Resolver a equação $\,{\large \binom{x\,+\,2}{4}}\,=\,11\centerdot{\large \binom{x}{2}} \,$
resposta: resposta:
Resolução:
a)
Se $\,\binom{x\,+\,2}{4}\,=\,11\binom{x}{2}\,=\,0\,$, então
$\,\left\{\begin{array}{rcr} 0\, \leqslant \,x\,+\,2\lt \,4& \\ 0\,\leqslant\,x\,\lt\,2\phantom{XX} & \\ \end{array}\right.\,$
então, concluímos que x = 0 ou x = 1
b)
Se $\,\binom{x\,+\,2}{4}\,=\,11\binom{x}{2}\,\neq\,0\,$, então:
$\,\large{\frac{(x\,+\,2)!}{4!\,(x\,-\,2)!}}\;=\;\large{\frac{11\centerdot x!}{2!\,(x\,-\,2)!}}\;\Longleftrightarrow\;\large{\frac{(x\,+\,2)(x\,+\,1)\,x\,(x\,-\,1)}{4\,\centerdot \,3\,\centerdot \,2}}\,=\,\large{\frac{11\centerdot x \centerdot (x\,-\,1)}{2}}\; \Longleftrightarrow\,$
$\,\Longleftrightarrow\; (x\,+\,2)\centerdot (x\,+\,1)\;=\; 132\;\Longleftrightarrow\; x^2\,+\,3x\,-\,130\,=\,0\;\Longleftrightarrow\; x\,=\,10\;$ ou $\;x\,=\,-13\,$
c)
De (a) e (b) concluímos que o conjunto verdade da equação é $\,V\;=\;\{\,0;\,1;\,10\;\}\,$
Calcular o valor da expressão: $\,\frac{10 \, \left[ {\large \binom{3}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{3}{3} } \right]\,+\,2\,\left[\,{\large \binom{2}{2}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{4}{2}} \right]}{\large \binom{2}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{4}{2}\,+\,\binom{5}{3}}\,$
resposta:
Pela propriedade da soma na linha do triângulo de Pascal (veja a figura), temos que: $\,\binom{3}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{3}{3}\,=\,2^{\large{3}}\,=\,8$
Pela propriedade da soma na coluna do triângulo de Pascal, temos que: $\,\binom{2}{2}\,+\,\binom{3}{2}\,+\,\binom{4}{2}\,=\,\binom{5}{3}\,=\,10$
Pela propriedade da soma na diagonal do triângulo de Pascal (veja a figura), temos que: $\,\binom{2}{0}\,+\,\binom{3}{1}\,+\,\binom{4}{2}\,+\,\binom{5}{3}\,=\,\binom{6}{3}\,=\,20$
(MACKENZIE) A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de $\phantom{X}(2x\,-\,5y)^{\Large n}\phantom{X}$ é 81 . Ordenando os termos segundo potências decrescentes de $\,x\,$, o termo cujo módulo do coeficiente numérico é máximo é:
(OSEC - 1982) No desenvolvmiento do binômio $\phantom{X}\left(\sqrt{\large x}\,+\,{\LARGE \frac{1}{x}}\right)^{\Large n}\phantom{X}$, com n > 0 Â , a diferença entre os coeficientes do terceiro e segundo termos é igual a 90 . Neste caso o termo independente de x no desenvolvimento pode ser o:
(PUCC - 1982) Encontre o termo independente de $\,x\,$ no desenvolvimento de $\phantom{X}\left( x^{\Large 5}\,+\,{\LARGE \frac{1}{x^5}}\right)^{\Large 10}\phantom{X}$
(FEI - MAUÁ) Calcular o valor da expressão $\phantom{X}1\,+\,\left(\frac{1}{4}\right)^{\large n}\,+\, \sum\limits_{k=1}^n \binom{n}{k}\,\left(\frac{1}{4}\right)^{n\,-\,k}\centerdot \left(\frac{3}{4}\right)^k\phantom{X}$
(FGV) A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de $\phantom{X} \left({\LARGE \frac{x^{2}}{2\,}}\,+\,{\LARGE \frac{3x^{3}}{2}} \right)^{\large 10}\phantom{X}$ é igual a:
(FGV) No desenvolvimento do binômio $\phantom{X}(a\,+\,b)^{\large n\,+\,5}\phantom{X}$, ordenado segundo as potências decrescentes de $\,a\,$, o quociente entre o termo que ocupa a (n + 3) - ésima posição por aquele que ocupa a (n + 1) - ésima é $\,{\Large \frac{2b^2}{3a^2}}\,$, isto é $\phantom{X}{\LARGE \frac{T_{n\,+\,3}}{T_{n\,+\,1}}} = {\LARGE \frac{2b^2}{3a^2}}\phantom{X}$. Então o valor de $\,n\,$ é:
(OSEC) Seja dado $\phantom{X}(2x\,+\,y)^{\large m}\,=\,$ $\,...\,+\,60x^{\large 2}y^{\large 4}\,+\,12xy^{\large 5}\,+\,y^{\large 6}\phantom{X}$. No desenvolvimento desse binômio, foram escritos apenas os três últimos termos. Sabendo-se que $\,m\,$ é inteiro, 2 <$\,m\,$< 20 , e que os termos foram ordenados segundo as potências de $\,x\,$ em ordem decrescente, então o segundo termo do desenvolvimento é:
(MACKENZIE) Para todo $\,n,p\;\in\;\mathbb{N}^*\,$, o valor de $\phantom{X}{\Large \sum\limits_{n\,=\,1}^{p}{\Large \binom{n}{n\,-\,1}}}\phantom{X}$ é, sempre,
Calcular o termo independente de $\,x\,$ no desenvolvimento de $\phantom{X}\left( {\LARGE \frac{1}{x^2}}\,+\,\sqrt[{\LARGE 4}]{x}\right)^{\Large 18}\phantom{X}$.
Calcular $\,{\large n}\,$, de modo que seja independente de $\,{\large x}\,$ o 4º termo de $\phantom{X}\left( x^{\large 3}\,+\,{\LARGE \frac{1}{x^2} } \right)^{\Large n}\phantom{X}$, no desenvolvimento feito segundo expoentes decrescentes para $\,x\,$.
(MACKENZIE) Um dos termos no desenvolvimento de $\phantom{X}(x\,+\,3a)^{\Large 5}\phantom{X}$ é $\,360x^{\Large 3}\,$. Sabendo-se que $\,a\,$ não depende de $\,x\,$, o valor de $\,a\,$ é:
(FEI) Dados os binômios $\,A(x)\,=\,x^{\Large 3}\,+\,1\,$ e $\,B(x)\,=\,x^{\Large 3}\,-\,1\,$:
a) Determine k e n, tais que o 4º termo da expansão binomial de $\phantom{X}\left[ B(x) \right]^{\Large n}\phantom{X}$, feita segundo os expoentes decrescentes de x, seja $\,k \centerdot x^{\Large 6}\,$.
b) Se n é ímpar, ache a soma dos coeficientes do polinômio $\phantom{X}\left[ A(x) \right]^{\Large n}\left[ B(x) \right]^{\Large n}\phantom{X}$.
(MACKENZIE) O coeficiente do termo em $\,x^{\large -3}\;$ no desenvolvimento de $\phantom{X}\left( \sqrt{\large x}\,+\,{\LARGE \frac{1}{x}}\right)^{\Large 6}\phantom{X}$ é:
(MAUÁ) No binômio $\,\left( x^{\large 3}\,+\,\frac{1}{\Large y^2} \right)^{\Large 25}\,$, escreva o termo que contém $\,x^{\large 9}\,$, calculando o respectivo coeficiente.
resposta:
O termo geral(***) do binômio é dado pela fórmula: $\phantom{X} T_{\large k\,+\,1}\;=\;\binom{n}{k}x^{\large n\,-\,k} y^{\large k}\phantom{X}$
O termo contém $\,x^9\,$ então $\,(x^3)^{\large n - k} = x^9\; \Rightarrow\;3(n\;-\;k)\;=\;9\;\Rightarrow $ $\;(n\;-\;k)\;=\;3\,$ O expoente da expressão é 25, então $\,n = 25\,$. $\phantom{X}(\;25\;-\;k\;)\;=\;3\;\Rightarrow\;k\;=\;22\phantom{X}$ Vamos usar a fórmula(***) do termo geral dada acima: $\phantom{X}T_{\large 22 + 1} = {\large \binom{25}{22}} \left( x^{\large 3} \right)^{\large 3} \left(\dfrac{\,1\,}{\;y^2\;}\right)^{\large 22}\phantom{X}$ $\phantom{X}{\large \binom{n}{k}} = \dfrac{n!}{(n-k)!(k)!}\phantom{X}$ $\phantom{X}{\large \binom{25}{22}}\;=\;\dfrac{25!}{(25-22)!(22)!}\phantom{X}\;\Rightarrow$ $\phantom{X} \dfrac{25\centerdot\,24\,\centerdot\,23\,\centerdot\,22!}{3!\,22!}\phantom{X}\,=$ $\phantom{X}\dfrac{25\centerdot\,24\,\centerdot\,23}{3\,\centerdot\,2\,\centerdot\,1}\phantom{X}\,=$ $\phantom{X}{25\centerdot\,4\,\centerdot\,23}\phantom{X}\,=\,2300\;$
(MACKENZIE) No desenvolvimento de $\,(2x\,+\,b)^{\Large 5}\,$, $\,b\,\neq\,0\,$, o coeficiente numérico do termo em $\,x^{\Large 4}\,$ é oito vezes aquele do termo em $\,x^{\Large 3}\,$. Então, $\,{\large b}\,$ vale:
(FGV) A razão entre os quintos termos dos desenvolvimentos, em ordem decrescente das potências de $\,x\,$, dos binõmios $\phantom{X}(2x^{\large 2}\,+\,a)^{\Large m}\phantom{X}$ e $\phantom{X}(2x^{\large 2}\,-\,a)^{\Large m}\;, (m \gt 0),\phantom{X}$ é igual a:
(FEI) Dado um número natural $\,{\large n}\,$, chama-se função fatorial de grau $\,n\,$ o produto:$\phantom{X}x^{\Large (n)}\,=\,x(x\,-\,1)(x\,-\,2)...$ $[x\,-\,(n\,-\,1)]\phantom{X}$.
a) Calcular $\phantom{X}2^{\Large (3)}\phantom{X}$. b) Resolver a equação $\phantom{X}x^{\Large (2)}\,=\,2\phantom{X}$.
(FGV - 1975) Sabendo-se que $\;m\centerdot m!\,=\,(m\,+\,1)!\,-\,m!\;$, pode-se concluir que $\;1\centerdot 1!\,+\,2\centerdot 2!\,+\,...\,+\,m\centerdot m!\;$ é igual a:
(MACKENZIE - 1974) Resolve-se 100 vezes a equação $\phantom{X}1!\,+\,2!\,+\,3!\,+\,...\,+\,n!\,=\,y^2\phantom{X}$ no conjunto dos números inteiros, atribuindo valores de 1 a 100 a $\,n\,$. As soluções inteiras em $\,y\,$ encontram-se no intervalo:
(VUNESP) Se $\,n\,$ é um número positivo, pelo símbolo $\,n!\,$ subentende-se o produto de $\,n\,$ fatores distintos, $\phantom{X}n\centerdot(n-1)\centerdot(n-2)\;...\;2\centerdot1\phantom{X}$. Nessas condições, qual é o algarismo das unidades do número $\phantom{X}(9!\,8!)\,7!\phantom{X}$?
