Lista de exercícios do ensino médio para impressão

Calcular a distância entre os pontos $\,A(a\,-\,3;\;b\,+\,4)\;$ e $\;B(a\,+\,2,\;b\,-\,8)$.

resposta:
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Calcular o perímetro do triângulo ABC, sendo dados $A(2,1)$, $B(-1,3)$, e $C(4,-2)$.

resposta:
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Provar que o triângulo cujos vértices são $A(2,2)$, $B(-4,-6)$, e $C(4,-12)$ é um triângulo retângulo.

resposta: Basta verificar que as medidas dos lados estão de acordo com o Teorema de Pitágoras.
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Determinar $x$ de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São dados : $A(4,5)$, $B(1,1)$ e $C(x,4)$.

resposta:
×

Determinar no eixo das abscissas um ponto M , cuja distância até o ponto P (2 , -3) seja igual a 5 unidades.

resposta: Resolução:
Se o ponto pertence ao eixo das abscissas, sua coordenada no eixo das ordenadas é zero.

$\,M\in0x\phantom{X}\Rightarrow\;$

$\;y_{M}\,=\,0\,$

$\,d_{MP}\,=\,5\;\Rightarrow\;$

$\sqrt{{\large (x_M\,-\,x_P)^2\,+\,(y_M\,-\,y_P)^2}}\,=\,5\;\Rightarrow$

$\phantom{XXXXX}\Rightarrow\;$

$\sqrt{{\large (x_M\,-\,2)^2\,+\,[0\,-\,(-3)]^2}}\,=\,5\;\Rightarrow$

$\phantom{XXXXX}\Rightarrow\;$

$(x_M\,-\,2)^2\,+\,9\,=\,25\;\Rightarrow$

$\phantom{XXXXX}\Rightarrow\;$

$(x_M\,-\,2)^2\,=\,16\;\Rightarrow\;x_M\,-\,2\,=\,\pm4\,\;\Rightarrow\;\left\{\begin{array}{rcr} x_M\,=\,6 \phantom{X}& \\ x_M\,=\,-2 & \\ \end{array} \right.$

$\therefore \;\;M_1\,(6\,;\,0)\;\;M_2\,(-2\,;\,0)$

Resposta:
$M_1\,(6\,;\,0)\;\;$ ou $\;\;M_2\,(-2\,;\,0)$

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Determinar a natureza do triângulo: A (2 ; -3), B (-5 ; 1) e C (4 ; 3).

resposta: Resolução:
Primeiro determinar os comprimentos dos lados do triângulo.

$AB\;=$

$\sqrt{{\large (2\,+\,5)^2\,+\,(-3\,-\,1)^2}}\,\,=\,\sqrt{65}$

$BC\;=$

$\sqrt{{\large (4\,+\,5)^2\,+\,(3\,-\,1)^2}}\,\,=\,\sqrt{85}$

$AC\;=$

$\sqrt{{\large (4\,-\,2)^2\,+\,(3\,+\,3)^2}}\,\,=\,\sqrt{40}\,=\,2\centerdot \sqrt{10}$

Como:

$\,AB \neq BC \neq AC\; \Rightarrow \; \triangle$escaleno

$BC\, < AB^2 + AC^2\;\Rightarrow\; \triangle$acutângulo

Resposta: escaleno e acutângulo .
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Determinar o ponto no eixo 0x equidistante dos pontos A (6 , 5) e B (-2 , 3) .

resposta: Resolução:
O ponto P equidistante de A e B está no eixo x , portanto sua ordenada é nula e podemos representar P (x , 0) .
Da equidistãncia:
$\;\begin{array}{rcr} \text{distância}_{PA} = \text{distância}_{PB} \phantom{XXXXXX} & \\ \sqrt{(x\,-\,6)^2\,+\,(0\,-\,5)^2}\,=\,\sqrt{(x\,+\,2)^2\,+\,(0\,-\,3)^2}& \\ \end{array} $
Elevar os lados ao quadrado:
$\,x^2\,-\,12x\,+\,36\,+\,15\,=\,x^2\,+\,4x\,+\,4\,+\,9\,$
desenvolvendo a equação temos $\,\boxed{x\,=\,3}\,$. Se x = 3 então P(x,0) é o ponto P(3;0)
Resposta:
$\;\boxed{\;(3\,;\,0)\;}$

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Os vértices de um triângulo são: A (-3 , 6) ; B (9 , -10) e C (-5 , 4). Determinar o centro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

resposta:

Considerações:

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados da diferença entre as coordenadas respectivas dos pontos dados.

Veja aqui

triângulo ABC circunscrito na circunferência

Resolução:

Vejamos o rascunho ao lado, onde o centro da circunferência é O (x , y) . Os segmentos $\,\overline{OA}\,$, $\,\overline{OB}\,$ e $\,\overline{OC}\,$ são raios da circunferência e têm medidas iguais a R .

$\phantom{X}\left.\begin{array}{rcr} d_{OA}\,=\,R \;& \\ d_{OB}\,=\,R \;& \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$ $\;d_{OA}\,=\,d_{OB}\;\Rightarrow \,\sideset{}{_{OA}^2}d\;=\sideset{}{_{OB}^2}d\;\Rightarrow$

1.
${\small [x\,-\,(-3)]^2\,+\,(y\,-\,6)^2}\,=\,$ ${\small (x\,-\,9)^2\,+\,[y\,-\,(-10)]^2\;}\Rightarrow $

${\small x^2\,+\,6x\,+\,9\,+\,y^2\,-\,12y\,+\,36}\,=$ ${\small \,x^2\,-\,18x\,+\,81\,+\,y^2\,+\,20y\,+\,100\;}\Rightarrow $

${\small 6x\,-\,12y\,+\,18x\,-\,20y}\,=$ $\,{\small 81\,+\,100\,-\,9\,-\,36}\;\Rightarrow $

${\small 24x\,-\,32y\,=\,136}\;\Rightarrow \;$ $\boxed{\;3x\,-\,4y\,=\,17\;}\;\text{(I)}$

2.
$\left.\begin{array}{rcr} d_{OA}\,=\,R \;& \\ d_{OC}\,=\,R \;& \\ \end{array} \right\}\;$ $\;\Rightarrow\;d_{OA}\,=\,d_{OC}\;\Rightarrow \;\sideset{}{_{OA}^2}d\;=\sideset{}{_{OC}^2}d\;\Rightarrow$

${\small [x\,-\,(-3)]^2\,+\,(y\,-\,6)^2}\,=\;$ $\,{\small [x\,-\,(-5)]^2\,+\,(y\,-\,4)^2}\;\Rightarrow $

${\small \, x^2\,+\,6x\,+\,9\,+\,y^2\,-\,12y\,+\,36}\,=\,$ ${\small \,x^2\,+\,10x\,+\,25\,+\,y^2\,-\,8y\,+\,16}\;\Rightarrow $

${\small \,6x\,-\,12y\,-\,10x\,+\,8y}\,=\,$ ${\small \,25\,+\,16\,-\,9\,-\,36}\;\Rightarrow $

${\small \,-4x\,-\,4y\,=\,-4}\;\Rightarrow\;$ $\; \boxed{\;x\,+\,y\,=\,1\;}\;\text{(II)} $

3.
O próximo passo é resolver o sistema de duas equações (I) e (II):

$\;\left\{\begin{array}{rcr} 3x\,-\,4y\,=\,17 & \\ x\,+\,y\,=\,1\phantom{X} \;& \\ \end{array} \right.\;\Rightarrow\;$ $\;\left\{\begin{array}{rcr} x\,=\,3\;\; & \\ y\,=\,-2& \\ \end{array} \right.\;\Rightarrow\;$ $\; 0\,(3\,,\,-2)\,$

Sabemos então que o centro tem coordenadas (3 , -2) , então vamos calcular a medida do raio:

$\,R\,=\,d_{OA}\,=\,$ $\,\sqrt{[3\,-\,(-3)]^2\,+\,(-2\,-\,6)^2}\;\Rightarrow\;$ $\;R\,=\,10$

Resposta:

$\;\boxed{0\,(3\,,\,-2)\;\text{e}\;R\,=\,10}\,$

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Dados os pontos A (-3 ; 6) e B (7 ; -1) , determinar as coordenadas do ponto médio do segmento $\;\overline{AB}\,$.

resposta: Resolução:
Se um ponto $\;M\,(x_M\,;\,y_M)\;$ é o ponto médio do segmento $\;\overline{AB}\;$ então:

(I)

A coordenada $\,x_M\,$ é a média aritmética dos valores das coordenadas $\,x_A\,$ e $\,x_B\,$

$x_M\,=\,{\large \frac{x_A + x_B}{2}}\;\Rightarrow\;x_M\,=\,{\large \frac{(-3) + 7}{2}}\,=\,2$

(II)

A coordenada $\,y_M\,$ é a média aritmética dos valores das coordenadas $\,y_A\,$ e $\,y_B\,$

$y_M\,=\,{\large \frac{y_A + y_B}{2}}\;\Rightarrow\;y_M\,=\,{\large \frac{6 +(-1)}{2}}\,=\,\frac{5}{2}$

concluímos que o ponto médio é $\;M\,(2\,;\frac{5}{2})$

Resposta:$\;\boxed{\;M\,(2\,;\,\frac{5}{2})\;}\,$

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(SANTA CASA) O triângulo ABC é tal que A é a origem do sistema de coordenadas, B e C estão no 1º quadrante e AB = BC . A reta s , que contém a altura do triângulo traçada por B , intercepta $\,\overline{AC}\,$ no ponto M . Sendo M (2 ; 1) e C (x ; y) , então x + y é igual a:

resposta: alternativa C
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(OSEC) Se num sistema cartesiano ortogonal no plano, o ponto A (9 ; 4) é um dos vértices de um quadrado inscrito num círculo de centro C (6 ; 0) , então um outro vértice do quadrado poderia ter como coordenadas:

(1 ; 0)

(11 ; 0)

(3 ; 5)

(6 ; 5)

(3 ; 4)

resposta: alternativa E
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(USP) Dados os pontos A (1 ; -4) , B (1 ; 6) e C (5 ; 4 ) e sabendo-se que $\;AB^2\;=\;BC^2\,+\,AC^2\;$, então, a soma das coordenadas do centro da circunferência que passa pelos pontos A , B e C é:

resposta: alternativa A
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Os pontos médios dos lados de um triângulo são os pontos D (2 ; 1) , E (-6 ; 3) e F (-4 ; -5) . Calcular as coordenadas dos vértices.

resposta: (0;9), (4;-7) e (-12;-3)

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(MAUÁ) Determinar as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo-se que os pontos médios de seus lados são: (-2 ; 1) , (5 ; 2) e (2 ; -3) .

resposta: (1 ; 6) , (9 ; -2) e (-5 ; -4) .

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