(CESCEM - 1970) Chamam-se cosseno hiperbólico de x e seno hiperbólico de x , e representam-se respectivamente por $\;cosh \; x\;$ e $\;senh \; x\;$ aos números:
$cosh\; x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$
$senh\; x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
Então $\phantom{X}(cosh\,x)^2 - (senh\,x)^2\phantom{X}$ vale:
(ITA - 2004) Considere a função $\;f : {\rm I\!R} \rightarrow \mathbb{C}$, $f(x) = 2\;cosx + 2\;i\;senx$. Então, $\;\forall \; x, y \; \in \; {\rm I\!R}\;$, o valor do produto $\;f(x)f(y)\;$ é igual a:
Determinar o valor do lado $\;\overline{AC}\;$ na figura abaixo:
resposta:
LEI DOS COSSENOS: "Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam".
Calcular o lado $\;a\;$ de um triângulo $\;ABC\;$ sabendo-se que $\;\hat{B}\,=\,60^o\,\text{, } \hat{C}\,=\,45^o \;\text{ e }\; \overline{AB}\,=\, 2\text{ m}$.
(VUNESP) Sejam $\;A\;$, $B$ e $C \;$ conjuntos de números reais. Sejam $\;f\,:\, A \rightarrow B \;$ e $\;g\,:\, B \rightarrow C \;$ definidas, respectivamente, por:
Se existe $\;f\,:\, A \rightarrow C \;$, definida por $\,h(x)\,=\,g{\large [f(x)]} \text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x \text{, }\,x \,\in\, \, A\;$, então:
Sabendo-se que $\;\hat{x}\;$ é um ângulo agudo e que $\;\operatorname{tg}\hat{x}\,=\,{\large \frac{5}{12}}\;$, calcule o $\,\operatorname{sen}\hat{x}\,$
resposta: Resolução: $\,\operatorname{sen^2}x \,=\,{\large \frac{\operatorname{tg^2}x}{1\,+\,\operatorname{tg^2}x}}\; \Rightarrow \operatorname{sen^2}x \,=\,{\large \frac{\frac{25}{144}}{1\,+\,\frac{25}{144}}} \,=\,\frac{25}{169}$ Então $\,\boxed{\operatorname{sen}x\,=\,\frac{5}{13}}\;\text{ (para x agudo) }$ ×
Calcular $\,y\,=\,{\Large \frac{\operatorname{cos}x\,-\,\operatorname{sec}x}{\operatorname{sen}x\,-\,\operatorname{cossec}x}}\;$, sabendo que $\,\operatorname{tg}x\,=\,3\;$.
(STO AMARO) Se forem indicados por $\;a \text{, } b \text{, } c \;$ os três lados de um triângulo e $\;\hat{A} \text{, } \hat{B} \text{, }\hat{C}\;$, respectivamente, os ângulos opostos a esses lados, então sendo conhecidos os lados $\;a \text{, } b\;$ e o ângulo $\,\hat{B}\,$, assinale qual das fórmulas abaixo poderá ser utilizada para calcular o lado $\,c\,$. a) $\,a^2\,=\,b^2\,+\,c^2\,-\,2bc\,\operatorname{cos}A\,$ b) $\,b^2\,=\,a^2\,+\,c^2\,+\,2ac\,\operatorname{cos}(A\,+\,C)\,$ c) $\,c^2\,=\,a^2\,+\,b^2\,-\,2ab\,\operatorname{cos}C\,$ d) $\,c^2\,=\,a^2\,+\,b^2\,-\,2ab\,\operatorname{cos}(A\,+\,B)\,$ e) $\,b^2\,=\,a^2\,+\,c^2\,+\,2ac\,\operatorname{cos}(A\,+\,B)\,$
(ITA - 1990) Sejam os números reais $\,\alpha\,$ e $\,x\,$ onde $\,0\,<\,\alpha\,<\,{\large \tfrac{\pi}{2}}\,$. Se no desenvolvimento de $\phantom{X}\left( (cos\alpha)x\,+\,(sen\alpha)\dfrac{1}{x} \right)^8\phantom{X}$ o termo independente de $\,x\,$ vale $\,\dfrac{35}{8}\,$, então o valor de $\,\alpha\,$ é:
(ITA - 1990) Sabendo-se que $\phantom{X}\theta\phantom{X}$ é um ângulo tal que $\; 2 \operatorname{sen}(\theta\,-\,60^o)\,=\,\operatorname{cos}(\theta + 60^o) \,$ então $\,\operatorname{tg}\theta\,$ é um número da forma $\,ax\,+\,b\sqrt{3}\,$ em que:
(FUVEST - 2015) Sabe-se que existem números reais $\,A\,$ e $\,x_0\,$, sendo $\,A\,>\,0\,$, tais que $\phantom{X}\operatorname{sen}x\,+\,2\operatorname{cos}x\,=\,A\operatorname{cos}(x\,-\,x_0)\phantom{X}$ para todo $\,x\,$ real. O valor de $\,A\,$ é igual a
Calcular o valor de m que satisfaz simultaneamente as igualdades: $\,\,$$\phantom{XXXX}\operatorname{sen}x\,=\,\dfrac{m\sqrt{3}}{3}\phantom{X}$ e $\phantom{X}\operatorname{cos}x\,=\,\dfrac{\sqrt{6m}}{3}\phantom{X}$
a)
2
b)
3
c)
1
d)
-3 ou 1
e)
1 ou 3
$\phantom{X}\phantom{X}$
resposta: alternativa C Resolução: Sabemos que $\,\operatorname{sen}^{\large 2}x\,+\,\operatorname{cos}^{\large 2}x\,=\,1\;\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x \,$. Então: $\phantom{X}\left(\dfrac{m\sqrt{3}}{3} \right)^2\,+\,\left( \dfrac{\sqrt{6m}}{3} \right)^2\,=\,1\;\Leftrightarrow\;\dfrac{3m^2}{9}\,+\,\dfrac{6m}{9}\,=\,1\phantom{X}$ $\phantom{X}\Leftrightarrow \dfrac{m^2}{3}\,+\,\dfrac{2m}{3}\,=\,1\;\Leftrightarrow \;m^2\,+2m\,-3\,=\,0\;\Rightarrow\;\left\{ \begin{array}{rcr} m\,=\,-3 \\ \mbox{ou}\phantom{XXX} \\ m\,=\,1\phantom{X} \\ \end{array}\right.\phantom{X}$ Observar que m = -3 não serve, portanto m = 1 ×
(ITA - 1982) Num triangulo isóceles, o perímetro mede 64 m e os ângulos adjacentes são $\,arc\,cos\dfrac{7}{25}\;$. Então a área do triangulo é de:
Para que valores de $\,m\,$ é possível a igualdade $\,\operatorname{cos}x\,=\,1 + 3m\,$?
resposta:
$\,-\dfrac{2}{3}\,\leqslant\,m\,\leqslant\,0\,$ Resolução: O valor de um cosseno está sempre entre -1 e 1 inclusive. $\phantom{XXXX}-1\,\leqslant\,cosx\,\leqslant\,1\;\Rightarrow\;$ $\phantom{XX}\Rightarrow\; -1\,\leqslant\,1\,+\,3m\,\leqslant\,1\;\Rightarrow\,\phantom{X}$ $\phantom{XX}\Rightarrow\;-2\,\leqslant\,3m\leqslant\,0\;\Longrightarrow\;$
Num triângulo $\;ABC\;$, o lado $\,a\,$ é oposto ao ângulo de vértice em $\,A\,$, o lado $\,b\,$ é oposto ao ângulo de vértice em $\,B\,$ e o lado $\,c\,$ é oposto ao ângulo de vértice em $\,C\,$. Tem-se que $\;a^2\,=\,b^2\,+\,c^2\,-\,bc\;$. Calcular a medida do ângulo $\;\hat{A}\;$.
resposta:
LEI DOS COSSENOS: "Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam".
Resolução: $a^2 = b^2 + c^2 - 2(b)(c) cos\hat{A}$ (lei dos cossenos) Comparando-se a relação da lei dos cossenos com a relação fornecida no enunciado, têm-se que :$\;(bc)\centerdot 2cos\hat{A}\,=\,(bc)\;\Rightarrow\;2cos\hat{A}\,=\,1\;\Rightarrow\;cos\hat{A}\,=\,\dfrac{1}{2}\,$ $\,\Rightarrow\;\boxed{\,\hat{A}\,=\,60^o\,}$ Resposta:
(ITA) Os lados de um triângulo medem a , b e c (centímetros). Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as relações: 3a = 7c e 3b = 8c.
a)
30°
b)
60°
c)
45°
d)
120°
e)
135°
resposta: Alternativa B
LEI DOS COSSENOS: "Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam".
Resolução:
Na figura, um triângulo genérico $\,\triangle ABC\,$ onde deseja-se a medida do ângulo $\,\hat{A}\,$.
(ITA - 2005) Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a
(FUVEST - 1998) No cubo de aresta 1, considere as arestas $\,\overline{AC}\;$ e $\;\overline{BD}\,$ e o ponto médio, $\,M\,$, de $\,\overline{AC}\;$.
a)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{A}D\,$.
b)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{M}D\,$.
c)
Qual dos ângulos $\,B\hat{A}D\,$ ou $\,B\hat{M}D\,$ é maior? Justifique.
resposta: a) $\,cosB\hat{A}D\,=\,\frac{\,\sqrt{6\,}\,}{3}\,$ b) $\,cosB\hat{M}D\,=\,\frac{\,7\,}{9}\,$ c) como a função cosseno é decrescente para ângulos agudos, se cos(BÂD) > cos(BMD) decorre que (BÂD) < (BMD) ×
(FUVEST - 2015) No cubo $\,ABCDEFGH\,$, representado na figura, cada aresta tem medida 1 .Seja $\;M\;$ um ponto na semirreta de origem $\;A\;$ que passa por $\;E\;$. Denote por θ o ângulo $\,B\hat{M}H\,$ e por $\;x\;$ a medida do segmento $\,\overline{AM}\,$ .
a)
Exprima $\,\operatorname{cos}\theta\,$ em função de $\;x\;$
b)
Para que valores de $\,x\,$ o ângulo $\,\theta\,$ é obtuso?
c)
Mostre que, se $\,x\;=\;4\,$, então $\,\theta\,$ mede menos que 45°
resposta: a)
Resolução:
Observe na figura ao lado que no triângulo HMB:
i)
pela lei dos cossenos temos: $\;(HB)^2\,=\,$ $\,(MB)^2\,+\,(MH)^2\,-\,(MB)(MH)\operatorname{cos}\theta\;$
ii)
o lado (HB) é a diagonal do cubo de lado 1, portanto mede $\;1\sqrt{\,3\,}\;$
iii)
o lado (MB) é hipotenusa do triângulo retângulo MAB e pelo teorema de Pitágoras $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1\;}\;$
iv)
o lado (MH) é hipotenusa do triângulo retângulo MEH e pelo teorema de Pitágoras $\;MH\,=\,\sqrt{\,(x\,-\,1)^2\,+\,1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;(x\,-\,1)^2\;+\;1\;}\;\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}\;$
v)
Substituindo os valores na equação obtida em i) temos:
$\;\operatorname{cos}\theta\;=\;\dfrac{x^2\,-\,x}{\sqrt{\;x^2\,+\,1\;}\centerdot\sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}}$ b)
Um ângulo é obtuso quando seu cosseno é menor que zero.
Como o denominador da fração acima é a multiplicação entre duas raízes quadradas, esse denominador é sempre positivo. Resta então que, para que a fração seja menor que zero é necessário que $\;(x^2\,-\,x\;)\;$ seja menor que zero.
raízes : $\;x_1\,=\,0\phantom{X}x_2\,=\,1\;$; o coeficiente de $\,x^2\,$ é maior do que zero, então a expressão será negativa para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$
O ângulo $\;\theta\;$ é obtuso para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$ c) basta substituir x por quatro na equação do cosseno de $\,\theta\,$ e constatar que se x = 4 o cosseno é $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$. Como $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$ é menor que $\, cos45^o \;=\;\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,$, então θ < 45° para x = 4. ×
Se $\,cos\,x\,=\,\frac{\,2\,}{\,3\,}\phantom{X}$ e $\,x\,$ está no primeiro quadrante, determine $\,sen x\,$ e $\,sen \left(\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\,\right)\,$
resposta: $\,\dfrac{\,\sqrt{\,5\,}}{\,3\,}\,$ e $\,\dfrac{\,2\,}{\,3\,}\,$ ×
Sabendo que $\phantom{X}6\,cos\,x\,-\,1\,=\,4\phantom{X}$, com $\,\frac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,\lt\,x\,\lt\,2\pi\;$, obtenha $\,sen\,x\,$
Sabe-se que $\,sen\,\dfrac{\,4\pi\,}{\,9\,}\,=\,a\,$
a)
Qual o sinal de $\,a\,$? Justifique.
b)
Calcule, em função de $\,a\,$, $\,sen\,\dfrac{\,5\pi\,}{\,9\,}\,$.
c)
Calcule $\,sen\,\dfrac{\,\pi\,}{\,18\,}\;$ e $\;cos\,\dfrac{\,\pi\,}{\,18\,}\;$
resposta: a) positivo porque o arco $\,\frac{4\pi}{9}\,$ pertence ao primeiro quadrante $\,0\,\lt\,\frac{4\pi}{9}\,\lt\,\frac{\pi}{2}\,$ b)$\,a\,$ c)$\,sen\frac{\pi}{18}\,=\,\sqrt{1\,-\,a^2}\,$ e $\,cos\frac{\pi}{18}\,=\,a\,$ ×
Sabendo que $\,sen x - cos x = a\,$, calcule: a)$\,sen\,x\,\centerdot\,cos\,x\,$ b)$\,sen^3\,x\,-\,cos^3\,x\,$
a) Para todo arco $\,x\,$ real, existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,\pi\,-\,x\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à em relação ao
b) Para todo arco $\,x \in {\rm I\!R}\,$ existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,x\,-\,\pi\,\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à em relação à
c) Para todo arco $\,x\,$ real, existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,2\pi\,-\,x\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à em relação ao
d) Para todo arco $\,x \in {\rm I\!R}\,$ existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\,\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à em relação à
resposta: a) imagem de $\,x\,$ - eixo dos senos b) imagem de $\,x\,$ - origem dos eixos c) imagem de $\,x\,$ - eixo dos cossenos d) imagem de $\,x\,$ - reta bissetriz do primeiro quadrante
Num triângulo ABC , o ângulo  é obtuso. Os lados AB e AC medem 3 e 4 , respectivamente. Então: a) BC < 4 b) BC < 5 c) BC > 7 d) 5 < BC < 7 e) nenhuma das anteriores é correta
Determinar o conjunto domínio, o conjunto imagem e o período da função $\phantom{X}y\,=\,2\,+\,3\operatorname{cos}\left(2x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,3\,}\,\right)\phantom{X}$.
Construir o gráfico da função $\,f\,:\,{\rm I\!R}\rightarrow\,{\rm I\!R}\,$ definida por $\phantom{X}f(x) = 1 + \operatorname{cos}\left(\,2x\,-\,\dfrac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\phantom{X}$
Resolver em $\,{\rm I\!R}\,$ a equação $\phantom{X}cos\,2x\;=\;0\phantom{X}$
resposta:
Devemos notar que se o cosseno de 2x é zero, então $\,2x = \pm\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,+\,2k\pi\;\Rightarrow$ $\;x = \pm\,\dfrac{\,\pi\,}{\,4\,}\,\,+\,k\pi,\;k\,\in\,\mathbb{Z}\,$ O conjunto solução então:
