Exercícios sobre inequação do segundo grau

(MACKENZIE-1974) Se o número $\,{\large x}\,$ é solução da equação $\;\sqrt[{\large 3}]{x + 9}\, -\, \sqrt[{\large 3}]{x\, -\, 9}\, =\, 3\;$, então $\;x^{\large 2}\;$ está entre:

0 e 25

25 e 55

55 e 75

75 e 95

95 e 105

resposta: Alternativa D
×

FGV-1974) Resolver a desigualdade
$\phantom{XX}1\,-\,3x\, >\, \sqrt{2\,+\,x^2\,-\,3x}\;$:

$x < \dfrac{3-\sqrt{41}}{16}$

$x < \dfrac{1}{3}$

$x < 1\;\;$ ou $\;\;x > 2$

$\dfrac{1}{3}\leqslant x \leqslant \dfrac{3 + \sqrt{41}}{16}$

$x < \dfrac{3 - \sqrt{41}}{16}\;\;$ ou $\;\; x > \dfrac{3 + \sqrt{41}}{16}$

resposta: alternativa A
×

(ITA - 1973) A respeito da equação
$\phantom{XX}{\large 3x^2\,-\,4x\,+\,\sqrt{3x^2\,-\,4x\,-6}\,=\,18}\;$
podemos dizer:

${\large \frac{2\pm\sqrt{70}}{3}}\;$ são raízes

A única raiz é $x=3$

A única raiz é $x=2+\sqrt{10}$

tem 2 raízes reais e 2 imaginárias

nenhuma das anteriores

resposta: alternativa E
×

(MACKENZIE - 1976) Todas as raízes da equação $\;{\large 2\sqrt{x}\,+\,2x^{(-\frac{1}{2})}\,=\,5}\;$ estão no intervalo:

$\,[-2,-\dfrac{3}{1}]$

$\,[-\dfrac{1}{2}, 1]$

$\,[\dfrac{1}{5},\dfrac{9}{2}]$

$\,[\dfrac{5}{4},7]$

$\,[5,8]$

resposta: Alternativa C
×

(FEI-1968) Seja V o conjunto dos números reais que são solução da equação irracional $\; \sqrt{2x} - \sqrt{7 + x} = 1\;$
a) $V = \{2,18\}$
b) $V=\{2\}$
c) $V=\{18\}$
d) $V=\varnothing$
e) nenhuma das anteriores

resposta: alternativa C
×

(VUNESP) Em uma partida de futebol a trajetória da bola, ao ser batida uma falta do jogo, é tal que a sua altura $\,h\,$, em metros, varia com o tempo $\,t\,$, em segundos, de acordo com a equação:
$\phantom{X}h\,=\,-t^2\,+\,10t \phantom{XXX}(0\,\leqslant \,t \,\leqslant 10)$
Então a alternativa correta é:

a altura máxima atingida pela bola é de 25 m.

a distância do local da falta até o local onde a bola atinge o solo é de 20 m.

o valor de $\,t\,$ para o qual a bola atinge a sua altaura máxima é maior do que 5 segundos.

a bola, nesse intervalo de tempo, atinge 3 vezes o solo.

a bola começa a descer a partir de 6 segundos.

resposta: Alternativa A
×

(ITA - 1986) Sejam $\,a\,$, $\,b\,$ e $\,c\,$ números reais dados com $\,a\,<\,0\,$. Suponha que $\,x_1\,$ e $\,x_2\,$ sejam as raízes da função $\phantom{X}y\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c\phantom{X}$ e $\phantom{X}x_1\,<\,x_2\,$.
Sejam $\phantom{X}x_3\,=\,\dfrac{-b}{2a}\phantom{X}$ e $\phantom{X}x_4\,=\,-\,\left(\dfrac{2b\,+\,\sqrt{b^2\,-\,4ac}}{4a}\right)\phantom{X}$. Sobre o sinal de $\,y\,$ podemos afirmar que:

$\,y\,<\,0,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthinspace \negthickspace - x\,\in \mathbb{R},\,x_1\,<\,x_2\,<\,x_3\,$

$\,y\,<\,0,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthinspace \negthickspace - x\,\in \mathbb{R},\,x_4\,<\,x\,<\,x_2\,$

$\,y\,>\,0,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthinspace \negthickspace - x\,\in \mathbb{R},\,x_1\,<\,x\,<\,x_4\,$

$\,y\,>\,0,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthinspace \negthickspace - x\,\in \mathbb{R},\,x\,>\,x_4\,$

$\,y\,<\,0,\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthinspace \negthickspace - x\,\in \mathbb{R},\,x\,<\,x_3\,$

resposta: (C)
×

(FUVEST - 1977) Resolva (em $\,\mathbb{R}\,$) a inequação
$\phantom{XXX}\dfrac{\large x^2\,-\,x\,-\,1}{\large \sqrt{x^2\,-\,3x}}\,\geqslant\,0\phantom{X}$

resposta:

$\phantom{X}\dfrac{\large x^2\,-\,x\,-\,1}{\large \sqrt{x^2\,-\,3x}}\,>\,0\phantom{X}\Longleftrightarrow\;\left\{ \begin{array}{rcr} x^{\large 2}\,-\,3x\,>\,0\phantom{XX}&(I) \\ x^{\large 2}\,-\,x\,-\,1\,\geqslant\,0\,&(II) \\ \end{array}\right.$

Solução de (I)
$\,x^2\,-\,3x\,>\,0\;\Rightarrow\;x(x\,-\,3)\,>\,0\;\Longleftrightarrow\;x\,<\,0\,$ ou $\,x\,>\,3\,$
O gráfico de $\;f(x)\,=\,x^2\,-\,3x\;$ é uma parábola como na figura:

Temos então do gráfico que a solução de (I) é $\;S_1\,=\,\left\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\;|\;x\,<\,0\;\mbox{ou}\;x\,>\,3\,\right\}\,$

Solução de (II)
Como o gráfico $\,f(x)\,=\,x^2\,-\,x\,-\,1\,$ é uma parábola do tipo:

então: $\,x^2\,-\,x\,-1\,\geqslant\,0\;\Longleftrightarrow\;x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,\geqslant\,\dfrac{1\,+\,\sqrt{5}}{2}\;\,$ e temos o conjunto temporário da situação (II)
$\;S_2\,=\,\left\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\;|\;x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,\geqslant\,\dfrac{1\,+\,\sqrt{5}}{2}\,\right\}\;$

Solução da questão (Conjunto Verdade)
A solução é o conjunto Verdade, a intersecção dos dois conjuntos $\,S_1\,$ e $\,S_2\,$
$\;V\,=\,S_1\,\cap\,S_2\,=\,\left\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\;|\;x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,>\,3\,\right\}\;$ conforme o diagrama abaixo:

RESPOSTA:

$\,V\,=\,\lbrace\,x\,\in\,\mathbb{R}\,|\,x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,>\,3 \rbrace\,$

×

Resolver as inequações:

$\,4\,\lt\,x^2\,-\,12\,\leqslant\,4x\,$

$\,x^2\,+\,1\,\lt\,2x^2\,-\,3\,\leqslant\,-5x\,$

$\,0\,\leqslant\,x^2\,-\,3x\,+\,2\,\leqslant\,6\,$

$\,7x\,+\,1\,\lt\,x^2\,+\,3x\,-\,4\,\leqslant\,2x\,+\,2\,$

$\,0\,\lt\,x^2\,+\,x\,+\,1\,\lt\,1\,$

$\,4x^2\,-\,5x\,+\,4\,\lt\,3x^2\,-\,6x\,+\,6\,\lt\,x^2\,+\,3x\,-\,4\,$

resposta: a)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;4\,\lt\,x\,\leqslant\,6\rbrace$
b)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-3\,\leqslant\,x\,\lt\,-2\rbrace$
c)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,1\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}2\,\leqslant\,x\,\leqslant\,4\rbrace$
d)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-3\,\leqslant\,x\,\lt\,-1\rbrace$
e)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\lt\,x\,\lt\,0\rbrace$
f)$\,\mathbb{S}\,=\,\varnothing\;$

×

Resolver a inequação $\phantom{X}x^2\,-\,2x\,+\,2\;\gt\;0\phantom{X}$.

resposta: $\,\mathbb{S}\,=\,{\rm I\!R}\,$
×

Resolver a inequação $\phantom{X}x^2\,-\,2x\,+\,1\;\leqslant\;0\phantom{X}$.

resposta: $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace1\rbrace\,$
×

Resolver a inequação $\phantom{X}-2x^2\,+\,3x\,+\,2\;\geqslant\;0\phantom{X}$.

resposta: $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\frac{1}{2}\,\leqslant\,x\,\leqslant\,2\rbrace\;$
×

Resolver as inequações do segundo grau a seguir em $\,{\rm I\!R}\,$:

$\,x^2\,-\,3x\,+\,2\;\gt\;0\,$

$\,-x^2\,+\,x\,+\,6\;\gt\;0\,$

$\,-3x^2\,-\,8x\,+\,3\;\leqslant\;0\,$

$\,-x^2\,+\,\dfrac{\,3\,}{\,2\,}x\,+\,10\;\geqslant\;0\,$

$\,8x^2\,-\,14x\,+\,3\;\leqslant\;0\,$

$\,4x^2\,-\,4x\,+\,1\;\gt\;0\,$

$\,x^2\,-\,6x\,+\,9\;\geqslant\;0\,$

$\,-4x^2\,+\,12x\,-\,9\;\geqslant\;0\,$

$\,x^2\,+\,3x\,+\,7\;\gt\;0\,$

$\,-3x^2\,+\,3x\,-\,3\;\lt\;0\,$

$\,2x^2\,-\,4x\,+\,5\;\lt\;0\,$

$\,-\dfrac{\,1\,}{\,3\,}x^2\,+\,\dfrac{\,1\,}{\,2\,}x\,-\,\dfrac{\,1\,}{\,4\,}\;\gt\;0\,$

resposta:

$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,1\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,2\rbrace\;$

$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|-2\,\lt\,x\,\lt\,3\rbrace\;$

$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,-3\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\geqslant\,\frac{\,1\,}{\,3\,}\rbrace\;$

$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\frac{\,5\,}{\,2\,}\,\leqslant\,x\,\leqslant\,4\rbrace\;$

$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;\frac{\,1\,}{\,4\,}\,\leqslant\,x\,\leqslant\,\frac{\,3\,}{\,2\,}\rbrace\;$

$\,\mathbb{S}\,=\,{\rm I\!R}\;-\;\lbrace \frac{\,1\,}{\,2\,}\rbrace\,$

$\,\mathbb{S}\,=\,{\rm I\!R}\,$

$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace \frac{\,3\,}{\,2\,}\rbrace\;$

$\,\mathbb{S}\,=\,{\rm I\!R}\,$

$\,\mathbb{S}\,=\,\varnothing\,$

Resolver a inequação $\phantom{X}(x^2\,-\,x\,-\,2)(-x^2\,+\,4x\,-\,3)\;\lt\;0\phantom{X}$ em $\,{\rm I\!R}\,$.

resposta: $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\lt\,x\,\lt\,1\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}2\,\lt\,x\,\lt\,3\rbrace\;$
×

Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ as inequações:

$\,(1\,-\,4x^2)\centerdot(2x^2\,+\,3)\,\gt\,0\,$

$\,(2x^2\,-\,7x\,+\,6)\centerdot(2x^2\,-\,7x\,+\,5)\,\leqslant\,0\,$

$\,(x^2\,-\,x\,-\,6)\centerdot(-x^2\,+\,2x\,-1)\,\gt\,0\,$

$\,(x^2\,+\,x\,-\,6)\centerdot(-x^2\,-2x\,+\,3)\,\geqslant\,0\,$

$\,x^3\,-\,2x^2\,-\,x\,+\,2\,\gt\,0\,$

$\,2x^3\,-\,6x^2\,+\,x\,-\,3\,\leqslant\,0\,$

resposta:

$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\frac{3}{2}\,\lt\,x\,\lt\,-\frac{1}{2}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}0\,\lt\,x\,\lt\,\frac{1}{2}\rbrace\;$

$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,\frac{3}{2}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}2\,\leqslant\,x\,\leqslant\,\frac{5}{2}\rbrace\;$

$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-2\,\lt\,x\,\lt\,3\phantom{X}{\text e}\phantom{X}x\,\ne\,1\rbrace\;$

$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,=\,-3\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,2\rbrace\;$

$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\lt\,x\,\lt\,1\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,2\rbrace\;$

$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,3\rbrace\;$

(MAPOFEI - 1971) É dada a função $\phantom{X}y\,=\,(2x^2\,-\,9x\,-\,5)(x^2\,-\,2x\,+2)\phantom{X}$
Determinar:

os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo das abscissas.

o conjunto dos valores de x para os quais $\,y\,\leqslant\,0\,$.

resposta:

a) P₁ = (5, 0) e P₂ = (-1/2, 0)

b) $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\frac{1}{2}\,\leqslant\,x\,\leqslant\,5\rbrace\;$

Resolver a inequação $\phantom{X}\dfrac{\;2x^2\,+\,x\,-\,1\;}{2x\,-\,x^2}\;\geqslant\;0\phantom{X}$

resposta: $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\leqslant\,-1\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}0\,\lt\,x\,\leqslant\,\frac{1}{2}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,2\rbrace\;$
×

Resolver as inequações em $\,{\rm I\!R}\,$:

$\,\dfrac{\;4x^2\,+\,x\,-\,5\;}{2x^2\,-3x\,-\,2}\;\gt\;0\,$

$\,\dfrac{\;-9x^2\,+\,9x\,-\,2\;}{\;3x^2\,+\,7x\,+\,2\;}\;\geqslant\;0\,$

$\,\dfrac{\;x^2\,+\,2x\;}{\;x^2\,+\,5x\,+\,6\;}\;\geqslant\;0\,$

$\,\dfrac{\;2\,-\,3x\;}{\;2x^2\,+\,3x\,-\,2\;}\;\lt\;0\,$

$\,\dfrac{\;x^2\,+\,3x\,-\,16\;}{\;-x^2\,+\,7x\,-\,10\;}\;\geqslant\;1\,$

$\,\dfrac{\;2x^2\,+\,4x\,+\,5\;}{\;3x^2\,+\,7x\,+\,2\;}\;\lt\;-2\,$

$\,\dfrac{\;6x^2\,+\,12x\,+\,17\;}{\;-2x^2\,+\,7x\,-\,5\;}\;\geqslant\;-1\,$

$\,\dfrac{\;(x\,+\,1)^3\,-\,1\;}{\;(x\,-\,1)^3\,+\,1\;}\;\gt\;1\,$

resposta: a)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-\frac{5}{4}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}-\frac{1}{2}\,\lt\,x\,\lt\,1\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,2\rbrace$
b)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-2\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}-\frac{1}{3}\,\lt\,x\,\leqslant\,\frac{1}{3}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\geqslant\,\frac{2}{3}\rbrace$
c)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-3\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\geqslant\,0\rbrace$
d)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-2\,\lt\,x\,\lt\,\frac{1}{2}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,\frac{2}{3}\rbrace$
e)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\leqslant\,x\,\lt\,2\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}3\,\leqslant\,x\,\lt\,5\rbrace$
f)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-2\,\lt\,x\,\lt\,-\frac{3}{2}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}-\frac{3}{4}\,\lt\,x\,\lt\,-\frac{1}{3}\rbrace$
g)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-4\,\leqslant\,x\,\leqslant\,-\frac{3}{4}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}1\,\lt\,x\,\lt\,\frac{5}{2}\rbrace$
f)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\gt\,0\rbrace$

×

Resolver os sistemas de inequações:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} x^2\,+\,x\,-\,2\;\gt\;0 & \\ 3x\,-\,x^2\,\lt\,0\phantom{XX}& \\ \end{array} \right.\,$

$\,\left\{\begin{array}{rcr} x^2\,+\,x\,-\,20\;\leqslant\;0\;\;& \\ x^2\,-\,4x\,-\,21\,\gt\,0\;& \\ \end{array} \right.\,$

$\,\left\{\begin{array}{rcr} 1\,+\,2x\;\geqslant\;0\phantom{XXXX}& \\ -4x^2\,+\,8x\,-\,3\,\lt\,0\;& \\ \end{array} \right.\,$

$\,\left\{\begin{array}{rcr} -2x^2\,-\,x\,+\,1\,\geqslant\,0\phantom{X}& \\ 4x^2\,-\,8x\,+\,3\;\leqslant\,0\phantom{X}& \\ \end{array} \right.\,$

resposta: a)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-2\,\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,3\rbrace$
b)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-5\,\leqslant\,x\,\lt\,-3\rbrace$
c)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-\frac{1}{2}\,\leqslant\,x\,\leqslant\,\frac{1}{2}\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,\frac{3}{2}\rbrace$
d)$\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace \frac{1}{2}\rbrace$

×

Resolver a inequação $\phantom{X}x^4\,-\,5x^2\,+\,4\,\geqslant\,0\phantom{X}$ em $\,{\rm I\!R}\,$.

resposta: $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,-2\,\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}-1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,1\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\geqslant\,2\rbrace$

×

Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ as inequações a seguir:

$\,x^4\,-\,10x^2\,+\,9\,\leqslant\,0\,$

$\,x^4\,-\,3x^2\,-\,9\,\gt\,0\,$

$\,x^4\,+\,8x^2\,-\,9\,\lt\,0\phantom{X}$

$\,2x^4\,-\,3x^2\,+\,4\,\lt\,0\,$

$\,x^6\,-\,7x^3\,-\,8\,\geqslant\,0\phantom{X}$

$\,3x^4\,-\,5x^2\,+\,4\,\gt\,0\,$

resposta: a) $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-3\,\leqslant\,x\,\leqslant\,-1\,\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,3\rbrace$
b) $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\lt\,-2\,\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\gt\,2\rbrace$
c) $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;-1\,\lt\,x\,\lt\,1\rbrace$
d) $\,\mathbb{S}\,=\,\varnothing\,$
e) $\,\mathbb{S}\,=\,\lbrace x\,\in\,{\rm I\!R}\;|\;x\,\leqslant\,-1\,\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}x\,\geqslant\,2\rbrace$
a) $\,\mathbb{S}\,=\,{\rm I\!R}\,$

×

Determinar os valores de $\,m\,$ para que a equação do segundo grau $\phantom{X}mx^2\,+\,(2m\,-\,1)x\,+\,(m\,-\,2)\;=\;0\phantom{X}$ tenha duas raízes reais distintas.

resposta: m ≠ 0 e m > -1/4
×

Determinar os valores de $\,m\,$ para que a equação do segundo grau $\phantom{X}(m - 1)x^2\,+\,(2m\,+\,3)x\,+\,m\;=\;0\phantom{X}$ tenha duas raízes reais distintas.

resposta: m > -9/16 e m ≠ 1
×

Determinar os valores de $\,m\,$ para que a equação do segundo grau $\phantom{X}(m\,+\,2)x^2\,+\,(3\,-\,2m)x\,+\,(m\,-\,1)\;=\;0\phantom{X}$ tenha raízes reais.

resposta:

Nessa equação:
$\,\left\{\begin{array}{rcr}\,a\,=\,m\,+\,2\phantom{x} &\,\\\,b\,=\,3\,-\,2m &\,\\ \,c\,=\,m\,-\,1\phantom{x} & \end{array}\,\right.\phantom{X}\Rightarrow$ $\Delta\,=\,(3\,-\,2m)^2\,-\,4\centerdot(m\,+\,2)(m\,-\,1)\,$
$\Delta\,=\,(9\,-\,12m\,+\,4m^2)\,-\,4(m^2\,-\,m\,+\,2m\,-\,2)\,=\,$ $9\,-\,12m\,+\,4m^2\,-\,4m^2\,+\,4m\,-\,8m\,+\,8\,=\,$ $-16m\,+\,17\,$
Para que a equação seja do segundo grau é necessário que $\;a = m + 2 \ne 0\;$ e para que tenha raízes reais é necessário que $\,\Delta = 17 - 16m \geqslant 0\,$
$\,\left\{\begin{array}{rcr}\,\;m \ne -2\; &\,\\ m\;\leqslant \dfrac{17}{16} & \end{array}\,\right.\phantom{X}$

m ≤ 17/16 e m ≠ -2
×

Determinar os valores de $\,m\,$ para que a equação do segundo grau $\phantom{X}mx^2\,+\,(m\,+\,1)x\,+\,(m\,+\,1)\;=\;0\phantom{X}$ tenha uma raiz de multiplicidade 2.

resposta: m = -1 ou m = 1/3
×

Determinar os valores de $\,m\,$ para que a equação do segundo grau $\phantom{X}x^2\,+\,(3m\,+\,2)x\,+\,(m^2\,+\,m\,+\,2)\;=\;0\phantom{X}$ tenha duas raízes reais iguais.

resposta: m = -2 ou m = 2/5
×