Lista de exercícios do ensino médio para impressão
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(CESCEM - 1977) Um subconjunto $\,\mathbb{X}\,$ de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de $\,\mathbb{X}\,$ é:

a) 32
b) 27
c) 24
d) 22
e) 20


 



resposta: (D)
×
(MACKENZIE - 1969) Sendo $\,\mathbb{A}\,=\,\lbrace\,\lbrace\,1\,\rbrace , \,\lbrace\,2\,\rbrace,\,\lbrace\,1,\,2\,\rbrace\,\rbrace\,\;$ pode-se afirmar que

a) $\,\{1\}\,\notin \mathbb{A}\,$
b) $\,\{1\}\,\subset \mathbb{A}\,$
c) $\,\{1\}\,\cap\,\{2\}\,\not\subset \, \mathbb{A}\,$
d) $\,2\,\in \mathbb{A}\,$
e) $\,\{1\}\,\cup\,\{2\}\,\in \, \mathbb{A}\,$


 



resposta: (E)
×
(CESCEM - 70) Do enunciado abaixo:

"A condição necessária e suficiente para que uma reta seja paralela a um plano que não a contém é que ela seja paralela a uma reta desse plano."

Podemos concluir que:
a)
A condição ser suficiente significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada a esta reta por um qualquer de seus pontos.
b)
A condição ser necessária significa que: toda reta paralela a uma reta de um plano é paralela a este plano.
c)
A condição ser suficiente significa que: todo plano paralelo a uma reta conterá todas as retas paralelas à reta dada.
d)
A condição ser necessária significa que: todo plano paralelo a uma reta contém a paralela traçada a esta reta por um qualquer de seus pontos.
e)
Nenhuma das anteriores.

 



resposta: Alternativa E
×
(PUC-SP - 1980) Se r e s são retas reversas, então pode-se garantir que:
a)
todo plano que contém r também contém s .
b)
existe um plano que contém r e é perpendicular a s .
c)
existe um único plano que contém r e s .
d)
existe um plano que contém r e é paralelo a s .
e)
toda reta que encontra r encontra s .

 



resposta: alternativa D
×
(FUVEST - 1982) Sejam $r$ e $s$ duas retas distintas. Podemos afirmar que sempre:
a)
existe uma reta perpendicular a $\;r\;$ e a $\;s\;$.
b)
$\;r\;$ e $\;s\;$ determinam um único plano.
c)
existe um plano que contém $\;s\;$ e não intercepta $\;r\;$.
d)
existe uma reta que é paralela a $\;r\;$ e a $\;s\;$.
e)
existe um plano que contém $\;r\;$ e um único ponto de $\;s\;$.

 



resposta: Alternativa A
×
(STA CASA - 1982) Na figura ao lado, tem-se o triângulo $\;ABC\;$ tal que $\;\overline{AB}\;$ está contido num plano $\;\alpha\;$, $\;C \notin \alpha\;$ e os ângulos de vértices $\;B\;$ e $\;C\;$ medem, respectivamente, 70° e 60°. Se $\;r\;$ // $\;\alpha\;$, $\;r \cap \overline{AC} = [M]\;$, $\;r \cap \overline{BC} = [N]\;$, $\;s\;$ contém a bissetriz do ângulo $\;\widehat{CAB}\;$ e $\;r \cap s = [X]\;$, então a medida do ângulo $\;\widehat{AXN}$, assinalado é:
a) 165°
b) 155°
c) 145°
d) 130°
e) 120° 
imagem do triângulo no plano alfa

 



resposta: alternativa B
×
(CESCEM - 1968) Uma urna contém 1 bola preta e 9 brancas. Uma segunda urna contém $\,x\,$ bolas pretas e as restantes brancas num total de 10 bolas. Um primeiro experimento consiste em retirar, ao acaso, uma bola de cada urna. Num segundo experimento, as bolas das duas urnas são reunidas e destas, duas bolas são retiradas ao acaso. O valor mínimo de $\,x\,$ a fim de que a probabilidade de saírem duas bolas pretas seja maior no segundo do que no primeiro experimento é:
a)
1
b)
2
c)
3
d)
4
e)
9

 



resposta: Alternativa C
×
Assinale a alternativa que não contém complemento nominal:
a)
Agiu contrariamente ás minhas ordens.
b)
O regresso à Pàtria é um sonho intangível.
c)
O amor ao próximo deve sobrepor-se aos conflitos humanos.
d)
Ofereci uma caipirinha ao bêbado.
e)
Sua resposta ao examinador provocou palmas.

 



resposta: Alternativa D
×
(ITA - 2004) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?
a)
210
b)
315
c)
410
d)
415
e)
521

 



resposta: (A)
×
(ITA - 2004) Sejam os pontos $\phantom{X} A: \; (2;\, 0)\, $, $\;B:\;(4;\, 0)\;$ e $\;P:\;(3;\, 5 + 2\sqrt{2})\,$.
a)
Determine a equação da cirunferência $\;C\;$, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ e é tangente ao eixo $\;y\;$.
b)
Determine as equações das retas tangentes à circunferência $\;C\;$ que passam pelo ponto $\;P\;$.

 



resposta:
Resolução:
circunferência no plano cartesiano
a)
Seja $\; O \; $ o centro da circunferência $\;C\;$ no primeiro quadrante. Na figura, $\;C\;$ passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$, tangenciando o eixo $\;y\;$.
$\;O\;$ possui coordenadas (3,m) e $\;\overline{OA}\;$ é raio da circunferência, portanto $\;\overline{OA}\;$ mede 3.
$\;(\overline{OA})^2 = (3 - 2)^2 + (m - 0)^2 \; \Rightarrow \;$ $\; \sqrt{1 + m^2} = 3 \;\Rightarrow \;$ $\; m^2 = 8 \; \Rightarrow \; m = 2\sqrt{2}$.
O ponto $\;\; O \;\;$, centro da circunferência $\;C\;$, tem coordenadas $\;(3, 2\sqrt{2})\;$, e
a equação da circunferência é $\;\boxed{\;(x - 3)^2 + (y - 2\sqrt{2})^2 = 9\;} $
b)
A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em $\;P\;$, e coeficiente angular $\;a\;$ : $\; y - (5 + 2\sqrt{2})\;=\;$ $\;a(x - 3) \; \Rightarrow \; ax - y + 5 + 2 \sqrt{2} - 3a = 0\;$. A reta vertical que contém $\;P(3,\;5 + 2\sqrt{2})\;$ corta a circunferência $\;C\;$ em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro $\;O (3;\; 2\sqrt{2})\;$ é igual a 3, ou seja:
$\;\dfrac{|3a\,-\,2\sqrt{2}\,+\,5\,+\,2\sqrt{2}\,-\,3a|}{\sqrt{a^2\,+\,1}}\,=\,3 \;\Rightarrow$ $\; \dfrac{5}{a^2\,+\,1}\,=\,3 \;\Rightarrow $ $\; a\;=\;\dfrac{4}{3}$ ou $\;a = -\, \dfrac{4}{3}$.
As equações das tangentes são:
$\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\,\dfrac{4}{3}(x\,-\,3)}\;$ e $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\, -\, \dfrac{4}{3}(x - 3)}\;$

×
(UnB - 1982) Na figura abaixo, é dado um cubo de $\,8\sqrt{3}$ cm de aresta, cuja base está sobre um plano $\;\pi_{1}\;$. O plano $\;\pi_{2}$ é paralelo à reta que contém a aresta $\;\;a\;\;$. Forma com $\;\pi_{1}$ um ângulo de $30^o$ e "corta" do cubo um prisma $\;C\;$ de base triangular cuja base é o triângulo $\;PQR\;$.
O segmento $\;PQ\;$ tem 5 cm de comprimento.
Determinar o volume do prisma $\;C\;$.

imagem cubo e planos concorrentes

 



resposta: V = $75\;cm^3$
×
Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².

 



resposta:
prisma triangular regular

Considerações:

Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo).

$\phantom{XX}\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large b} \longrightarrow & \\ h\;\longrightarrow\; & \\ A_{\mbox{base}} \longrightarrow & \\ \end{array} \right.\,$
aresta da base
altura do prisma$\; = a_{\large b}\,$
área da base, o triângulo equilátero
Resolução:
1. Sabemos que a área lateral é igual a $\;10 m^2\;$
A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura).
$\;A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 \centerdot a_{\large b} \centerdot h \;\;\Longrightarrow \;\; A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 (a_{\large b}) ^2\;\;$ então $\;\;\left(a_{\large b}\right)^2 \;=\; \dfrac{10}{3}$
2. Área da base:
(área do triângulo equilátero de lado $\;{\large \ell}\;$ em função da medida do lado do triângulo vale $\;\dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}\;$)
Então $\;A_{\mbox{base}} \;=\;\dfrac{\left(a_{\large b}\right)^2\sqrt{3}}{4}\;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10}{3}\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\;m^2\;\Longrightarrow$ $\; \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10\sqrt{3}}{12}\;m^2$
3. Área total:
$A_{\mbox{total}} \;=\;A_{\mbox{lateral}}\,+\,2\centerdot A_{\mbox{base}} \;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{total}}\;=\; 10\,+\,2 \centerdot \dfrac{10\sqrt{3}}{12}$
$\;\boxed{\;A_{total}\; = \;10(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{6})\;m^2\;}\;$

×
Assinale a alínea que contém cacografia:

a) finalizar legalizar sintetizar rivalizar
b) batizar ruborizar alcoolizar amenizar
c) aridez rapidez viuvez camponez
d) mudez corpanzil audaz feroz
e) pesquisar atrasada grisalho baronesa

 



resposta: C
×
(SANTA CASA) O triângulo ABC é tal que A é a origem do sistema de coordenadas, B e C estão no 1º quadrante e AB = BC . A reta s , que contém a altura do triângulo traçada por B , intercepta $\,\overline{AC}\,$ no ponto M . Sendo M (2 ; 1) e C (x ; y) , então x + y é igual a:
a)
3
b)
5
c)
6
d)
7
e)
9

 



resposta: alternativa C
×
(ITA - 1979) Um recipiente cilíndrico oco, sem a tampa superior, esteve exposto à chuva. Estime quantas gotas de chuva foram necessárias para encher a vigésima parte do volume total desse recipiente, sabendo-se que a área da base é $\phantom{X}3,14 \times 10^{-2}\;$m² e que a altura é $\phantom{X}1,00 \times 10^{-1}\;$m. Admita que as gotas são equivalentes às formadas na ponta de um conta-gotas comum. Tal estimativa é da ordem de
a)
$10\;\text{a}\;10^2\;$ gotas.
c)
$10^5\;\text{a}\;10^6\;$ gotas.
b)
$10^3\;\text{a}\;10^4\;$ gotas.
d)
$10^7\;\text{a}\;10^8\;$ gotas.
e)
$10^9\;$ gotas.

 



resposta: Resolução:
cilindro com gotas de chuva
O volume de água para preencher a vigésima parte do recipiente:
$\,V\,=\,{\large \frac{S\,\centerdot \,h}{20}}\,=\,{\large \frac{3,14 \, \centerdot \, 10^{-2}\, \centerdot\,1,00\, \centerdot \,10^{-1}}{20}}$
$\,V\,=\,1,57\centerdot 10^{-4}\,$m³
O volume de água em uma gota:
Vamos aceitar que 1 cm³ (1 ml) contém entre 10 a 20 gotas.
Volume da gota = $\,V_{gota}\, \simeq \, 10^{-1}\,$cm³
Então:
$n_{gotas}\,=\,{\large \frac{V}{V_{gotas}}}\,=\,\frac{1,56 \, \centerdot \, 10^{\large -4} \,\centerdot \,10^{\Large 6}}{10^{\Large -1}}$
$n_{gotas}\,=\,1,57\centerdot 10^{{\large 3}}\,$ gotas,
ou seja, a ordem de grandeza de $\,n_{gotas}\,$ é $\,10^{\Large 3}\,$ gotas
Resposta:
alternativa B
×
(MAUÁ) No binômio $\,\left( x^{\large 3}\,+\,\frac{1}{\Large y^2} \right)^{\Large 25}\,$, escreva o termo que contém $\,x^{\large 9}\,$, calculando o respectivo coeficiente.


 



resposta:

O termo geral(***) do binômio é dado pela fórmula:
$\phantom{X} T_{\large k\,+\,1}\;=\;\binom{n}{k}x^{\large n\,-\,k} y^{\large k}\phantom{X}$

O termo contém $\,x^9\,$ então $\,(x^3)^{\large n - k} = x^9\; \Rightarrow\;3(n\;-\;k)\;=\;9\;\Rightarrow $ $\;(n\;-\;k)\;=\;3\,$
O expoente da expressão é 25, então $\,n = 25\,$.
$\phantom{X}(\;25\;-\;k\;)\;=\;3\;\Rightarrow\;k\;=\;22\phantom{X}$
Vamos usar a fórmula(***) do termo geral dada acima:
$\phantom{X}T_{\large 22 + 1} = {\large \binom{25}{22}} \left( x^{\large 3} \right)^{\large 3} \left(\dfrac{\,1\,}{\;y^2\;}\right)^{\large 22}\phantom{X}$
$\phantom{X}{\large \binom{n}{k}} = \dfrac{n!}{(n-k)!(k)!}\phantom{X}$
$\phantom{X}{\large \binom{25}{22}}\;=\;\dfrac{25!}{(25-22)!(22)!}\phantom{X}\;\Rightarrow$ $\phantom{X} \dfrac{25\centerdot\,24\,\centerdot\,23\,\centerdot\,22!}{3!\,22!}\phantom{X}\,=$ $\phantom{X}\dfrac{25\centerdot\,24\,\centerdot\,23}{3\,\centerdot\,2\,\centerdot\,1}\phantom{X}\,=$ $\phantom{X}{25\centerdot\,4\,\centerdot\,23}\phantom{X}\,=\,2300\;$
$\phantom{X} T_{\large 23}\;=\;2300x^{\large 9} \dfrac{1}{y^{\large 44}}\phantom{X}$
×
(FUVEST - 2015) A equação $\phantom{X}x^2\,+\,2x\,+\,y^2\,+\,my\,=\,n\phantom{X}$, em que $\,m\,$ e $\,n\,$ são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta $\phantom{X}y\,=\,-x\,+\,1\phantom{X}$ contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto $\,(-3,\,4)\,$. Os valores de $\,m\,$ e $\,n\,$ são, respectivamente

a)
-4 e 3
b)
4 e 5
c)
-4 e 2
d)
-2 e 4
e)
2 e 3

 



resposta: alternativa A
×
Uma urna contém $\,m\,$ bolas numeradas de 1 ate $\,m\,$; $\phantom{X}r\;(r \leqslant m)\,$ bolas são extraídas sucessivamente. Qual o número de sequências de resultados possíveis se a extração for:
a) com reposição de cada bola após a extração,
b) sem reposição de cada bola após a extração.

 



resposta: a) $\,m^{\large r}\;$ b)$\;\dfrac{m!}{(m\,-\,r)!}\;$
×
Uma urna I contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna II contém 3 bolas numeradas de 1 a 3. Qual o número de sequências numéricas que podemos obter se extrairmos, sem reposição, 3 bolas da urna I e, em seguida, 2 bolas da urna II.

 



resposta: 360 sequências.
×
Quantos números formados por 3 algarismos distintos escolhidos entre 2, 4, 6, 8, 9 contém o 2 e não contém o 6? (Lembrar que o 2 pode ocupar a 1ª, 2ª ou a 3ª posição).

 



resposta: 18

×
Classifique as seguintes afirmativas como verdadeiras ou falsas:
a)
( )
por um ponto passam infinitas retas.
b)
( )
por dois pontos distintos passa uma reta.
c)
( )
uma reta contém dois pontos distintos.
d)
( )
dois pontos distintos determinam uma e uma só reta.
e)
( )
Pos três pontos dados passa uma só reta.

 



resposta:
a)
V
b)
V
c)
V
d)
V
e)
F

×
Assinale as orações que contém voz passiva:
a)
()
O livro é novo.
b)
()
Recebem-se donativos.
c)
()
Viajamos muito.
d)
()
A porta foi arrombada pelo ladrão.
e)
()
Fecharam o cofre com a chave.

 



resposta:
a)
(  )
O livro é novo.
b)
(X)
Recebem-se donativos.
c)
(  )
Viajamos muito.
d)
(X)
A porta foi arrombada pelo ladrão.
e)
(  )
Fecharam o cofre com a chave.

×
O triângulo retângulo $\,OAB\,$ gira em torno do cateto $\,OA\,$, determinando um sólido no espaço. O volume gerado pela região $\,OAM\,$ é igual ao gerado pela região $\,OMB\,$. Então a razão $\,\dfrac{AM}{AB}\,$ será:
a)
$\,\dfrac{1}{2}\,$
b)
$\,\dfrac{1}{3}\,$
c)
$\,\sqrt{2}\,$
d)
$\,2\sqrt{2}\,$
e)
$\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,$
triângulo retângulo OAB com segmento OM

 



resposta:
cone de revolução gerado pelo triângulos AOB
Considerações:

Uma região gerada por um triângulo retângulo girando uma volta completa em torno de um de seus catetos é um cone circular reto chamado de cone de revolução.

Observe atentamente a figura ao lado e verifique que:
1. o triângulo retângulo OAB gira em torno do cateto OA gerando o cone circular representado com superfície verde.
2. o triângulo retângulo OAM interno gira em torno do cateto OA gerando o cone circular interno representado na cor cinza.
A reta que contém o segmento OA é chamada eixo de ambos os cones.
Segundo o enunciado:
1. o volume do cone interno cinza gerado pelo triângulo OAM é o mesmo volume que o cone externo gerado pelo triângulo OAB subtraído o volume interno do cone gerado por OAM. Como na figura, o volume do cone externo verde subtraído o cone interno cinza é igual ao volume do cone interno cinza.
2. o examinador deseja a razão $\;\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\,$, que é a razão do cateto inferior de OAM sobre o cateto inferior de OAB: $\;\rightarrow\,\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\;=\;\dfrac{(a)}{(a\,+\,b)}$
Resolução:
Volume gerado pela região OAM é $\,\dfrac{\pi(a)^{\large 2}\centerdot H}{3}\,=\,\dfrac{\pi H(a)^{\large 2}}{3}\;\;$(I)
Volume gerado pela região OMB é :(volume do cone gerado OAB) subtraído (volume gerado por OAM): $\,\dfrac{\pi(\overline{AB})^{\large 2}\centerdot H}{3}\, - \,\dfrac{\pi(\overline{AM})^{\large 2}\centerdot H}{3}\phantom{X}=\phantom{X}$ $\,\dfrac{\pi}{3}\centerdot H \left( (\overline{AB})^{\large 2}\,-\,(\overline{AM})^{\large 2} \right)\;\;=\phantom{X}$ $\,\dfrac{\pi}{3}\centerdot H \left( (a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2} \right)\;\;$(II)
Conforme o enunciado, igualando (I) e (II) temos:
$\,\require{cancel} \cancel{\dfrac{\pi H}{3}}(a)^{\large 2}\, = \,\cancel{\dfrac{\pi H}{3}}\left( (a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2} \right)$
$\, (a)^{\large 2}\, = \,(a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2}$
$\, 2(a)^{\large 2}\, = \,(a + b)^{\large 2}\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}$
dividindo os dois lados da igualdade por $\,2(a\,+\,b)^{\large 2}$
$\dfrac{2(a)^{\large 2}}{2(a\,+\,b)^{\large 2}}\,=\,\dfrac{(a\,+\,b)^{\large 2}}{2(a\,+\,b)^{\large 2}}\,$ $\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}\dfrac{\cancel{2}(a)^{\large 2}}{\cancel{2}(a\,+\,b)^{\large 2}}\,=\,\dfrac{\cancel{(a\,+\,b)^{\large 2}}}{2\cancel{(a\,+\,b)^{\large 2}}}\,$ $\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}\left(\dfrac{a}{a + b}\right)^{\large 2}\,=\,\dfrac{1}{2}\,\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}$
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \dfrac{a}{a + b}\,=\,+\sqrt{\dfrac{1}{2}} \;\Rightarrow\;\boxed{\,\dfrac{a}{a + b}\,=\,+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,} & \; \\ \cancel{\,\dfrac{a}{a + b}\,=\,-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\,}\mbox{ (valor negativo)} \phantom{XX}\, & \\ \end{array} \right.\,$
Como trata-se de medida de comprimento e/ou distância, valores negativos não são considerados
A razão $\,\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\,$ é igual a $\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,$ que corresponde à
Alternativa E
×
(FEI - 1982) O sólido ao lado é composto de dois cubos de arestas 2 cm e 1 cm e centros M e N .
a) Achar a distância AB.
b) Achar a distância MN.
dois cubos sobrepostos de centros M e N e arestas 1 cm e 2 cm

 



resposta: $\;\overline{AB}\,=\,\sqrt{10}\,\mbox{cm}\;$ e $\;\overline{MN}\,=\,\dfrac{\sqrt{11}}{2}\,\mbox{cm}\;$
Considerações:
Observando-se a vista lateral do sólido, como na figura, o prolongamento da aresta lateral do cubo menor que contém o ponto A define o triângulo retângulo ACB, reto em C. Nesse triângulo aplicaremos o teorema de Pitágoras.
vista lateral do sólido formado por dois cubos de 1cm e 2cm de aresta
Resolução:
$\,\left.\begin{array}{rcr} \mbox{cateto menor } \phantom{X}\;\,\rightarrow\, & \;\;\overline{AC}\;\mbox{ = 1 cm }\; \\ \,\mbox{cateto maior }\phantom{XX} \rightarrow\, & \overline{BC}\;\mbox{ = 3 cm}\\ \mbox{teorema de Pitágoras}\, \rightarrow\, & (\overline{AB})^{\large 2}\,=\,(\overline{AC})^{\large 2}\,+\,(\overline{BC})^{\large 2}\; \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$
$\;\Rightarrow\;(\overline{AB})^{\large 2}\,=\,(1)^{\large 2}\,+\,(3)^{\large 2}\;\Leftrightarrow\;\boxed{\;\overline{AB}\,=\,\sqrt{10} \mbox{ cm}\;}$
Considerações:
Para calcular a distância $\;\overline{MN}\;$ consideraremos um plano que passe pelo centro de ambos os cubos e pelas diagonais das bases de ambos os cubos, gerando no sólido a secção representada no polígono azul da figura.
secção diagonal do sólido formado por dois cubos de 1cm e 2cm de aresta
Resolução:
Consideremos o triângulo NPM reto em P.
$\,\left.\begin{array}{rcr} \mbox{cateto menor } \phantom{X}\;\,\rightarrow\, & \;\;\overline{PM}\,=\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mbox{ cm }\; \\ \,\mbox{cateto maior }\phantom{XX} \rightarrow\, & \overline{NP}\,=\,\dfrac{3}{2}\mbox{ cm}\\ \mbox{teorema de Pitágoras}\, \rightarrow\, & (\overline{MN})^{\large 2}\,=\,(\overline{MP})^{\large 2}\,+\,(\overline{NP})^{\large 2}\; \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$
$\;\Rightarrow\;(\overline{MN})^{\large 2}\,=\,(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^{\large 2}\,+\,(\dfrac{3}{2})^{\large 2}\;\Leftrightarrow\;\boxed{\;\overline{MN}\,=\,\dfrac{\sqrt{11}}{2} \mbox{ cm}\;}$

×
Determine o volume do prisma quadrangular regular inscrito no cilindro equilátero da figura em função do raio da base do mesmo.
prisma quadrangular inscrito em um cilindro equilátero

 



resposta:
Resolução:
base do cilindro equilátero que contém um prisma quadrangular inscrito
1. calcular a aresta da base do prisma interno:

$\;\overline{AB}\;\rightarrow\;$ lado do quadrado inscrito

$\;\overline{AC}\;\rightarrow\;$ diagonal do quadrado e diâmetro $\;2R\;$

$\;AB\sqrt{2}\,=\,2R\;\Rightarrow\;$ $\;AB\,=\,\dfrac{2R}{\sqrt{2}}\centerdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\;\Rightarrow\;$ $\;\overline{AB}\,=\,R\sqrt{2}\;$
2. calcular a altura do prisma interno:
Dizer que o cilindro é equilátero significa que sua secção meridiana é um quadrado. Portanto a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base (2R).A altura do prisma é a mesma do cilindro (2R).
3. calcular o volume do prisma:
Volume = (Área da Base)×(altura)
$\;V\,=\,\left( R\sqrt{2}\right)^{\large 2}\centerdot 2R\;\Rightarrow\;$
$\;V\,=\,2R^{\large 2}\centerdot 2R\;=\;4R^{\large 3}\;$
Resposta: O volume do prisma em função do raio será
V = 4R³
×
(ITA - 1986) Um cilindro equilátero de raio 3 cm está inscrito num prisma triangular reto, cujas arestas da base estão em progressão aritmética de razão s , s > 0. Sabendo-se que a razão entre o volume do cilindro e do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$ podemos afirmar que a área lateral do prisma vale
a)
$\;144\,cm^2\;$
b)
$\;12\,\pi\,cm^2\;$
d)
$\;\dfrac{\pi}{5}\;$ da área lateral do cilindro
c)
$\;24\,cm^2\;$
e)
$\;\dfrac{5}{3}\;$ da área lateral do cilindro

 



resposta:
secção meridiana do cilindro

Considerações:

Eixo do cilindro é a reta que passa pelos centros das bases do cilindro.
Secção meridiana de um cilindro é a secção gerada por um plano que contém o eixo do cilindro.
Um cilindro é chamado reto quando o seu eixo é perpendicular aos planos das bases.
O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base.

A secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado.

prisma triangular regular com cilindro equilátero inscrito

Resolução:

1. Observando atentamente a figura, temos:
$\;A_{\mbox{base}}\;$
=
área da base do prisma triangular
$\;V_C\;$
=
o volume do cilindro
$\;\rightarrow\;V_C\;=\;\pi\centerdot R^{\large 2}\;=\;\pi\centerdot(3)^{\large 2}$
$\;V_P\;$
=
o volume do prisma triangular
$\;\rightarrow\;V_P\;=\,A_{\mbox{base}}\centerdot h\;=\;A_{\mbox{base}}\centerdot 6\;$
A razão entre o volume do cilindro e o volume do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$.
$\;\dfrac{V_C}{V_P}\,=\,\dfrac{\pi}{4}\;\Rightarrow\;\dfrac{\pi\centerdot 3^{\large 2}\centerdot 6}{6 \centerdot A_{\mbox{base}}}\;\Leftrightarrow\;A_{\mbox{base}}\,=\,36$
A base do cilindro é um círculo inscrito na base triangular do prisma. Então o centro do círculo é o incentro da base triangular.

A área de um triângulo é igual ao seu semiperímetro multiplicado pelo raio da circunferência inscrita

Perímetro da base
=
$\;p\;=\,(a\,-\,s)\,+\,a\,+\,(a\,+\,s)\;=\;3\centerdot a$
Semiperímetro da base
=
$\;\dfrac{p}{2}\;=\;\dfrac{3\centerdot a}{2}$
$\;A_{\mbox{base}}\; =\;$ semiperímetro $\times$ R
=
$\;\dfrac{3\centerdot a \centerdot 3}{2}\; =\;36\;\Rightarrow$ $\;a\;=\;8\;$
A área lateral do prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das três faces retangulares laterais:
Alateral = $\,6(a\,-\,s)\,+\,6(a)\,+\,6(a\,+\,s)\,$ $\,=\,6(a - s + a + a - s)\,=\,6(3a)\,=\,6\centerdot 3\centerdot 8\,= 144\;cm^2\;$
Alternativa A
×
(FUVEST) Um recipiente contém uma mistura de leite natural e de leite de soja num total de 200 litros, dos quais 25% são de leite natural. Qual a quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada a esta mistura para que venha a conter 20% de leite natural?

 



resposta: 50 litros
×
(PUC) Uma solução contém 10 g de KNO3 em 100 g de água a 0° C. Sabendo que o Cs (coeficiente de solubilidade) nessa temperatura é 13,3 g para 100 g de H2O, pode-se concluir que a solução é:
a)
saturada
b)
insaturada
c)
supersaturada
d)
instável
e)
colóide

 



resposta: (B)
×
Qual é a molalidade de uma solução que contém 9,8 g de ácido sulfúrico em 500 g de água? (PM do H2SO4 = 98)

 



resposta: 0,2 moles/kg
×
(CESGRANRIO) Um recipiente contém soluções aquosa de nitrato de zinco e de sódio, de molaridades iguais a 2 para cada sal.Os íons presentes no recipiente apresentam as seguintes concentrações, em ion-grama por litro:
Zn+2
NO3‾
Na+
a)
2
6
2
b)
2
6
1
c)
1
4
1
d)
1
4
2
e)
4
2
2

 



resposta: (A)
×
A normalidade de uma solução de nitrato de cálcio que contém 16,4 g de sal em dois litros de solução vale:
a)
0,1 eq. g/ℓ
b)
0,5 eq. g/ℓ
c)
0,01 eq. g/ℓ
d)
2 eq. g/ℓ
e)
0,001 eq. g/ℓ
(Dados Ca = 40; O = 16; N = 14)

 



resposta: (A)
×
(UFG) Qual é a molalidade de uma solução que contém 34,2 g de sacarose, C12H22O11 , dissolvidos em 200 g de água?
(Dados H = 1; O = 16; C = 12)
a)
0,1 molal
b)
0,005 molal
c)
0,5 molal
d)
1,2 molal
e)
0,0005 molal

 



resposta: (C)
×
(FUVEST) Solução de ácido clorídrico, de densidade 1,20 kg/ℓ , contém 40,0% , em massa, de HCℓ .
a)
Qual é a massa de água, em gramas, existente em 1,00 ℓ de solução do ácido, nessa concentração?
b)
Sabendo que o mol de HCℓ corresponde a 36,5 g, calcule, em apenas dois algarismos significativos, a molaridade da solução.

 



resposta: a) 720 g de H20 b) M = 13 molar
×
(FEI) O ácido nítrico comercial apresenta densidade igual a 1,409 g/cm3 e contém 69,3% em peso de HNO3 . Qual o valor da molaridade desse produto?

 



resposta: 15,5 molar
×
(FUVEST) Uma dada solução aquosa de hidróxido de sódio contém 24% em massa de NaOH. Sendo a densidade da solução 1,25 g/mℓ, sua concentração em g/ℓ será aproximadamente igual a:
a)
300
b)
240
c)
125
d)
80
e)
19

 



resposta: 300 g/ℓ
×
(FMU) Uma solução 1 molar contém 1 mol de soluto dissolvido em:
a)
um litro de solução;
b)
um litro de solvente;
c)
um quilo de solução;
d)
um quilo de solvente;
e)
22,4 litros do solvente.

 



resposta: (A)
×
(ITA) Sabe-se que uma solução só contém os seguintes íons:
0,10
moles/litro de K+ ;
0,16
moles/litro de Mg++ ;
0,16
moles/litro de Cℓ- e
x
moles/litro de SO4--
Este x deve ser igual a:
a)
0,10
b)
0,13
c)
0,26
d)
0,42
e)
0,52

 



resposta: (B)
×
(CARLOS CHAGAS) Sabe-se que uma solução de cloreto férrico em água contém 0,60 moles por litro de íons cloreto. A molaridade da solução em relação ao FeCℓ3 é:
a)
0,20 molar
b)
0,60 molar
c)
0,80 molar
d)
1,20 molar
e)
1,80 molar

 



resposta: (A)
×
O volume, em litros, de uma solução 1,0 × 10-4 molar de cloreto de cálcio que contém o número de Avogadro de cátions é:
a)
5,0 × 103
b)
1,0 × 104
c)
2,0 × 104
d)
6,0 × 1019
e)
6,0 × 1023

 



resposta: (B)
×
Qual a normalidade de uma solução de HCℓ que contém 0,73 gramas deste ácido dissolvidos em 100 mℓ de solução? P.A.(H = 1; Cℓ = 35,5).
a)
0,00002 normal
b)
0,0002 normal
c)
0,002 normal
d)
0,02 normal
e)
0,2 normal

 



resposta: (D)
×
Certa solução aquosa de amônia (NH3 contém 1,7 % em massa dessa substância. Quantos mililitros de solução aquosa 1 molar de HCℓ são necessários para a completa salificação de 100g dessa solução? Informação: massa molecular do NH3 = 17
a)
10 mℓ  
b)
100 mℓ
c)
200 mℓ
d)
500 mℓ
e)
1000 mℓ
 
 

 



resposta: (B)
×
(SANTA CASA) Pelos resultados obtidos na reação de um composto orgânico (X) com óxido de cobre foi possível montar a seguinte equação:
X + 45 CuO → 15 CO2 + 15 H2O + 45 Cu
Interpretando a equação, conclui-se que X contém átomos de carbono e hidrogênio na proporção de:
a)
1 : 1
b)
1 : 2
c)
1 : 15
d)
15 : 45
e)
30 : 45

 



resposta: (B)
×
Listar o espaço amostral dos experimentos seguintes:
a)
Uma urna contém bolas vermelhas (V), bolas brancas (B) e bolas azuis (A). Uma bola é extraída e observada a sua cor.
b)
Três pessoas A, B e C são colocadas em uma fila e observa-se a disposição das mesmas.
c)
Entre cinco pessoas A, B, C, D e E , apenas duas são escolhidas para realizar uma viagem. Observem-se os elementos que vão realizar a viagem.
d)
Uma urna contém 5 bolas vermelhas (V) e duas brancas (B). Duas bolas são extraídas sem reposição, e observadas suas cores, na sequência que foram extraídas.

 



resposta: a) Ω = {V, B, A} b) Ω = {(A,B,C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A)} c) Ω = {{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E}} d) Ω = {(V,V),(V,B),(B,V),(B,B)}
×
Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Uma bolinha é escolhida e observado seu número. Seja Ω = {1, 2, 3, ... , 29, 30} o espaço amostral do experimento. Descrever os seguintes eventos:
a)
o número obtido é par;
 
b)
o número obtido é ímpar;
 
c)
o número obtido é primo;
 
d)
o número obtido é maior que 16;
 
e)
o número obtido é múltiplo de 2 e de 5;
 
f)
o número obtido é múltiplo de 3 ou de 8;
 
g)
o número obtido não é múltiplo de 6.
 

 



resposta:
a)
{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30}
b)
{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,13,25,27,29}
c)
{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}
d)
{17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30}
e)
{10,20,30}
f)
{3,6,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30}
g)
Ω - {6, 12, 18, 24, 30}, sendo Ω o conjunto espaço amostral do experimento.

×
Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso da urna. Qual a probabilidade da bola escolhida ser:
a)
branca?
b)
vermelha?
c)
azul?

 



resposta: a) 3/10 b) 1/5 c) 1/2
×
Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 10 bolas amarelas. Uma bola é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade
a)
da bola não ser amarela?
b)
da bola ser branca ou preta?
c)
da bola não ser branca, nem amarela?

 



resposta: a) 4/9 b) 4/9 c) 1/3
×
Uma urna contém seis bolinhas numeradas de 1 a 6. Quatro bolinhas são extraídas ao acaso sucessivamente, com reposição. Qual a probabilidade de que todas assinalem números diferentes?

 



resposta: 5/18
×
Quantas placas de automóvel, ao todo, podem ser feitas se cada placa contém duas letras diferentes de um alfabeto de 26 letras, seguidas por quatro algarismos distintos do sistema decimal de numeração?
a)
5690    
b)
10676
c)
3276000
d)
5760000
e)
6760000

 



resposta: (C)
×
Uma urna contém apenas 10 bolas, numeradas de 0 a 9 . Retirando uma bola, ao acaso, qual é a probabilidade de obter o número 7 ?

 



resposta:
Resolução:
Eventos: A = {7}
Espaço amostral: S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
$\;P\;=\;\dfrac{\;n(A)\;}{n(S)}\,$
$\;P\,=\,\dfrac{\;1\;}{\;10\;}\,$
P = 10%
×
Uma urna contém apenas 10 bolas, sendo 3 brancas e 7 pretas. Retirando uma bola, ao acaso, qual é a probabilidade de obter bola branca ?

 



resposta:
Resolução:
Eventos: A = {b1, b2, b3}
Espaço amostral: S = {b1, b2, b3, p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7}
$\;P\;=\;\dfrac{\;n(A)\;}{n(S)}\,$
$\;P\,=\,\dfrac{\;3\;}{\;10\;}\,$
P = 30%
×
(MAUÁ) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11 . Retirando-se uma delas ao acaso, observa-se que a mesma traz um número ímpar. Determinar a probabilidade de que esse número seja menor que 5 .

 



resposta: a)P(A/B) = 1/3
×
Uma urna contém apenas 10 bolas, sendo 4 brancas e 6 pretas. Retirando uma bola, ao acaso, e em seguida retirando uma segunda bola, sem reposição da primeira, qual é a probabilidade de ocorrer uma branca em 1º lugar e uma preta em 2º lugar?

 



resposta: P = 4/15
×
Uma urna contém apenas 10 bolas, sendo 4 brancas e 6 pretas. Retirando uma bola, ao acaso, e em seguida retirando uma segunda bola, com reposição da primeira antes de retirar a segunda, qual é a probabilidade de ocorrer uma branca em 1º lugar e uma preta em 2º lugar?

 



resposta: P(A∩B) = P(A).P(B) = 0,24
×
Uma urna contém apenas 10 bolas, sendo 4 brancas e 6 pretas. Retirando uma bola, ao acaso, e em seguida retirando uma segunda bola, com reposição da primeira antes de retirar a segunda, qual é a probabilidade de ocorrer uma branca e uma preta ?

 



resposta: P(A).P(B) = 12/25
×
Uma urna contém 5 bolas apenas: uma azul, duas brancas e duas verdes. Retiram-se três bolas, ao acaso e sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. Calcular a probabilidade de obter:
a)
Três bolas brancas.
b)
Bola branca na primeira retirada, bola verde na segunda e azul na terceira.
c)
Bola azul na primeira retirada, bola branca na segunda e verde na terceira.
d)
Três bolas de cores diferentes.
e)
Bola branca só na primeira retirada.
f)
Bola branca só nas duas primeiras retiradas.
g)
Somente duas bolas brancas.

 



resposta: a) 8/125 b) 4/125 c) 4/125 d) 24/125 e) 18/125 f) 12/125 g) 36/125
×
(PUCC) Uma moeda está no fundo horizontal de um recipiente que contém líquido até uma altura H. Observando-se a moeda sob um ângulo de 60° com a vertical, sua imagem sofre uma elevação aparente (vertical) de 3 cm. O índice de refração do líquido em relação ao ar é $\,\sqrt{\;3\;}\,$. Determinar o valor da altura H.
a)
1,5 cm
b)
3,4 cm
c)
5,3 cm
d)
4,5 cm
e)
6,0 cm

 



resposta: (D)
diptro plano moeda no fundo de recipiente

×
Qual a área da superfície da esfera cuja secção meridiana tem 6 ℼ m² de área?

 



resposta:

Quando um plano α secciona uma esfera e contém o centro da mesma, a secção será denominada 'círculo máximo da esfera' (seu raio é o mesmo raio da esfera).

secção meridiana é a secção que passa pelo centro da esfera

Considerações:

O raio da secção meridiana tem medida igual à medida do raio da esfera.

Áreacírculo máximo = ℼ R² = 6 ℼ ⟺ R² = 6
Áreasuperf. esférica = 4 ℼ R² = 4 ℼ 6 = 24ℼ m²

Ssuperf. esférica = 24ℼ m²
×
A secção meridiana de uma esfera de raio R é equivalente a uma secção menor de uma segunda esfera, distante R do centro. Calcular o raio desta segunda esfera em função de R.

 



resposta:

Quando um plano α secciona uma esfera e não contém o centro da mesma, a secção determinada será um círculo cujo raio é menor do que o raio da esfera. Essa seção é denominada 'círculo menor esfera'.

esfere pequena com círculo máximo e esfera grande com círculo menor

Considerações:

No desenho, de acordo com o enunciado, a esfera maior apresenta uma secção plana que dista R do centro da esfera. O círculo menor determinado é equivalente ao círculo de raio R que encontramos na secção meridiana da esfera pequena.

Decorre do Teorema de Pitágoras:
$\,x^2\,=\,R^2\,+\,R^2\,$
$\,x\,=\,R\sqrt{\,2\,}\,$

O raio da segunda esfera é $\,R\sqrt{\,2\,}\,$
×
Veja exercÍcio sobre: teoria dos conjuntos