD}\,$ então $\,A\,=\,D\,$.
( )
B)
Todo plano é convexo.
( )
C)
A circunferência é convexa.
( )
D)
A união de duas
regiões convexas é convexa.
( )
E)
A reta é convexa.
( )

 



resposta:
A)
(ERRADO)
Resolução:
Podemos ter:
segmentos de reta AB e BD
onde a medida $\,(\overline{AB})\,$ é igual à medida de $\,(\overline{BD})\,$ e $\,A\,$ é diferente de $\,D\,$.
B)
(CERTO)
Resolução:
Seja um plano $\,\alpha\,$:
Se $\,\left\{\begin{array}{rcr} A\,\in\,\alpha& \\ B\,\in\,\alpha& \\ \end{array} \right.\; \Rightarrow\;$ $\,\overline{AB} \;\subset\;\alpha\;\;\forall\;A,B\;\in\,\alpha\;\Rightarrow$
$\,\Rightarrow \;\alpha \mbox { é convexo}\,$
C)
(ERRADO)
Resolução:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} A\,\in\,\mbox{ circunferência}& \\ B\,\in\,\mbox{ circunferência}& \\ \end{array} \right.\;$ $ \Rightarrow\; \mbox{ o segmento}\;\overline{AB} \;\not\subset\; \mbox{ na circunferência}$
$\,\Rightarrow \;$ circunferência não é convexa.
segmentos de reta AB com A e B pontos de uma circunferência
D)
(ERRADO)
Resolução:
Como no exemplo, S1 e S2 são círculos; S1 é convexo e S2 é convexo.Na figura, S1 ∪ S2 = S que não é convexa, pois ∃ A,B ∈ S | AB ⊄ S
círculos S1 e S2 tangentes externamente com pontos A pertence a S1 e B pertence a S2 ligados
E)
(CERTO)
$\,\forall\,A,B\,\in\,\mbox{ reta } \;\Rightarrow\,\overline{AB}\,\subset\,\mbox{reta}\,$

×
Veja exercÍcio sobre:
mediana relativa à hipotenusa
geometria plana
geometria euclideana
triângulo retângulo