Lista de exercícios do ensino médio para impressão
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(ITA - 2004) Seja $\;x\in\mathbb{R}\;$ e a matriz $\; A = \begin{bmatrix} 2^{\large x} & (x^2 + 1)^{-1} \\ 2^{\large x} & log_2 5 \end{bmatrix}$. Assinale a opção correta:
a)
$\forall \; x \in \mathbb{R}$, $A$ possui inversa.
b)
Apenas para $ x > 0$, $ A $ possui inversa.
c)
São apenas dois os valores de $x$ para os quais $A$ possui inversa.
d)
Não existe valor de $x$ para o qual $A$ possui inversa.
e)
Para $x = log_2 5$, $A$ não possui inversa.

 



resposta: (A)
×
(ITA - 2004) Considere as afirmações dadas a seguir em que A é uma matriz quadrada $n \times n, \; n \geqslant 2\;$:
I.
O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.
II.
Se $\;A = (a_{ij})\;$ é tal que $\;a_{ij}\,=\,0\;$ para $\;i\,>\,j\;$, com $\;i,j\,=\,1,\,2, ...., n\;$, então $\;det A\, =\, a_{11} a_{22} ... a_{nn}\;$.
III.
Se B for obtida de A multiplicando-se a primeira coluna por $\; \sqrt{2} \, + \, 1\; $ e a segunda por $\;\sqrt{2}\, - \, 1\;$, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então $\;det B\, =\, det A\;$.
Então podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)
a)
apenas II.
b)
apenas III.
c)
apenas I e III.
d)
apenas II e III.
e)
todas.

 



resposta: (D)
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(ITA - 2004) Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos $\;(x,y)\;$ do plano que satisfazem a equação:

$ det \begin{bmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ 40 & 2 & 6 & 1 \\ 4 & 2 & 0 & 1 \\ 34 & 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} = 288 \;$ .

a) Uma elipse.
b) Uma parábola.
c) Uma circunferência.
d) Uma hipérbole.
e) Uma reta.

 



resposta: alternativa C
×
(ITA - 1979) Sejam A , B , C matrizes reais 3 × 3 , satisfazendo as seguintes relações $\phantom{X}AB\,=\,C^{\large -1}\phantom{X}$,$\phantom{X}B\,=\,2A\phantom{X}$. Se o determinante de C é 32, qual é o valor do módulo do determinante de A ?
a)
1/16
c)
1/4
b)
1/8
d)
8
e)
4

 



resposta: Resolução:
$\left\{\begin{array}{rcr} AB\,=\,C^{\large -1}& \\ B\,=\,2A\phantom{XX}& \\ \end{array} \right. \;\;\Longrightarrow\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{det}{(AB)}\,=\,\operatorname{det}{(C^{\large -1})}& \\ \operatorname{det}{(B)}\,=\,\operatorname{det}{(2A)}\;\;\phantom{X}& \\ \end{array} \right. \;\;\Longrightarrow\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{det}{(A)}\,\centerdot\,\operatorname{det}{(B)}\,=\,\frac{1}{{\large \operatorname{det}{(C)}}}& \;(I) \\ \operatorname{det}{(B)}\,=\,2^{\large 3}\,\centerdot\,\operatorname{det}{(A)}\;\;\phantom{XX}& \;(II) \\ \end{array} \right.$
Vamos fazer a substituição de (II) em (I)
$\,\operatorname{det}{(A)}\,\centerdot\,2^{\large 3}\operatorname{det}{(A)}\,=\,\frac{1}{\large \operatorname{det}{(C)}}\;\Leftrightarrow\;8(\operatorname{det}{(A)})^2\,=\,\frac{1}{\large \operatorname{det}{(C)}}$
Se $\;\operatorname{det}{(C)}\,=\,32\;$ segue que:
$(\operatorname{det}{(A)})^{\large 2}\,=\,\frac{1}{\large 8\,\centerdot\,32}\;\Leftrightarrow\; \boxed{\;|\operatorname{det}{(A)}|\,=\,\frac{1}{\large 16}\;}$
Resposta: alternativa A

×
(PUC) A matriz $\phantom{X}A\,=\,(a_{\large ij})\phantom{X}$ é quadrada de ordem 2
com$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large ij}\,=\,2i\,-\,j\;\; & \mbox{ para }\; i\,=\,j \\ a_{\large ij}\,=\,3i\,-\,2j & \mbox{ para }\; i\,\neq\,j \\ \end{array} \right.\,$
O determinante de $\,A\,$ é igual a:
a)
1
b)
2
c)
4
d)
5
e)
6

 



resposta: Alternativa E
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(ABC) Sejam as matrizes $\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\;$ e $\;B\;=\;\begin{pmatrix} a& b\; \\ c& d \end{pmatrix} \phantom{X}\,$
Se o determinante de $\,AB\,$ é igual a zero, então, necessariamente, devemos ter:
a)
$\;ab + cd = 0\;$
b)
$\;a = 0\;$ e $\;b = 0\;$
c)
$\;ad - bc = 0\;$
d)
$\;a + c = 0\;$ e $\;b + d = 0\;$
e) $\;a = b = c = d = 0\;$

 



resposta: Alternativa C
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(UFG) Se $\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\phantom{X}$ então os valores de $\,{\large \lambda}\,$, tais que o determinante da matriz $\,A^{\large 2}\,-\,{\large \lambda}I_2\,$ é igual a zero, são:
a)
somente $\,{\large \lambda}\,=\,0\,$
b)
$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,2\,$
c)
qualquer que seja $\,{\large \lambda}\,$ real
d)
$\,{\large \lambda}\,=\,4\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,2\,$
e)
$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,4\,$

 



resposta: Alternativa E
Resolução:
$\,I_2\,$ é representação da matriz identidade de ordem 2, a saber $\;\begin{pmatrix} 1& 0\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\phantom{X}$.
$\,A^{\large 2}\,= \;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\,\centerdot\,\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $\;\begin{pmatrix} 1+1& 1+1\; \\ 1+1& 1+1 \end{pmatrix}\phantom{X}\;\Rightarrow\;$ $\;\begin{pmatrix} 2& 2\; \\ 2& 2 \end{pmatrix}$
$\,{\large \lambda}I_2\;=\;{\large \lambda}\centerdot\begin{pmatrix} 1& 0\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\;=\;$ $\begin{pmatrix} {\large \lambda}& 0\; \\ 0& {\large \lambda} \end{pmatrix}\;$
Então
$\,A^2 \,-\,\lambda I_2\;=\;\begin{pmatrix} 2& 2\; \\ 2& 2 \end{pmatrix}\, - \,\begin{pmatrix} {\large \lambda}& 0\; \\ 0& {\large \lambda} \end{pmatrix}\,=$ $\,\begin{pmatrix} 2-{\large \lambda}& 2\; \\ 2& 2-{\large \lambda} \end{pmatrix}$
O determinante de $\,\begin{pmatrix} 2-{\large \lambda}& 2\; \\ 2& 2-{\large \lambda} \end{pmatrix}\,$ é $\,(2\,-\,{\large \lambda})^{\large 2}\,-\,2^{\large 2}\,=$ $\,(2\,-\,{\large \lambda})^{\large 2}\,-\,4\,=\,0\Rightarrow\;$ $\,2^2\,-\,4{\large \lambda}\,+\,{\large \lambda}^2\,-\,4\,=\,0\;\Rightarrow\;$ ${\large \lambda}^2\,-\,4{\large \lambda}\,=\,0\;\Rightarrow\,$ $\,\left\{\begin{array}{rcr} &{\large \lambda}\,=\,0\;\mbox{ ou } \\ &{\large \lambda}\,=\,4\phantom{XX} \\ \end{array} \right.\,$
×
(SANTA CASA - 1982) Seja a matriz quadrada $\,A\,=\,(a_{\large ij})\,$ de ordem 2, tal que:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{cos}\dfrac{\pi}{2i\,-\,j}\, & \mbox{, se } i\,=\,j \\ \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{i\,+\,j}\;\; & \mbox{, se } i\,\neq\,j \end{array} \right.\,$
O determinante de $\,A\,$ é igual a:
a)
$\,\dfrac{3}{4}\,$
b)
$\,\dfrac{1}{4}\,$
c)
$\,0\,$
d)
$\,-\dfrac{1}{4}\,$
e)
$\,-\dfrac{3}{4}\,$

 



resposta: Alternativa E
×
O conjunto solução de $\phantom{X}\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & x\; \\ 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1\; \\ x & 1 \end{vmatrix}}\;=\;\begin{vmatrix} 1 & 1\; \\ x & 1 \end{vmatrix}\phantom{X}$ é:
a)
$\,\lbrace\,x\,\in \,\mathbb{R}\,\vert\,x\,\neq\,1\,\rbrace\,$
b)
$\,\lbrace\,0,\;1\,\rbrace\,$
c)
$\,\lbrace\,1\,\rbrace\,$
d)
$\,\lbrace\,-1\,\rbrace\,$
e)
$\,\lbrace\,0\,\rbrace\,$

 



resposta: Alternativa E
×
A sentença $\,\begin{vmatrix} x & 1\; \\ 0 & x \end{vmatrix}\;+\;\begin{vmatrix} 0 & y\; \\ y & 1 \end{vmatrix}\;=\;\begin{vmatrix} x & y+1\; \\ y & x+1 \end{vmatrix}$
a)
é equivalente a $\,\begin{pmatrix} x & 1\; \\ 0 & x \end{pmatrix}\;+\;\begin{pmatrix} 0 & y\; \\ y & 1 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} x & y+1\; \\ y & x+1 \end{pmatrix}$
b)
só é verdadeira se $\,x\,=\,y\,$ não ambos nulos.
c)
só é verdadeira se $\,x\,=\,y\,=\,0\,$
d)
nunca é verdadeira
e)
é equivalente a $\,x\,=\,y\,$

 



resposta: (E)
×
No esquema a seguir temos um objeto real AB e sua imagem virtual A'B' fornecida por um espelho esférico.
quadriculado com objeto e imagem de espelho esférico

Os pontos A e A' estão sobre o eixo principal do espelho. O vértice, o foco e o centro de curvatura do espelho são, nessa ordem:

a)
X, Y e Z.
b)
X, Z e Y.
c)
Y, X e Z.
d)
Y, Z e X.
e)
Z, X e Y.

 



resposta: (D)
Resolução:
quadriculado com objeto e imagem de espelho esférico e raios determinantes da posição do espelho

1. O raio (I), representado em vermelho, define uma reta que une o ponto objeto com sua imagem conjugada. O cruzamento da reta (I) com o eixo principal do espelho determina o centro de curvatura do espelho, o ponto X.

2. O raio (II), representado em azul, define uma reta que une o ponto imagem ao simétrico do objeto. O cruzamento da reta (II) com o eixo principal determina a posição do espelho (= o vértice do espelho), o ponto Y.

3. O foco é o ponto médio entre o centro de curvatura (X) e o vértice (Y), então o foco é o ponto Z.


×
Veja exercÍcio sobre:
matrizes e determinantes
matrizes
determinantes
matriz
determinante