(CESCEM - 1977) Um subconjunto $\,\mathbb{X}\,$ de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de $\,\mathbb{X}\,$ é:
(MACKENZIE - 1969) Sendo $\,\mathbb{A}\,=\,\lbrace\,\lbrace\,1\,\rbrace , \,\lbrace\,2\,\rbrace,\,\lbrace\,1,\,2\,\rbrace\,\rbrace\,\;$ pode-se afirmar que
a) $\,\{1\}\,\notin \mathbb{A}\,$ b) $\,\{1\}\,\subset \mathbb{A}\,$ c) $\,\{1\}\,\cap\,\{2\}\,\not\subset \, \mathbb{A}\,$ d) $\,2\,\in \mathbb{A}\,$ e) $\,\{1\}\,\cup\,\{2\}\,\in \, \mathbb{A}\,$
Descreva através de uma propriedade característica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes: A={0,2,4,6,8,...} B={0,1,2,...9} C={Brasília, Rio de Janeiro, Salvador}
resposta: A={x | x é inteiro, par e não negativo} B={x | x é algarismo arábico} C={x | x é nome de cidade que já foi capital do Brasil}
(OSEC) Sendo $\;a$, $b\;$ e $\;c\;$ três números distintos tais que {$\;a\;$, $\;b$, $\;c\;$} $\in \mathbb{N^*}\;$, então, a expressão $\;(9a\,+\,6b\,-\,156)\centerdot 4a\;$ é sempre divisível por:
(FAAP) Sendo $\phantom{X}(\mu - a)\phantom{X}$ e $\phantom{X}(\mu + a)\phantom{X}$ dois números primos (isto é, são naturais maiores que $1$ e só divisíveis por eles mesmos e pela unidade), então, podemos afirmar que:
a)
$\mu ^2 - a^2\;$ é primo.
b)
$\mu\;$ e $\;a\;$ são primos.
c)
$\mu^2 + a^2\;$ é primo.
d)
$(2\mu)\;$ pode ser escrito como soma de 2 primos.
(ITA - 2004) Seja $\;\alpha\;$ um número real, com $\;0 < \alpha < 1\;$. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de $\;x\;$ tais que $\; \alpha^{\large 2x}\left( \dfrac{1}{\sqrt{\alpha}} \right)^{\large 2x^2} < 1$.
(ITA - 2004) Seja o conjunto $\phantom{X}\mathbb{S}\,=\, \lbrace\, r\, \in\, \mathbb{Q} \; : \; r\, \geqslant\, 0 \phantom{X}\mbox{e}\phantom{X} r^2 \leqslant 2 \rbrace\,$, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações:
I.
$\dfrac{5}{4}\; \in \; \mathbb{S}\phantom{X}$ e $\phantom{X}\dfrac{7}{5} \; \in \; \mathbb{S}$.
Considere os conjuntos: $\;S = \;\lbrace1,2,3,4,5\rbrace$ e $A =\;\lbrace2,4\rbrace$
Determine o conjunto $\;X\;$ de tal forma que as condições seguintes sejam ambas satisfeitas: (1) $\;X\;\cap\;A\;=\;\varnothing$(2)$\;X\;\cup\;A\;=\;S\;$
resposta:
Resolução: Como $\;X\cap A = \varnothing\;\;$ e $\;\;X \cup A = S\;$, então $X = \overline{A} = S - A = \sideset{}{_S^A}\complement \;\Rightarrow$ $\Rightarrow\;X = \lbrace 1;3;5\rbrace$
(PUCC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas:
PROGRAMAS
NÚMERO DE TELESPECTADORES
E
400
N
1220
H
1080
E e N
220
N e H
800
E e H
180
E, N e H
100
Através desses dados, verifica-se o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas:
(UFGO) Numa certa cidade são consumidos três produtos A, B e C, sendo: A→ um tipo de desodorante B→ um tipo de sabonete C→ um tipo de creme dental Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os dados da tabela abaixo:
Produto
Número de consumidores
A
120
B
180
C
250
A e B
40
A e C
50
B e C
60
A, B e C
30
Nenhum dos três
180
O conjunto das pessoas consultadas constitui uma amostra. Note-se que os três primeiros dados da tabela (120, 180 e 250) não representam os que consomem apenas A ou apenas B ou apenas C, e sim o número total de consumidores dos 3 produtos (isolados ou conjuntamente). Nessas condições, quantas pessoas foram consultadas?
(PUCRIO) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria 22% têm automóvel 8% têm casa própria e automóvel
Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?
(MACKENZIE - 1982) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A,21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é:
Para cada item de (a.) até (n.) a seguir há uma operação com conjuntos e um diagrama representando três conjuntos A, B e C. Indique em cada diagrama o resultado da operação indicada.
a. $A\;\cup\;B$
b. $\;A\;\cup\;C$
c. $\;B\;\cup\;C$
d. $\;A\;\cap\;B$
e. $\;A\;\cap\;C$
f. $\;B\;\cap\;C$
g. $\;(A\;\cup\;B)\;\cap\;C$
h. $\;A\;\cup\;(B\;\cap\;C)$
i. $\;A\;\cup\;B\;\cup\;C$
j. $\;A\;\cap\;B\;\cap\;C$
k. ${\large \sideset{}{_S^{(A \cup B)}}\complement }$
l. ${\large\sideset{}{_S^A}\complement\; \cup \; \sideset{}{_S^B}\complement}$
m. ${\large \sideset{}{_A^{(A \cap B)}}\complement}$
n. ${\large \sideset{}{_B^{(A \cap B)}}\complement}$
(PUC) Sabendo-se que $\,A\,$ e $\,B\,$ são subconjuntos de $\,U\,$, $ \;A\, \cap B \, = \, \lbrace c, d \rbrace\,$, $\;A\, \cup\, B \,=\, \lbrace a, b, c, d, e, f \rbrace\;$ e $\;\sideset{}{_U^A}\complement \, = \lbrace e, f, g, h, i \rbrace\,$, então:
a)
n(A) = 2 e n(B) = 4
b)
n(A) = 4 e n(B) = 2
c)
n(A) = 3 e n(B) = 3
d)
n(A) = 4 e n(B) = 4
e)
n(A) = 1 e n(B) = 5
Observação: n(X) significa "número de elementos do conjunto X".
(OBJETIVO - 1982) O número de conjuntos $\,X\,$ que satisfazem: $\;\;\;\;\lbrace\,1,2\,\rbrace\,\subset\,X\,\subset\,\lbrace\,1, 2, 3, 4\,\rbrace\,$ é:
(LONDRINA) Se $\,A\,=\,\lbrace\,1\,\rbrace\,$, $\,B\,=\,\lbrace 0; 1\,\rbrace\,$ e $\,E\,=\,\lbrace 0; 1; 2\,\rbrace\,$ então $\, \sideset{}{_E^{(A \cap B)}} \complement \,$ é o conjunto:
Dados $\,A\,=\,\lbrace \, 2, 3, 4 \,\rbrace\,$ e $\, B\,=\,\lbrace \, 3, 4, 5, 6\,\rbrace\,$, seja $\,f\,$ a Relação Binária de $\,A\,$ em $\,B\,$ tal que $\,f\,=\,\lbrace \, (x; y)\,\in \,A \times B \,\mid x\;$divide$\; y \,\rbrace\,$ Então:
(PUC) O número de elementos do conjunto $\,A\,$ é $\,2^m\,$ e o número de elementos do conjunto $\,B\,$ é $\,2^n\,$. Então, o número de elementos de $\,A\times B\,$ é:
(PUCC) São dados os conjuntos $\,A\,=\,\lbrace \, 3, 5, 6 \,\rbrace\,$ e $\,B\,=\,\lbrace \,4, 5, 9, 10, 12 \,\rbrace\,$ e a relação $\,R\,=\,\lbrace \,(x;y)\, \in \,A \times B\,\mid\,$ m.d.c$(x;y)\,=\,1 \,\rbrace\,$ O número de elementos da relação inversa de $\;R\;$ é:
(PUCC - 1982) Dados os conjuntos $A\,=\,\lbrace \,3,\, 4,\, 6 \,\rbrace\,$, $\;B\,=\,\lbrace \,1,\, 2\,\rbrace\,$ e $\,C\,=\,\lbrace \,3,\, 6,\, 9,\,12 \,\rbrace\,$, determine o conjunto $\,(C\,-\,A)\, \times\,B\,$.
(PUCC - 1982) Dados os conjuntos $\;A\,=\,\lbrace \,x\,\in\,\mathbb{R}\;\mid\;1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,3 \,\rbrace\;$ e $\;B\,=\,\lbrace \,x\,\in\,\mathbb{R}\;\mid\;-1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,1\,\rbrace\;$ represente, graficamente, o produto cartesiano $\,B\, \times\,A\,$.
Em relação ao gráfico a seguir que representa uma relação binária de $\,A\,$ em $\,B\,$, responda as questões:Se o gráfico representa ou não uma função de $\,A\,$ em $\,B\,$;Em caso afirmativo, determinar o DOMÍNIO, o CONTRADOMÍNIO e o CONJUNTO IMAGEM da mesma.
resposta: a) é função b) D(f) = [1;4] CD(f) = [1;3] $\,Im(f)\,=\,$ $\lbrace y \in \mathbb{R} \;\mid\; 1 \leqslant y < 2\,$ ou $\, y = 3 \rbrace$ ×
(UEMT) O domínio e o contradomínio de uma função $\,f\,$ são subconjuntos de $\,\mathbb{R}\,$. Sendo $\,f\,$ dada por $\,f(x)\,=\, {\large \dfrac{1}{\sqrt{x - x^2}}}\,$ o dominio de $\,f\,$ pode ser:
(VUNESP) Sejam $\;A\;$, $B$ e $C \;$ conjuntos de números reais. Sejam $\;f\,:\, A \rightarrow B \;$ e $\;g\,:\, B \rightarrow C \;$ definidas, respectivamente, por:
Se existe $\;f\,:\, A \rightarrow C \;$, definida por $\,h(x)\,=\,g{\large [f(x)]} \text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x \text{, }\,x \,\in\, \, A\;$, então:
Sendo $\,A\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,1\,\leqslant\,x\, < \,3\,\rbrace\;$ e $\;B\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,x\,\leqslant\,1 \; \text{ ou }\,x > 2\,\rbrace\;\,$, determinar:
a)
$\,A \cup B\,$
b)
$\,A \cap B\,$
c)
$\,A \,-\, B\,$
d)
$\,B \,-\, A\,$
e)
$\,\large{\overline{A}} \,$
Obs.: $\,\large{\overline{A}} \;$ é o complementar de A em relação a $\,\mathbb{R}\;$, ou $\;\overline{A} \,=\, \sideset{}{_A^\mathbb{R}}\complement \,$
resposta:
a)
$\boxed{\,A \cup B\,=\, \mathbb{R}\,}$
b)
$\boxed{\small\,A \cap B\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,x\,=\,1\;\text{ ou }\; 2 < x < 3\,\rbrace\,}$
(PUC) Seja $\;x\;$ elemento de $\;\mathbb{A}\;$. Se $\;x\,\notin \;]{\small -1};\,2]\,\text{, }\; x < 0\;$ ou $\; x \geqslant 3\,$, determine $\;\mathbb{A}\,$.
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}, calcular o número de funções injetoras de A em B.
resposta: Resolução: O número de funções injetoras de A em B é exatamente o $\,A_{\large 6,4}\,$, pois cada conjunto imagem é um "conjunto ordenado" de 4 elementos escolhidos entre os 6 elementos do conjunto B. Assim, o número total de funções injetoras de A em B é $\,A_{\large 6,4}\,=\,6\centerdot 5\centerdot 4\centerdot 3\,$, e portanto, 360. Resposta: O número de funções injetoras de A em B é 360. ×
A e B são conjuntos tais que #A = n e #B = r. Quantas funções f : A → B existem?
(CESGRANRIO - 1977) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele se possa apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, o número mínimo de peças (número de paletós mais número de calças) de que ele precisa é:
(FUVEST - 2018) Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiverm nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que:
I.
14 não obtiveram nota mínima em matemática;
II.
16 não obtiveram nota mínima em português;
III
12 não obtiveram nota mínima em inglês;
IV.
5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português;
V.
3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês;
VI.
7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e
VII.
2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês.
A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi
(FUVEST - 2018) Sejam $\,D_{\large f}\,$ e $\,D_{\large g}\,$ os maiores subconjuntos de $\,\mathbb{R}\,$ nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais
Dados os conjuntos $\;A\,=\,\lbrace\,2;\,4\,\rbrace\;$ e $\;B\,=\,\lbrace\,1;\,3;\,5\,\rbrace\;$ construa a relação binária $\;f\;$ de A em B , tal que $\phantom{X}f\;=\;\lbrace\,(x; y)\, \in \, A\,\times\,B\;|\;x\,>\,y\,\rbrace\phantom{X}$
(OSEC) No produto cartesiano $\;\mathbb{R}\times\mathbb{R}\;$, os pares ordenados $\;(3x\,+\,y\,;\,1)\;$ e $\;(7\,;\,2x\,-\,3y)\;$ são iguais. Os valores de x e y são respectivamente:
(MAPOFEI - 1970) Pelo ponto $\,P\,$ de coordenadas cartesianas ortogonais $\,(\operatorname{cos}\beta\,$; $\,\operatorname{sen}\alpha)\phantom{X}$, com $\,(0\,\leqslant\,\alpha\,<\,\beta\,\leqslant\,\dfrac{\pi}{2})\,$ passam duas retas $\,r\,$ e $\,s\,$ paralelas aos eixos coordenados (ver figura)
a)
Determinar as coordenadas das intersecções de $\,r\,$ e $\,s\,$ com a circunferência $\,x^2\,+\,y^2\,=\,1\,$.
b)
Determinar a equação da reta $\,\overleftrightarrow{PM}\,$, onde $\,M\,$ é o ponto médio do segmento $\,\overline{AB}\,$.
c)
Demonstrar analiticamente que as retas $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ são perpendiculares.
resposta: a) $\,A(cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,B(cos\beta\,;\,sen\beta)\,$ $\,C(-cos\alpha\,;\,sen\alpha)\,$, $\,D(cos\beta\,;\,-sen\beta)\,$ b) $\,cos\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,x\,-\,sen\dfrac{\alpha\,+\,\beta}{2}\,\centerdot\,y\,-\,cos\dfrac{\beta\,-\,\alpha}{2}\,\centerdot\,cos(\beta\,+\,\alpha)\,=\,0\,$ c) basta provar que o produto dos coeficientes angulares de $\,\overleftrightarrow{CD}\,$ e $\,\overleftrightarrow{PM}\,$ é igual a -1.
Solução de (I) $\,x^2\,-\,3x\,>\,0\;\Rightarrow\;x(x\,-\,3)\,>\,0\;\Longleftrightarrow\;x\,<\,0\,$ ou $\,x\,>\,3\,$ O gráfico de $\;f(x)\,=\,x^2\,-\,3x\;$ é uma parábola como na figura:
Temos então do gráfico que a solução de (I) é $\;S_1\,=\,\left\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\;|\;x\,<\,0\;\mbox{ou}\;x\,>\,3\,\right\}\,$
Solução de (II) Como o gráfico $\,f(x)\,=\,x^2\,-\,x\,-\,1\,$ é uma parábola do tipo:
então: $\,x^2\,-\,x\,-1\,\geqslant\,0\;\Longleftrightarrow\;x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,\geqslant\,\dfrac{1\,+\,\sqrt{5}}{2}\;\,$ e temos o conjunto temporário da situação (II) $\;S_2\,=\,\left\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\;|\;x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,\geqslant\,\dfrac{1\,+\,\sqrt{5}}{2}\,\right\}\;$
Solução da questão (Conjunto Verdade) A solução é o conjunto Verdade, a intersecção dos dois conjuntos $\,S_1\,$ e $\,S_2\,$ $\;V\,=\,S_1\,\cap\,S_2\,=\,\left\{\,x\,\in\,\mathbb{R}\;|\;x\,\leqslant\,\dfrac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}\;\mbox{ou}\;x\,>\,3\,\right\}\;$ conforme o diagrama abaixo:
Sendo dado um conjunto $\,\mathbb{A}\,$ com n elementos indiquemos por $\,a\,$ o número de subconjuntos de $\,\mathbb{A}\,$. Seja $\,\mathbb{B}\,$ o conjunto que se obtém acrescentando um novo elemento a $\,\mathbb{A}\,$ e indiquemos por $\,b\,$ o número de subconjuntos de $\,\mathbb{B}\,$. Qual a relação que liga $\,a\,$ e $\,b\,$?
Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A?
resposta:
Considerações:
Se A possui k elementos, então A possui 2k subconjuntos.
Resolução: Seja k o número de elementos do conjunto A. n(A) = k ⇒ n[P(A)] = 2k, ou seja, A possui 2k subconjuntos. Portanto: $\;2^{\large k}\,=\,1024\;\Rightarrow\;2^{\large k}\,=\,2^{\large 10}\;\Rightarrow\;k\,=\,10\;$
Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A = {2, 4} Determine o conjunto X de tal forma que: $\,\left\{\begin{array}{rcr} X\,\cap\,A\,=\varnothing\;& e \\ X\,\cup\,A\,=\,S\;& \\ \end{array} \right.\,$
resposta:
Resolução: Como $\,X\,\cap\,A\,=\,\varnothing\,$ e $\,X\,\cup\,A\,=\,S\,$ então $\,X\,=\,\overline{\,A\,}\,=\,S\,-\,A\,=\,\sideset{}{_S^A}\complement \,\Rightarrow$
Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número de elmentos de A ∩ (B ∪ C)sabendo-se que: a) A ∩ B tem 26 elementos b) A ∩ C tem 10 elementos c) A ∩ B ∩ C tem 7 elementos
resposta:
Resolução: Observe a figura onde está representado A ∩ (B ∪ C). 1)n(A ∩ B ∩ C) = b ⇒ b = 7 2)n(A ∩ B) = b + c ⇒ b + c = 26 ⇒ c = 19 pois b = 7 3)n(A ∩ C) = a + b ⇒ a + b = 10 ⇒ a = 3 pois b = 7 Então n[A ∩ (B ∪ C)] = a + b + c = 3 + 7 + 19 = 29
Numa escola existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se: a) Quantas crianças existem na escola? b) Quantas crianças ou são meninas ou são ruivas?
resposta:
a) Existem 70 crianças na escola b) 57 crianças são meninas ou são ruivos. ×
Dado o conjunto { a, b, c, d, e, f, g }o número máximo de subconjuntos distintos é:
(CESCEM - 1977) Sendo $\;A\,=\,\lbrace\,\varnothing;\,a;\,\lbrace\,b\,\rbrace\, \rbrace\;$, com $\,\lbrace\,b\,\rbrace\,\neq\,a\,\neq\,b\,\neq\varnothing\,$, então:
Sendo o conjunto $\phantom{X}E\,=\,\lbrace 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6 \rbrace\phantom{X}$, $\phantom{X}\sideset{}{_E^A}\complement\;=\;\lbrace 2,\,3,\,5\rbrace \phantom{X}$, $\phantom{X}\sideset{}{_E^B}\complement\;=\;\lbrace 1,\,3,\,5,\,6\rbrace \phantom{X}$ determine:
a)
os elementos do conjunto A
b)
os elementos do conjunto B
c)
os elementos de (A ∩ B)
resposta: a) A = {1,4,6}b) B = {2,4}b) (A ∩ B) = {4} ×
(SANTA CASA) O conjunto verdade da equação $\phantom{X}\dfrac{\;6^{\large x\,-\,1}\,+\,6^{\large x\,-\,2}\;}{\;6^{\large 1\,-\,x}\,+\,6^{\large 2\,-\,x}\;}\,=\,1\phantom{X}$ é um subconjuntos de:
(PUC - 1977) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio $\phantom{X}P(x)\,=\,mx^2\,+\,2(m\,-\,2)x\,+\,m^2\phantom{X}$ é negativo quando x = 1 ?
A e B são dois subconjuntos de $\;{\rm I\!R}\;$ e os gráficos abaixo representam relações binárias de A em B . Qual dos gráficos representa uma função de A em B ?
(FGV - 1977) Dados os conjuntos $\phantom{X}A = \lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\gt\,6\,\rbrace\,\phantom{X}$ e $\phantom{X}B = \lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,x\,\lt\,3\,\rbrace\,\phantom{X}$, qual a sentença correta?
