(EPUSP-63) Mostre que a equação $\phantom{XXX}1000x^5\,+\,20x^2\,-\,1\,=\,0\;$ admite uma raiz positiva inferior a $\;\dfrac{1}{5}\;$.
resposta:
Temos o polinômio $\;\;P(x)\,=\,1000x^5\,+\,20x^2\,-\,1\;\;$ e vamos calcular $\;P(0)\;$ e $\;P(\frac{1}{5})\;$:$\;P(0)\,=\,1000(0)^5\,+\,20(0)^2\,-\,1\,=\,-1\,<\,0$ $\;P(\frac{1}{5})\,=\,1000{(\frac{1}{5})}^{5}\,+\,20{(\frac{1}{5})}^{2}\,-\,1\;=$ $\,1000\,+\,2500\,-\,\frac{3125}{3125}\,>\,0$. Como $\;\;P(0)\centerdot P(\frac{1}{5})\,<\,0\;\;$ , resulta que $\;P\;$ apresenta um número ímpar de raízes no intervalo $\;]0;\frac{1}{5}[\;$ (Teorema de Bolzano).
(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos $\;A=(1,2)\;$, $\;B=(2,-2)\;$ e $\;C=(4,3)\;$, a equação da reta que passa por $\;A\;$ pelo ponto médio do segmento $\;\overline{BC}\;$ é:
(MACKENZIE-1974) Se o número $\,{\large x}\,$ é solução da equação $\;\sqrt[{\large 3}]{x + 9}\, -\, \sqrt[{\large 3}]{x\, -\, 9}\, =\, 3\;$, então $\;x^{\large 2}\;$ está entre:
(FEI-1968) Seja V o conjunto dos números reais que são solução da equação irracional $\; \sqrt{2x} - \sqrt{7 + x} = 1\;$ a) $V = \{2,18\}$ b) $V=\{2\}$ c) $V=\{18\}$ d) $V=\varnothing$ e) nenhuma das anteriores
(EPUSP - 1968) Se o conjunto dos pontos que satisfazem a equação $\;x^2 + y^2 + 2axy = 0\;$ é a reunião de duas retas, então: a) $a = 0$ b) $0 < |a| <1$ c) $|a|=1$ d) $|a|>1$ e) nenhuma das anteriores
(CESCEA - 1968) Sejam A, B e C números reais quaisquer. Dada a equação $\;Ax + By + C = 0\,$, assinale dentre as afirmações abaixo a correta:
a) se $A \ne 0$ e $B \ne 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta pela origem b) se $B \ne 0$ e $C=0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta pela origem, não paralela a nenhum dos eixos c) Se $A = 0$ e $C \ne 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação de uma reta paralela ao eixo $0x$ d) se $A \ne 0$, $B = 0$ e $C = 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação do eixo $0y$ e) se $A = 0$, $B \ne 0$ e $C = 0$ então $Ax + By + C = 0$ é a equação do eixo $0y$
(CESCEA - 1972) A equação da reta que passa pelo ponto $\;A\,\equiv \,(2,\,5)\;$ e que corta a reta de equação $\;y\,=\,-x\,+\,1\;$ num ponto $\;B\;$, tal que $\;AB\,=\,3\sqrt{2}\;$, é:
(FGV - 1976) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos $\;A=(1,\,2)\,$, $\;B=(2,\,-2)\,$ e $\;C=(4,\,3)\,$, a equação da reta que passa por $\;A\;$ pelo ponto médio do segmento $\,\overline{BC}\,$ é:
(ITA - 2004) O conjunto de todos os valores de $\;\alpha\;$, $\;\alpha \; \in \; \Bigl] - \frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\Bigr[\phantom{X}$, tais que as soluções da equação (em $x$)
(ITA - 2004) Considere todos os números $\phantom{X}z\,=\,x\,+\,iy\phantom{X}$ que têm módulo $\phantom{X}\dfrac{\sqrt{7}}{2}\phantom{X}$ e estão na elipse $\phantom{X}x^2 + 4y^2 =4\phantom{X}$. Então o produto deles é igual a:
(ITA - 2004) Dada a equação $\phantom{} x^3\,+\,(m\,+\,1)x^2\,+\,(m\,+\,9)x\,+\,9\,=\,0\phantom{X}$, em que $\;m\;$ é uma constante real, considere as seguintes afirmações:
I.
Se $\phantom{X} m\; \in \;\; ]-6, 6[\phantom{X}$ então existe apenas uma raiz real.
II.
Se $\phantom{X}m\,=\,-6\phantom{X}$ ou $\phantom{X}m\,=\,+6\phantom{X}$, então existe raiz com multiplicidade $\;2\;$.
III.
$\forall \;m \in \mathbb{R}\phantom{X}$, todas as raízes são reais.
Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas:
(ITA - 2004) Sejam os pontos $\phantom{X} A: \; (2;\, 0)\, $, $\;B:\;(4;\, 0)\;$ e $\;P:\;(3;\, 5 + 2\sqrt{2})\,$.
a)
Determine a equação da cirunferência $\;C\;$, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ e é tangente ao eixo $\;y\;$.
b)
Determine as equações das retas tangentes à circunferência $\;C\;$ que passam pelo ponto $\;P\;$.
resposta:
Resolução:
a)
Seja $\; O \; $ o centro da circunferência $\;C\;$ no primeiro quadrante. Na figura, $\;C\;$ passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$, tangenciando o eixo $\;y\;$. $\;O\;$ possui coordenadas (3,m) e $\;\overline{OA}\;$ é raio da circunferência, portanto $\;\overline{OA}\;$ mede 3. $\;(\overline{OA})^2 = (3 - 2)^2 + (m - 0)^2 \; \Rightarrow \;$ $\; \sqrt{1 + m^2} = 3 \;\Rightarrow \;$ $\; m^2 = 8 \; \Rightarrow \; m = 2\sqrt{2}$. O ponto $\;\; O \;\;$, centro da circunferência $\;C\;$, tem coordenadas $\;(3, 2\sqrt{2})\;$, e
a equação da circunferência é $\;\boxed{\;(x - 3)^2 + (y - 2\sqrt{2})^2 = 9\;} $
b)
A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em $\;P\;$, e coeficiente angular $\;a\;$ : $\; y - (5 + 2\sqrt{2})\;=\;$ $\;a(x - 3) \; \Rightarrow \; ax - y + 5 + 2 \sqrt{2} - 3a = 0\;$. A reta vertical que contém $\;P(3,\;5 + 2\sqrt{2})\;$ corta a circunferência $\;C\;$ em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro $\;O (3;\; 2\sqrt{2})\;$ é igual a 3, ou seja:
As equações das tangentes são: $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\,\dfrac{4}{3}(x\,-\,3)}\;$ e $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\, -\, \dfrac{4}{3}(x - 3)}\;$
(ITA - 2012) Sejam $\;z = n^2(cos45^o + i\;sen45^o)\phantom{X}$ e $\phantom{X}w = n(cos15^o + i\;sen15^o)\;$, em que $\;n\;$ é o menor inteiro positivo tal que $\;(1 + i)^n\;$ é real.Então $\;\dfrac{\;z\;}{\;w\;}\;$ é igual a:
Com base nas definições, resolver a equação: $(x,\, y)\centerdot(1, \,2) \, + \, (2,\, 3)\,=\,(4, \, 5)$
resposta: $\,x\,=\,\frac{6}{5}\,$ e $\,y\,=\,- \frac{2}{5}$ ou $(\frac{6}{5};-\frac{2}{5})$ ×
(OSEC) Seja $\,f\,$ a função tal que $\,f(x)\,=$ $\,x^3\,-\,8\,+\,(x^2\,+\,2x\,+\,4) \centerdot (2\,-\,x)\,$ O conjunto de todas as soluções da equação $\,f(x)\,=\,0\,$ é:
Logo $ \left\{\begin{array}{rcr} &g \circ h : \, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\; \phantom{XXXXX} \\ &(g \circ h)(x)\,=\,x^2\,-\,3x\,+\,3 \\ \end{array} \right.$
É muito importante notar que $\; \left\{\begin{array}{rcr} g \circ f & \neq & f \circ g \\ h \circ f & \neq & f \circ h \\ h \circ g & \neq &g \circ h \\ \end{array} \right.$
Seja $\,f\,:\, \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\;$ a função definida por $\,f(x)\,=\,x^2\;$. Determine uma função $\,g\,:\, \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+\;$ tal que a função composta $\;(f \circ g)\;$ seja uma função identidade.
(FUVEST) Se $\;f\,:\, {\rm I\!R}\; \rightarrow \; {\rm I\!R} \;$ é da forma $\,f(x)\,=\,ax\,+\,b\;$ e verifica $\,(f \circ f)(x)\,=\,x\,+\,1\;$, para todo $\,x\,$ real, então $\,a\,$ e $\,b\,$ valem, respectivamente:
(MAUÁ) Determinar a equação da parábola que tem seu eixo paralelo ao eixo $\;y\;$, tangencia o eixo $\;x\;$ no ponto $\;V(-1,\,0)\;$ e corta o eixo $\;y\;$ no ponto $\;P(0;\,1)\;$.
(VUNESP) Em uma partida de futebol a trajetória da bola, ao ser batida uma falta do jogo, é tal que a sua altura $\,h\,$, em metros, varia com o tempo $\,t\,$, em segundos, de acordo com a equação: $\phantom{X}h\,=\,-t^2\,+\,10t \phantom{XXX}(0\,\leqslant \,t \,\leqslant 10)$ Então a alternativa correta é:
a)
a altura máxima atingida pela bola é de 25 m.
b)
a distância do local da falta até o local onde a bola atinge o solo é de 20 m.
c)
o valor de $\,t\,$ para o qual a bola atinge a sua altaura máxima é maior do que 5 segundos.
d)
a bola, nesse intervalo de tempo, atinge 3 vezes o solo.
Determine o conjunto verdade da equação $\,\sqrt{3x\,-\,3}\,-\,x\,=\,0\,$.
resposta: $\,V\,=\,\lbrace\,\rbrace\,$ ou $\,V\,=\,\varnothing \,$ ×
Resolver a equação $\,{\large \binom{10}{2x}}\,=\,{\large \binom{10}{x\,+\,1}} \, \neq \, 0\,$
resposta: Propriedade: Os números binomiais $\,{\large \binom{n}{k}}\;$ e $\;{\large \binom{n}{n-k}}\;$ são chamados complementares e são iguais. Assim: $\boxed{\,{\large \binom{n}{k}}\;=\;{\large \binom{n}{n-k}}\,}$
(SANTA CASA - 1982) As dimensões de um retângulo são numericamente iguais às coordenadas do vértice da parábola de equação $\;y\,=\,-128x^2\,+\,32x\,+\,6\;$. A área do retângulo é:
(MACKENZIE - 1982) Seja $\;ax^2\,+\,bx\,+\,c\,=\,0\;$ uma equação de coeficientes reais não nulos, com $\,a\,$ e $\,c\,$ de sinais contrários. Então, podemos afirmar que, certamente:
(FGV - 1982) Para que a equação $\phantom{X}(a\,-\,2) \centerdot x^2 \,+\,ax\,+\,a\,-\,1\,=\,0\phantom{X}$ apresente duas raízes reais e distintas, a condição é:
a)
$\,a < 2(1\,+\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})\,$
b)
$\,a > 2(1\,-\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})\,$
c)
$\,a\,\neq\,2\,$
d)
$\,2(1\,-\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}}) < \,a\, < 2(1\,+\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})\;$ e $\;a\,\neq \,2$
e)
$\,a\, < \,2(1\,-\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})\,$ ou $\,a\, >\,2(1\,+\,{\large \frac{\sqrt{3}}{3}})$
(UFGO - 1982) Se possível, determine em $\,\mathbb{R}\,$ o conjunto solução da inequação $\,(x^2\,-\,2x\,-\,15)\centerdot (-x^2\,-\,2)\centerdot (1\,-\,x^2)\, \leqslant\,0$
(CESCEM) O triângulo $\,ABC\,$ tem vértices $\,A\,(0\,;\,0)\,,\;B\,({\large \frac{3}{5}}\,;{\large\frac{3}{5}})\;$ e $\;C\,({\large -\frac{3}{5}};{\large \frac{3}{5}})\;$. A equação da reta que passa por $\;A\;$ e pelo ponto médio de $\,\overline{BC}\;$ é:
Qual a equação geral da reta em que:$\,\left\{\begin{array}{rcr} x\,=\,{\large \frac{t\,+\,1}{2}} \phantom{XXX}& \\ y\,=\,-3t\,-\,2 \phantom{X}& \\ \end{array} \right.\,$
Os vértices de um triângulo são os pontos A (-1 ; 0), B (0 ; 3) e C (2 ; 4) . Determinar os coeficientes angulares e lineares das três retas suportes dos lados.
resposta: $\,m_{AB}\,=\,3\,$ e $\,h_{AB}\,=\,3\,$; $\,m_{BC}\,=\,{\large \frac{1}{2}}\,$ e $\,h_{BC}\,=\,3\,$; $\,m_{AC}\,=\,{\large \frac{4}{3}}\,$ e $\,h_{AC}\,=\,{\large \frac{4}{3}}\,\,$;
(CESCEM) Considere o triângulo $\phantom{X} V_1\;(0\,,\,0),\;V_2\;(a\,,\,a)\;$ e $\;V_3\;(a\,,\,-a) . \phantom{X}$ A equação da reta que passa pelo vértice $\,V_3\,$ e pelo ponto médio do lado $\,V_1V_2\,$ é:
a)
$\,y\,=\,-\,\dfrac{1}{3} \centerdot x \,+\,\dfrac{29}{3}\,$
(SANTA CASA) O gráfico que melhor representa a relação $\phantom{X}|y|\,=\,x\,+\,1\,,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x\,,\,y \,\in\, \, \mathbb{R} \phantom{X}$ é:
Determinar a equação reduzida das retas que passam pelos seguintes pares de pontos: a) A (0 ; 3) e B (-1 ; 0) b) C (1 ; -2) e D (-3 ; 4) c) E (3 ; 4) e F (-4 ; -3)
resposta: a) y = 3x + 3 b) $\,y\,=\,-{\large \frac{3}{2}}x - {\large \frac{1}{2}}\,$ c) y = x + 1
(FGV) Dada a reta de equação: $\;\begin{vmatrix} x& y& 1 \\ 3& -2& 1 \\ 1& m& 1\end{vmatrix} \,=\,0\;$, determinar o valor de $\;m\;$, para que ela seja perpendicular a $\;x\,=\,5\;$
Se $\,AB\,\neq\,0\,$, então as retas $\phantom{X}Ay\,+\,Bx\,+\,C\,=\,0 \phantom{X}$ e $\phantom{X}By\,-\,Ax\,+\,D\,=\,0\phantom{X}$ são perpendiculares.
( II )
$Ax\,+\,2y\,+\,7\,=\,0 \phantom{X}$ é equação de um feixe de retas paralelas.
( III )
Se duas retas $\phantom{X}y\,=\,ax\,+\,b\;$ e $\;y\,=\,cx\,+\,d\phantom{X}$ são concorrentes na origem, então: b = d = 0 .
(CESCEM) Uma reta pela origem de coeficiente angular negativo tem somente 3 pontos em comum com o gráfico da função $\phantom{X} y\,=\,\operatorname{sen}x\phantom{X}$. A menor das 3 correspondentes abscissas:
Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 3 unidades.
resposta:
Resolução: A equação da circunferência de centro $\;C\,(a\,,\,b)\;$ e raio $\,R\,$ é: $\,(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\;$. Como $\;C\,(0\,,\,0)\;$ e $\;R\,=\,3\;$, temos: $\,(x\,-\,0)^2\,+\,(y\,-\,0)^2\,=\,3^2\;\Rightarrow$ $\; \;x^2\,+\,y^2\,-\,9\,=\,0\;$
Determinar a equação da circunferência de centro C (2 , -3) e raio R = 5 unidades.
resposta:
Resolução:
A equação da circunferência de centro C (a , b) e raio R é: $\;(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\; \;$. Como C (2 , -3) e R = 5 , temos então: $(x\,-\,2)^2\,+\,[y\,-\,(-3)]^2\,=\,(5)^2\;\Rightarrow$ $\Rightarrow\;(x\,-\,2)^2\,+\,(y\,+\,3)^1\,=\,5^2\;\;\Rightarrow$ $\Rightarrow \phantom{X}\;x^2\,+\,y^2\,-\,4x\,+\,6y\,-\,12\,=\,0\;$
Determinar o ponto no eixo 0x equidistante dos pontos A (6 , 5) e B (-2 , 3) .
resposta: Resolução: O ponto P equidistante de A e B está no eixo x , portanto sua ordenada é nula e podemos representar P (x , 0) . Da equidistãncia:
$\;\begin{array}{rcr} \text{distância}_{PA} = \text{distância}_{PB} \phantom{XXXXXX} & \\ \sqrt{(x\,-\,6)^2\,+\,(0\,-\,5)^2}\,=\,\sqrt{(x\,+\,2)^2\,+\,(0\,-\,3)^2}& \\ \end{array} $
Elevar os lados ao quadrado: $\,x^2\,-\,12x\,+\,36\,+\,15\,=\,x^2\,+\,4x\,+\,4\,+\,9\,$ desenvolvendo a equação temos $\,\boxed{x\,=\,3}\,$. Se x = 3 então P(x,0) é o ponto P(3;0) Resposta: $\;\boxed{\;(3\,;\,0)\;}$
Considerando a matriz $\phantom{X}A\,=\,{\large(a_{ij})_{2\times3}}\phantom{X}$ com ${\large\phantom{X}a_{ij}}\,=\,2i\,+\,3j\phantom{X}$, podemos afirmar que a soma dos elementos da 1ª linha de $\;A\;$ vale:
Considerando a matriz $\phantom{X}A\,=\,{\large(a_{ij})_{2\times3}}\phantom{X}$ com $\phantom{X}{\large a_{ij}}\,=\,2i\,+\,3j\phantom{X}$, podemos afirmar que a matriz transposta de A , também indicada por $\;A^t\;$, é:
(UFBA) A matriz $\;\; 2\times3\;\;$, com $\left\{\begin{array}{rcr} {\large a_{ij}}\,=\,2i\,-\,j\;&\text{, se }\;i\,\neq\,j \\{\large a_{ij}}\,=\,i\,+\,j\;\;&\text{, se }\;i\,=\,j \\ \end{array} \right.\;\phantom{X}$, é:
(UBERABA) Se $\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})\phantom{X}$ é a matriz quadrada de ordem 2, tal que $\phantom{X}{\large a_{ij}}\,=\,{\large (\;i\,)^j}\;,\,\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - i\,,\,\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - j\, \in\,\,\lbrace\,1\,;\,2\,\rbrace\phantom{X}$, então:
(UBERABA) A matriz transposta da matriz $\phantom{X}A\,=\,({\large a_{ij}})\phantom{X}$, de tipo $\,3\times 2\,$, onde $\phantom{X}a_{ij}\,=\,2i\,-\,3j\phantom{X}$, é igual a:
Resolver a equação $\,{\large \binom{x\,+\,2}{4}}\,=\,11\centerdot{\large \binom{x}{2}} \,$
resposta: resposta:
Resolução:
a)
Se $\,\binom{x\,+\,2}{4}\,=\,11\binom{x}{2}\,=\,0\,$, então
$\,\left\{\begin{array}{rcr} 0\, \leqslant \,x\,+\,2\lt \,4& \\ 0\,\leqslant\,x\,\lt\,2\phantom{XX} & \\ \end{array}\right.\,$
então, concluímos que x = 0 ou x = 1
b)
Se $\,\binom{x\,+\,2}{4}\,=\,11\binom{x}{2}\,\neq\,0\,$, então:
$\,\large{\frac{(x\,+\,2)!}{4!\,(x\,-\,2)!}}\;=\;\large{\frac{11\centerdot x!}{2!\,(x\,-\,2)!}}\;\Longleftrightarrow\;\large{\frac{(x\,+\,2)(x\,+\,1)\,x\,(x\,-\,1)}{4\,\centerdot \,3\,\centerdot \,2}}\,=\,\large{\frac{11\centerdot x \centerdot (x\,-\,1)}{2}}\; \Longleftrightarrow\,$
$\,\Longleftrightarrow\; (x\,+\,2)\centerdot (x\,+\,1)\;=\; 132\;\Longleftrightarrow\; x^2\,+\,3x\,-\,130\,=\,0\;\Longleftrightarrow\; x\,=\,10\;$ ou $\;x\,=\,-13\,$
c)
De (a) e (b) concluímos que o conjunto verdade da equação é $\,V\;=\;\{\,0;\,1;\,10\;\}\,$
