Exercícios sobre determinante

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(ITA - 2004) Seja $\;x\in\mathbb{R}\;$ e a matriz $\; A = \begin{bmatrix} 2^{\large x} & (x^2 + 1)^{-1} \\ 2^{\large x} & log_2 5 \end{bmatrix}$. Assinale a opção correta:

$\forall \; x \in \mathbb{R}$, $A$ possui inversa.

Apenas para $ x > 0$, $ A $ possui inversa.

São apenas dois os valores de $x$ para os quais $A$ possui inversa.

Não existe valor de $x$ para o qual $A$ possui inversa.

Para $x = log_2 5$, $A$ não possui inversa.

resposta: (A)
×

(ITA - 2004) Considere as afirmações dadas a seguir em que A é uma matriz quadrada $n \times n, \; n \geqslant 2\;$:

O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula.

II.

Se $\;A = (a_{ij})\;$ é tal que $\;a_{ij}\,=\,0\;$ para $\;i\,>\,j\;$, com $\;i,j\,=\,1,\,2, ...., n\;$, então $\;det A\, =\, a_{11} a_{22} ... a_{nn}\;$.

III.

Se B for obtida de A multiplicando-se a primeira coluna por $\; \sqrt{2} \, + \, 1\; $ e a segunda por $\;\sqrt{2}\, - \, 1\;$, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então $\;det B\, =\, det A\;$.

Então podemos afirmar que é (são) verdadeira(s)

apenas II.

apenas III.

apenas I e III.

apenas II e III.

todas.

resposta: (D)
×

(ITA - 2004) Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos $\;(x,y)\;$ do plano que satisfazem a equação:

$ det \begin{bmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ 40 & 2 & 6 & 1 \\ 4 & 2 & 0 & 1 \\ 34 & 5 & 3 & 1 \end{bmatrix} = 288 \;$ .

a) Uma elipse.
b) Uma parábola.
c) Uma circunferência.
d) Uma hipérbole.
e) Uma reta.

resposta: alternativa C
×

(ITA - 1979) Sejam A , B , C matrizes reais 3 Ã— 3 , satisfazendo as seguintes relações $\phantom{X}AB\,=\,C^{\large -1}\phantom{X}$,$\phantom{X}B\,=\,2A\phantom{X}$. Se o determinante de C é 32, qual é o valor do módulo do determinante de A ?

1/16

1/4

1/8

resposta: Resolução:

$\left\{\begin{array}{rcr} AB\,=\,C^{\large -1}& \\ B\,=\,2A\phantom{XX}& \\ \end{array} \right. \;\;\Longrightarrow\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{det}{(AB)}\,=\,\operatorname{det}{(C^{\large -1})}& \\ \operatorname{det}{(B)}\,=\,\operatorname{det}{(2A)}\;\;\phantom{X}& \\ \end{array} \right. \;\;\Longrightarrow\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{det}{(A)}\,\centerdot\,\operatorname{det}{(B)}\,=\,\frac{1}{{\large \operatorname{det}{(C)}}}& \;(I) \\ \operatorname{det}{(B)}\,=\,2^{\large 3}\,\centerdot\,\operatorname{det}{(A)}\;\;\phantom{XX}& \;(II) \\ \end{array} \right.$

Vamos fazer a substituição de (II) em (I)

$\,\operatorname{det}{(A)}\,\centerdot\,2^{\large 3}\operatorname{det}{(A)}\,=\,\frac{1}{\large \operatorname{det}{(C)}}\;\Leftrightarrow\;8(\operatorname{det}{(A)})^2\,=\,\frac{1}{\large \operatorname{det}{(C)}}$

Se $\;\operatorname{det}{(C)}\,=\,32\;$ segue que:

$(\operatorname{det}{(A)})^{\large 2}\,=\,\frac{1}{\large 8\,\centerdot\,32}\;\Leftrightarrow\; \boxed{\;|\operatorname{det}{(A)}|\,=\,\frac{1}{\large 16}\;}$

Resposta: alternativa A

(ITA - 1990) Sejam A, B e C matrizes quadradas n x n tais que A e B são inversíveis e ABCA = $\,A^t\,$, onde $\,A^t\,$ é a transposta da matriz A. Então, podemos afirmar que:

C é inversível e $\,det C\,=\,det(AB)^{-1}\,$

C é inversível e $\,det C\,=\,det(A)^{2}\centerdot det B$

C não é inversível pois $\,det C\,=\,0\,$

C é inversível e $\,det C\,=\,\dfrac{detA}{det B}\,$

C é inversível e $\,det C\,=\,det B\,$

Nota: det X denota o determinante da matriz quadrada X.

resposta: (A)
×

(PUC) A matriz $\phantom{X}A\,=\,(a_{\large ij})\phantom{X}$ é quadrada de ordem 2
com$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large ij}\,=\,2i\,-\,j\;\; & \mbox{ para }\; i\,=\,j \\ a_{\large ij}\,=\,3i\,-\,2j & \mbox{ para }\; i\,\neq\,j \\ \end{array} \right.\,$
O determinante de $\,A\,$ é igual a:

resposta: Alternativa E
×

(ABC) Sejam as matrizes $\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\;$ e $\;B\;=\;\begin{pmatrix} a& b\; \\ c& d \end{pmatrix} \phantom{X}\,$
Se o determinante de $\,AB\,$ é igual a zero, então, necessariamente, devemos ter:

$\;ab + cd = 0\;$

$\;a = 0\;$ e $\;b = 0\;$

$\;ad - bc = 0\;$

$\;a + c = 0\;$ e $\;b + d = 0\;$

e) $\;a = b = c = d = 0\;$

resposta: Alternativa C
×

(UFG) Se $\,A\;=\;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\phantom{X}$ então os valores de $\,{\large \lambda}\,$, tais que o determinante da matriz $\,A^{\large 2}\,-\,{\large \lambda}I_2\,$ é igual a zero, são:

somente $\,{\large \lambda}\,=\,0\,$

$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,2\,$

qualquer que seja $\,{\large \lambda}\,$ real

$\,{\large \lambda}\,=\,4\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,2\,$

$\,{\large \lambda}\,=\,0\,$ ou $\,{\large \lambda}\,=\,4\,$

resposta: Alternativa E
Resolução:
$\,I_2\,$ é representação da matriz identidade de ordem 2, a saber $\;\begin{pmatrix} 1& 0\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\phantom{X}$.

$\,A^{\large 2}\,= \;\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\,\centerdot\,\begin{pmatrix} 1& 1\; \\ 1& 1 \end{pmatrix}\;\Rightarrow\;$ $\;\begin{pmatrix} 1+1& 1+1\; \\ 1+1& 1+1 \end{pmatrix}\phantom{X}\;\Rightarrow\;$ $\;\begin{pmatrix} 2& 2\; \\ 2& 2 \end{pmatrix}$

$\,{\large \lambda}I_2\;=\;{\large \lambda}\centerdot\begin{pmatrix} 1& 0\; \\ 0& 1 \end{pmatrix}\;=\;$ $\begin{pmatrix} {\large \lambda}& 0\; \\ 0& {\large \lambda} \end{pmatrix}\;$

Então
$\,A^2 \,-\,\lambda I_2\;=\;\begin{pmatrix} 2& 2\; \\ 2& 2 \end{pmatrix}\, - \,\begin{pmatrix} {\large \lambda}& 0\; \\ 0& {\large \lambda} \end{pmatrix}\,=$ $\,\begin{pmatrix} 2-{\large \lambda}& 2\; \\ 2& 2-{\large \lambda} \end{pmatrix}$

O determinante de $\,\begin{pmatrix} 2-{\large \lambda}& 2\; \\ 2& 2-{\large \lambda} \end{pmatrix}\,$ é $\,(2\,-\,{\large \lambda})^{\large 2}\,-\,2^{\large 2}\,=$ $\,(2\,-\,{\large \lambda})^{\large 2}\,-\,4\,=\,0\Rightarrow\;$ $\,2^2\,-\,4{\large \lambda}\,+\,{\large \lambda}^2\,-\,4\,=\,0\;\Rightarrow\;$ ${\large \lambda}^2\,-\,4{\large \lambda}\,=\,0\;\Rightarrow\,$ $\,\left\{\begin{array}{rcr} &{\large \lambda}\,=\,0\;\mbox{ ou } \\ &{\large \lambda}\,=\,4\phantom{XX} \\ \end{array} \right.\,$
×

(SANTA CASA - 1982) Seja a matriz quadrada $\,A\,=\,(a_{\large ij})\,$ de ordem 2, tal que:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \operatorname{cos}\dfrac{\pi}{2i\,-\,j}\, & \mbox{, se } i\,=\,j \\ \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{i\,+\,j}\;\; & \mbox{, se } i\,\neq\,j \end{array} \right.\,$
O determinante de $\,A\,$ é igual a:

$\,\dfrac{3}{4}\,$

$\,\dfrac{1}{4}\,$

$\,0\,$

$\,-\dfrac{1}{4}\,$

$\,-\dfrac{3}{4}\,$

resposta: Alternativa E
×

O conjunto solução de $\phantom{X}\dfrac{\begin{vmatrix} 1 & x\; \\ 1 & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 & 1\; \\ x & 1 \end{vmatrix}}\;=\;\begin{vmatrix} 1 & 1\; \\ x & 1 \end{vmatrix}\phantom{X}$ é:

$\,\lbrace\,x\,\in \,\mathbb{R}\,\vert\,x\,\neq\,1\,\rbrace\,$

$\,\lbrace\,0,\;1\,\rbrace\,$

$\,\lbrace\,1\,\rbrace\,$

$\,\lbrace\,-1\,\rbrace\,$

$\,\lbrace\,0\,\rbrace\,$

resposta: Alternativa E
×

A sentença $\,\begin{vmatrix} x & 1\; \\ 0 & x \end{vmatrix}\;+\;\begin{vmatrix} 0 & y\; \\ y & 1 \end{vmatrix}\;=\;\begin{vmatrix} x & y+1\; \\ y & x+1 \end{vmatrix}$

é equivalente a $\,\begin{pmatrix} x & 1\; \\ 0 & x \end{pmatrix}\;+\;\begin{pmatrix} 0 & y\; \\ y & 1 \end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix} x & y+1\; \\ y & x+1 \end{pmatrix}$

só é verdadeira se $\,x\,=\,y\,$ não ambos nulos.

só é verdadeira se $\,x\,=\,y\,=\,0\,$

nunca é verdadeira

é equivalente a $\,x\,=\,y\,$

resposta: (E)
×

Resolver pela "regra de Cramer" o sistema:$\,\left\{\begin{array}{rcr} \;\;x\,+\phantom{X}y\,+\,2z\,=\,9\;& \\ \;\;x\,+\;2y\,+\,\;\;z\,=\,8\;& \\ 2x\,+\phantom{X}y\,+\;\;z\,=\,7\;& \\ \end{array} \right.\,$

resposta:

Resolução:
Passo 1:
Calcular o valor do determinante D da matriz 3x3 formada pelos coeficientes de x, y e z
$\;D\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\; \\ 1 & 2 & 1 \; \\ 2 & 1 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-4$
Passo 2:
2a. Calcular o valor do determinante D_x da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de x por uma coluna com os termos independentes
$\;D_x\;=\,\begin{vmatrix} 9 & 1 & 2\; \\ 8 & 2 & 1 \; \\ 7 & 1 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-4$
2b. Calcular o valor do determinante D_y da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de y por uma coluna com os termos independentes
$\;D_y\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 9 & 2\; \\ 1 & 8 & 1 \; \\ 2 & 7 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;-8$
2c. Calcular o valor do determinante D_z da matriz 3x3 formada substituindo-se a coluna com os coeficientes de z por uma coluna com os termos independentes
$\;D_z\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & 9\; \\ 2 & 2 & 8 \; \\ 2 & 1 & 7 \;\end{vmatrix}\;=\;-12$
Passo 3:

(calcular x)

$\;x\,=\,\dfrac{D_x}{D}\,=\,\dfrac{-4}{-4}\,=\,1\;$

(calcular y)

$\;y\,=\,\dfrac{D_y}{D}\,=\,\dfrac{-8}{-4}\,=\,2\;$

(calcular z)

$\;z\,=\,\dfrac{D_z}{D}\,=\,\dfrac{-12}{-4}\,=\,3\;$

V = {(1, 2, 3)}

×

Resolver o sistema:$\phantom{X}\left\{\begin{array}{rcr} \;\dfrac{1}{x}\,+\,\dfrac{1}{y}\,-\,\dfrac{1}{z}\,=\,\phantom{X}4\;& \\ \;\dfrac{2}{x}\,-\,\dfrac{1}{y}\,+\,\dfrac{3}{z}\,=\,-3\;& \\ \; \dfrac{1}{x}\,+\,\dfrac{2}{y}\,+\,\dfrac{4}{z}\,=\,\phantom{X}1\;& \\ \end{array} \right.\,$

resposta:

Resolução:
Vamos fazer $\;p\,=\,\dfrac{1}{x}\;$, $\;q\,=\,\dfrac{1}{y}\;$ e $\;r\,=\,\dfrac{1}{z}\;$ e a seguir utilizar a Regra de Cramer.
Então temos o sistema:$\phantom{X}\left\{\begin{array}{rcr} \;p\;+\;q\;-\phantom{X}r\,=\phantom{X}4\;& \\ 2p\,-\;q\;+\,3r\,=\,-3\,& \\ \;p\;+\;2q\,+\,4r\,=\phantom{X}1\,& \\ \end{array} \right.\,$
● Calcular o valor do determinante D
$\;D\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1\; \\ 2 & -1 & 3 \; \\ 1 & 2 & 4 \;\end{vmatrix}\;=\;-20$
● Calcular o valor do determinante D_p
$\;D_p\;=\,\begin{vmatrix} 4 & 1 & -1\; \\ -3 & -1 & 3 \; \\ 1 & 2 & 4 \;\end{vmatrix}\;=\;-20$
● Calcular o valor do determinante D_q
$\;D_q\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 4 & -1\; \\ 2 & -3 & 3 \; \\ 1 & 1 & 4 \;\end{vmatrix}\;=\;-40$
● Calcular o valor do determinante D_r
$\;D_r\;=\,\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4\; \\ 2 & -1 & -3 \; \\ 1 & 2 & 1 \;\end{vmatrix}\;=\;20$

(calcular x)

$\;p\,=\,\dfrac{D_p}{D}\,=\,\dfrac{-20}{-20}\,=\,1\;\Rightarrow\;\boxed{\;x\,=\,\dfrac{1}{p}\,=\,1\;}$

(calcular y)

$\;q\,=\,\dfrac{D_q}{D}\,=\,\dfrac{-40}{-20}\,=\,2\;\Rightarrow\;\boxed{\;y\,=\,\dfrac{1}{q}\,=\,\dfrac{1}{2}\;}$

(calcular r)

$\;r\,=\,\dfrac{D_r}{D}\,=\,\dfrac{20}{-20}\,=\,-1\;\Rightarrow\;\boxed{\;z\,=\,\dfrac{1}{r}\,=\,-1\;}$

V = {(1, 1/2 , -1)}

×

No esquema a seguir temos um objeto real AB e sua imagem virtual A'B' fornecida por um espelho esférico.

quadriculado com objeto e imagem de espelho esférico

Os pontos A e A' estão sobre o eixo principal do espelho. O vértice, o foco e o centro de curvatura do espelho são, nessa ordem:

X, Y e Z.

X, Z e Y.

Y, X e Z.

Y, Z e X.

Z, X e Y.

resposta: (D)

Resolução:

quadriculado com objeto e imagem de espelho esférico e raios determinantes da posição do espelho

1. O raio (I), representado em vermelho, define uma reta que une o ponto objeto com sua imagem conjugada. O cruzamento da reta (I) com o eixo principal do espelho determina o centro de curvatura do espelho, o ponto X.

2. O raio (II), representado em azul, define uma reta que une o ponto imagem ao simétrico do objeto. O cruzamento da reta (II) com o eixo principal determina a posição do espelho (= o vértice do espelho), o ponto Y.

3. O foco é o ponto médio entre o centro de curvatura (X) e o vértice (Y), então o foco é o ponto Z.

Veja exercÍcio sobre:
matrizes e determinantes
matrizes
determinantes
matriz
determinante