Exercícios sobre equação da tangente

(ITA - 2004) Sejam os pontos

$\phantom{X} A: \; (2;\, 0)\,$ ,

$\;B:\;(4;\, 0)\;$ e

$\;P:\;(3;\, 5 + 2\sqrt{2})\,$ .

Determine a equação da cirunferência

$\;C\;$ , cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos

$\;A\;$ e

$\;B\;$ e é tangente ao eixo

$\;y\;$ .

Determine as equações das retas tangentes à circunferência

$\;C\;$ que passam pelo ponto

$\;P\;$ .

resposta:

Resolução:

Seja

$\; O \;$ o centro da circunferência

$\;C\;$ no primeiro quadrante. Na figura,

$\;C\;$ passa pelos pontos

$\;A\;$ e

$\;B\;$ , tangenciando o eixo

$\;y\;$ .

$\;O\;$ possui coordenadas (3,m) e

$\;\overline{OA}\;$ é raio da circunferência, portanto

$\;\overline{OA}\;$ mede 3.

$\;(\overline{OA})^2 = (3 - 2)^2 + (m - 0)^2 \; \Rightarrow \;$

$\; \sqrt{1 + m^2} = 3 \;\Rightarrow \;$

$\; m^2 = 8 \; \Rightarrow \; m = 2\sqrt{2}$ .
O ponto

$\;\; O \;\;$ , centro da circunferência

$\;C\;$ , tem coordenadas

$\;(3, 2\sqrt{2})\;$ , e

a equação da circunferência é

$\;\boxed{\;(x - 3)^2 + (y - 2\sqrt{2})^2 = 9\;}$

A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em

$\;P\;$ , e coeficiente angular

$\;a\;$ :

$\; y - (5 + 2\sqrt{2})\;=\;$

$\;a(x - 3) \; \Rightarrow \; ax - y + 5 + 2 \sqrt{2} - 3a = 0\;$ . A reta vertical que contém

$\;P(3,\;5 + 2\sqrt{2})\;$ corta a circunferência

$\;C\;$ em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro

$\;O (3;\; 2\sqrt{2})\;$ é igual a 3, ou seja:

$\;\dfrac{|3a\,-\,2\sqrt{2}\,+\,5\,+\,2\sqrt{2}\,-\,3a|}{\sqrt{a^2\,+\,1}}\,=\,3 \;\Rightarrow$

$\; \dfrac{5}{a^2\,+\,1}\,=\,3 \;\Rightarrow$

$\; a\;=\;\dfrac{4}{3}$ ou

$\;a = -\, \dfrac{4}{3}$ .

As equações das tangentes são:

$\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\,\dfrac{4}{3}(x\,-\,3)}\;$ e

$\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\, -\, \dfrac{4}{3}(x - 3)}\;$