(CESCEM - 1977) Um subconjunto $\,\mathbb{X}\,$ de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de $\,\mathbb{X}\,$ é:
Descreva através de uma propriedade característica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes: A={0,2,4,6,8,...} B={0,1,2,...9} C={Brasília, Rio de Janeiro, Salvador}
resposta: A={x | x é inteiro, par e não negativo} B={x | x é algarismo arábico} C={x | x é nome de cidade que já foi capital do Brasil}
Escreva com símbolos: a) conjunto dos múltiplos inteiros de 5, entre -20 e + 20. b) conjunto dos divisores inteiros de 32. c) conjunto dos múltiplos inteiros de 0. d) conjunto das frações com numerador inteiro não negativo menor que 4 e denominador igual a 7. e) conjunto das capitais de estados da Região Sul.
(USP) São conhecidos os seguintes elementos de um triângulo $ABC$: $\;\measuredangle\; CAB = 30^o\;$; $\;AB = 8m\;$;$\;CB = 5m\;$. Pode-se afirmar que:
a) $AC\;=\;(2\sqrt{3}\;-\;3)\;m$ é a única solução. b) $AC\;=\;(2\sqrt{3}\;+\;3)\;m$ é a única solução. c) $AC\;=\;(4\sqrt{3}\;-\;2)\;m\; $ ou $\;AC\;=\;(4\sqrt{2}\;+\;3)\;m\;$ d) $AC\;=\;(2\sqrt{3}\;-\;3)\;m\; $ ou $\;AC\;=\;(2\sqrt{3}\;+\;3)\;m\;$ e) $AC\;=\;(4\sqrt{3}\;-\;3)\;m\; $ ou $\;AC\;=\;(4\sqrt{3}\;+\;3)\;m\;$
(PUC) Sabendo-se que $\,A\,$ e $\,B\,$ são subconjuntos de $\,U\,$, $ \;A\, \cap B \, = \, \lbrace c, d \rbrace\,$, $\;A\, \cup\, B \,=\, \lbrace a, b, c, d, e, f \rbrace\;$ e $\;\sideset{}{_U^A}\complement \, = \lbrace e, f, g, h, i \rbrace\,$, então:
a)
n(A) = 2 e n(B) = 4
b)
n(A) = 4 e n(B) = 2
c)
n(A) = 3 e n(B) = 3
d)
n(A) = 4 e n(B) = 4
e)
n(A) = 1 e n(B) = 5
Observação: n(X) significa "número de elementos do conjunto X".
(PUC) O número de elementos do conjunto $\,A\,$ é $\,2^m\,$ e o número de elementos do conjunto $\,B\,$ é $\,2^n\,$. Então, o número de elementos de $\,A\times B\,$ é:
(PUCC) São dados os conjuntos $\,A\,=\,\lbrace \, 3, 5, 6 \,\rbrace\,$ e $\,B\,=\,\lbrace \,4, 5, 9, 10, 12 \,\rbrace\,$ e a relação $\,R\,=\,\lbrace \,(x;y)\, \in \,A \times B\,\mid\,$ m.d.c$(x;y)\,=\,1 \,\rbrace\,$ O número de elementos da relação inversa de $\;R\;$ é:
(PUC) Seja $\,D\,=\,\lbrace \, 1, \,2, \,3, \,4, \,5 \,\rbrace\,$, e $\,f\,:\, D \rightarrow \mathbb{R}\;$ a função definida por $\,f(x)\,=\,(x\,-\,2)\centerdot(x\,-\,4)\,$. Então:
a)
$f\,$ é sobrejetora
b)
$f\,$ é injetora
c)
$f\,$ é bijetora
d)
O conjunto imagem de $\,f\,$ possui 3 elementos somente
(MACKENZIE) Uma funcão $\,f\,$ é definida em $\,A\,$ e tem imagem em $\,B\,$. Sabe-se que o conjunto $\,A\,$ tem 2K - 2 elementos e o conjunto $\,B\,$ tem K + 3 elementos. Se $\,f\,$ é injetora, então:
(PUC) Seja $\;x\;$ elemento de $\;\mathbb{A}\;$. Se $\;x\,\notin \;]{\small -1};\,2]\,\text{, }\; x < 0\;$ ou $\; x \geqslant 3\,$, determine $\;\mathbb{A}\,$.
Considerando a matriz $\phantom{X}A\,=\,{\large(a_{ij})_{2\times3}}\phantom{X}$ com ${\large\phantom{X}a_{ij}}\,=\,2i\,+\,3j\phantom{X}$, podemos afirmar que a soma dos elementos da 1ª linha de $\;A\;$ vale:
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}, calcular o número de funções injetoras de A em B.
resposta: Resolução: O número de funções injetoras de A em B é exatamente o $\,A_{\large 6,4}\,$, pois cada conjunto imagem é um "conjunto ordenado" de 4 elementos escolhidos entre os 6 elementos do conjunto B. Assim, o número total de funções injetoras de A em B é $\,A_{\large 6,4}\,=\,6\centerdot 5\centerdot 4\centerdot 3\,$, e portanto, 360. Resposta: O número de funções injetoras de A em B é 360. ×
Quantos números de algarismos distintos e compreendidos entre 100 e 1000 podem ser obtidos utilizando os algarismos 1, 2, 3, 5, 6 ?
resposta:
Resolução:
Os números entre 100 e 1000 são formados por 3 algarismos, e de acordo com o enunciado são escolhidos entre os algarismos dados e distintos entre si. Os algarismos em ordem diferente representam números diferentes, portanto a ordem também define cada elemento formado (arranjo). O número de algarismos é então $\;A_{\large 5,3}\;=\;5\centerdot 4\centerdot 3\;$, e, portanto, 60
(ITA - 1990) Considere as equações $\;{\large z^3}\,=\,i\phantom{X}\mbox{, e }\phantom{X}{\large z^2}\,+\,(2\,+\,1)z\,+\,2i\,=\,0\;$ onde $\,z\,$ é complexo. Seja $\,S_1\,$ o conjunto das raízes da primeira equação e $\,S_2\,$ o da segunda. Então:
a)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ é vazio.
d)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ é unitário.
Seis dados são lançados simultaneamente. Quantas sequências de resultados são possíveis, se considerarmos cada elemento da sequência como o número obtido em cada dado?
Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis: a) se a escolha for feita com reposição? b) se a escolha for feita sem reposição?
resposta:
Resolução:
a)
Seja $\,A\,$ o conjunto das cartas do baralho. Temos #A = 52. Cada escolha consta de uma sequência do tipo $\phantom{XX}(a_{\large 1},\,a_{\large 2},\,a_{\large 3},\,a_{\large 4},\,a_{\large 5})\,$ onde $\,a_{\large 1}\,\in\,A,\,a_{\large 2}\,\in\,A,\,a_{\large 3}\,\in\,A,\,a_{\large 4}\,\in\,A,\,a_{\large 5}\,\in\,A\;$ (pois a escolha foi feita com reposição. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é:$\,\underbrace{52\,\centerdot\,52\,\centerdot\,\centerdot\,52\,\centerdot\,52\,\centerdot\,52}_{\Large 5\;vezes} \, = 52^{\large 5}$
b)
Se a escolha é feita sem reposição então cada sequência $\;(a_{\large 1},\,a_{\large 2},\,a_{\large 3},\,a_{\large 4},\,a_{\large 5})\,$ é tal que cada elemento pertence a $\;A\;$ e são todos elementos distintos. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é $\,\underbrace{52\,\centerdot\,51\,\centerdot\,\centerdot\,50\,\centerdot\,49\,\centerdot\,48}_{\Large 5\;fatores} \, = 311875200\;$
Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?
resposta: 72 maneiras.
Resolução: Cada maneira das pessoas sentarem corresponde a um par ordenado de números distintos escolhidos no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Veja os exemplos:
(2, 6)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 2} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 6} \\ \end{array}\right. \;$
(6, 2)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 6} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 2} \\ \end{array}\right. \;$
(3, 4)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 3} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 4} \\ \end{array}\right. \;$
1. O total de pares ordenados é igual a $\;A_{\Large 10,2}\,=\,10\,\centerdot\,9\,=\,90\;$ 2. Dever ser excluídos os pares ordenados cujos elementos sejam números consecutivos. São eles:
(ITA - 1972) Sejam $\,A\,$ um conjunto finito com $\,m\,$ elementos e $\,I_{\Large n}\,=\,\lbrace\,1, 2, ... , n\,\rbrace\,$. O número de todas as funções definidas em $\,I_{\Large n}\,$ com valores em $\,A\,$ é:
(ITA - 1977) Consideremos $\,m\,$ elementos distintos. Destaquemos $\,k\,$ dentre eles. Quantos arranjos simples daqueles $\,m\,$ elementos tomados $\,n\,$ a $\,n\;(A_{\Large m,n})\,$ podemos formar, de modo que em cada arranjo haja sempre, contíguos e em qualquer ordem de colocação, $\,r\;(r\,<\,n)\,$ dos $\,k\,$ elementos destacados?
Dirija com segurança, conservando sempre a direita.
(2)
Conserve na direita nas autos-estrada.
(3)
Em autoestradas, mantenha-se à direita.
(4)
À noite, luz baixa ao cruzar veículos.
(5)
À tardinha, luz baixa ao cruzar-se com veículo.
(6)
Trânsito proibido das 0 h às 5 hs.
(7)
Trânsito proibido das 0h às 5 h.
Estão corretas:
a)
1, 2, 4 e 6
b)
3, 5 e 7
c)
2, 4 e 6
d)
1, 3, 5 e 6
e)
2, 4 e 7
resposta: Alternativa B (1) e (2) conservar é pronominal (conservar-se) e as locuções adverbiais femininas à direita/à esquerda devem ser craseadas. (2) e (3) autoestradaas palavras formadas por prefixo terminado em vogal, como auto- , e por um elemento começado por vogal diferente, como estrada , perdem o hífen e aglutinam-se. (4) e (5) o verbo cruzar-se deve reger, nesses dois casos, a proposição com. (6) e (7) a abreviação de horas no singular é h. Como em outros símbolos da Física, não se acrescenta s ao final da abreviação de horas - plura. Assim o correto é 1 h, 2 h, 3 h, etc.
Sendo dado um conjunto $\,\mathbb{A}\,$ com n elementos indiquemos por $\,a\,$ o número de subconjuntos de $\,\mathbb{A}\,$. Seja $\,\mathbb{B}\,$ o conjunto que se obtém acrescentando um novo elemento a $\,\mathbb{A}\,$ e indiquemos por $\,b\,$ o número de subconjuntos de $\,\mathbb{B}\,$. Qual a relação que liga $\,a\,$ e $\,b\,$?
Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A?
resposta:
Considerações:
Se A possui k elementos, então A possui 2k subconjuntos.
Resolução: Seja k o número de elementos do conjunto A. n(A) = k ⇒ n[P(A)] = 2k, ou seja, A possui 2k subconjuntos. Portanto: $\;2^{\large k}\,=\,1024\;\Rightarrow\;2^{\large k}\,=\,2^{\large 10}\;\Rightarrow\;k\,=\,10\;$
Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número de elmentos de A ∩ (B ∪ C)sabendo-se que: a) A ∩ B tem 26 elementos b) A ∩ C tem 10 elementos c) A ∩ B ∩ C tem 7 elementos
resposta:
Resolução: Observe a figura onde está representado A ∩ (B ∪ C). 1)n(A ∩ B ∩ C) = b ⇒ b = 7 2)n(A ∩ B) = b + c ⇒ b + c = 26 ⇒ c = 19 pois b = 7 3)n(A ∩ C) = a + b ⇒ a + b = 10 ⇒ a = 3 pois b = 7 Então n[A ∩ (B ∪ C)] = a + b + c = 3 + 7 + 19 = 29
Sendo o conjunto $\phantom{X}E\,=\,\lbrace 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6 \rbrace\phantom{X}$, $\phantom{X}\sideset{}{_E^A}\complement\;=\;\lbrace 2,\,3,\,5\rbrace \phantom{X}$, $\phantom{X}\sideset{}{_E^B}\complement\;=\;\lbrace 1,\,3,\,5,\,6\rbrace \phantom{X}$ determine:
a)
os elementos do conjunto A
b)
os elementos do conjunto B
c)
os elementos de (A ∩ B)
resposta: a) A = {1,4,6}b) B = {2,4}b) (A ∩ B) = {4} ×
(FUVEST) Uma composição ferroviária com 19 vagões e uma locomotiva desloca-se a 20 m/s. Sendo o comprimento de cada elemento da composição 10 m, qual é o tempo que o trem gasta para ultrapassar:
Listar o espaço amostral dos experimentos seguintes:
a)
Uma urna contém bolas vermelhas (V), bolas brancas (B) e bolas azuis (A). Uma bola é extraída e observada a sua cor.
b)
Três pessoas A, B e C são colocadas em uma fila e observa-se a disposição das mesmas.
c)
Entre cinco pessoas A, B, C, D e E , apenas duas são escolhidas para realizar uma viagem. Observem-se os elementos que vão realizar a viagem.
d)
Uma urna contém 5 bolas vermelhas (V) e duas brancas (B). Duas bolas são extraídas sem reposição, e observadas suas cores, na sequência que foram extraídas.
Os coeficientes a e b daequação ax = b são escolhidos ao acaso entre os pares ordenados do produto cartesiano A × A ,sendo A = {1, 2, 3, 4} ,verificando-se que a é o 1º elemento do par e b é o 2º elemento do par. Qual a probabilidade da equação ter raízes inteiras?
Na expansão de: $\phantom{X}(2x^{\Large 2}\,-\,\dfrac{\;1\;}{2}\,y^{\Large 3})^{\Large 8}\phantom{X}$ o termo no qual aparece o elemento $\,x^{\Large 8}\,$ vale:
Utilizando alumínio e cobre como eletrodos, represente a pilha formada por estes elementos e escreva as equações químicas das reações que ocorrem na mesma.
resposta:
O alumínio é mais reativo que o cobre, então seu potencial de oxidação é maior que o do cobre - o alumínio cede elétrons. Por isso: a placa de Alumínio é o eletrodo negativo, ânodo a placa de Cobre é o eletrodo positivo, cátodo Os elétrons passam pelo fio do eletrodo de Aℓ para o eletrodo de Cu de acordo com as reações: ânodo: 2Aℓo → 2Aℓ+++ + 6e- cátodo: 3Cu++ + 6e- → 3Cuo + 6e- Equação global da pilha: 2Aℓo + 3Cu++ → 2Aℓ+++ + 3Cuo ×
Se $\phantom{X}A\,=\,\left]-\infty;2\right]\phantom{X}$, $\phantom{X}B\,=\,\left[2;+\infty\right[\phantom{X}$ e $\phantom{X}C\,=\,\left]1;2\right[\phantom{X}$, então o número de elementos de $\phantom{X}(A\,\cap\,B)\,-\,C\phantom{X}$ é:
De uma P.A. com 10 elementos e razão r = k, vamos retirar o 2º, 3º, 5º, 6º, 8º e o 9º elementos. Os restantes 4 elementos, dispostos na mesma ordem, ainda formam uma P.A.. Qual a razão desta segunda P.A.?
