(CESCEM - 1977) Um subconjunto $\,\mathbb{X}\,$ de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de $\,\mathbb{X}\,$ é:
(MACKENZIE - 1969) Sendo $\,\mathbb{A}\,=\,\lbrace\,\lbrace\,1\,\rbrace , \,\lbrace\,2\,\rbrace,\,\lbrace\,1,\,2\,\rbrace\,\rbrace\,\;$ pode-se afirmar que
a) $\,\{1\}\,\notin \mathbb{A}\,$ b) $\,\{1\}\,\subset \mathbb{A}\,$ c) $\,\{1\}\,\cap\,\{2\}\,\not\subset \, \mathbb{A}\,$ d) $\,2\,\in \mathbb{A}\,$ e) $\,\{1\}\,\cup\,\{2\}\,\in \, \mathbb{A}\,$
Descreva através de uma propriedade característica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes: A={0,2,4,6,8,...} B={0,1,2,...9} C={Brasília, Rio de Janeiro, Salvador}
resposta: A={x | x é inteiro, par e não negativo} B={x | x é algarismo arábico} C={x | x é nome de cidade que já foi capital do Brasil}
Escreva com símbolos: a) conjunto dos múltiplos inteiros de 5, entre -20 e + 20. b) conjunto dos divisores inteiros de 32. c) conjunto dos múltiplos inteiros de 0. d) conjunto das frações com numerador inteiro não negativo menor que 4 e denominador igual a 7. e) conjunto das capitais de estados da Região Sul.
(FEI-1968) Seja V o conjunto dos números reais que são solução da equação irracional $\; \sqrt{2x} - \sqrt{7 + x} = 1\;$ a) $V = \{2,18\}$ b) $V=\{2\}$ c) $V=\{18\}$ d) $V=\varnothing$ e) nenhuma das anteriores
(EPUSP - 1968) Se o conjunto dos pontos que satisfazem a equação $\;x^2 + y^2 + 2axy = 0\;$ é a reunião de duas retas, então: a) $a = 0$ b) $0 < |a| <1$ c) $|a|=1$ d) $|a|>1$ e) nenhuma das anteriores
(OSEC) Sendo $\;a$, $b\;$ e $\;c\;$ três números distintos tais que {$\;a\;$, $\;b$, $\;c\;$} $\in \mathbb{N^*}\;$, então, a expressão $\;(9a\,+\,6b\,-\,156)\centerdot 4a\;$ é sempre divisível por:
(FAAP) Sendo $\phantom{X}(\mu - a)\phantom{X}$ e $\phantom{X}(\mu + a)\phantom{X}$ dois números primos (isto é, são naturais maiores que $1$ e só divisíveis por eles mesmos e pela unidade), então, podemos afirmar que:
a)
$\mu ^2 - a^2\;$ é primo.
b)
$\mu\;$ e $\;a\;$ são primos.
c)
$\mu^2 + a^2\;$ é primo.
d)
$(2\mu)\;$ pode ser escrito como soma de 2 primos.
(ITA - 2004) Seja $\;\alpha\;$ um número real, com $\;0 < \alpha < 1\;$. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de $\;x\;$ tais que $\; \alpha^{\large 2x}\left( \dfrac{1}{\sqrt{\alpha}} \right)^{\large 2x^2} < 1$.
(ITA - 2004) Seja o conjunto $\phantom{X}\mathbb{S}\,=\, \lbrace\, r\, \in\, \mathbb{Q} \; : \; r\, \geqslant\, 0 \phantom{X}\mbox{e}\phantom{X} r^2 \leqslant 2 \rbrace\,$, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações:
I.
$\dfrac{5}{4}\; \in \; \mathbb{S}\phantom{X}$ e $\phantom{X}\dfrac{7}{5} \; \in \; \mathbb{S}$.
(ITA - 2004) O conjunto de todos os valores de $\;\alpha\;$, $\;\alpha \; \in \; \Bigl] - \frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\Bigr[\phantom{X}$, tais que as soluções da equação (em $x$)
Considere os conjuntos: $\;S = \;\lbrace1,2,3,4,5\rbrace$ e $A =\;\lbrace2,4\rbrace$
Determine o conjunto $\;X\;$ de tal forma que as condições seguintes sejam ambas satisfeitas: (1) $\;X\;\cap\;A\;=\;\varnothing$(2)$\;X\;\cup\;A\;=\;S\;$
resposta:
Resolução: Como $\;X\cap A = \varnothing\;\;$ e $\;\;X \cup A = S\;$, então $X = \overline{A} = S - A = \sideset{}{_S^A}\complement \;\Rightarrow$ $\Rightarrow\;X = \lbrace 1;3;5\rbrace$
(PUCC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas:
PROGRAMAS
NÚMERO DE TELESPECTADORES
E
400
N
1220
H
1080
E e N
220
N e H
800
E e H
180
E, N e H
100
Através desses dados, verifica-se o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas:
(UFGO) Numa certa cidade são consumidos três produtos A, B e C, sendo: A→ um tipo de desodorante B→ um tipo de sabonete C→ um tipo de creme dental Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os dados da tabela abaixo:
Produto
Número de consumidores
A
120
B
180
C
250
A e B
40
A e C
50
B e C
60
A, B e C
30
Nenhum dos três
180
O conjunto das pessoas consultadas constitui uma amostra. Note-se que os três primeiros dados da tabela (120, 180 e 250) não representam os que consomem apenas A ou apenas B ou apenas C, e sim o número total de consumidores dos 3 produtos (isolados ou conjuntamente). Nessas condições, quantas pessoas foram consultadas?
(PUCRIO) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria 22% têm automóvel 8% têm casa própria e automóvel
Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?
(MACKENZIE - 1982) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A,21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é:
Para cada item de (a.) até (n.) a seguir há uma operação com conjuntos e um diagrama representando três conjuntos A, B e C. Indique em cada diagrama o resultado da operação indicada.
a. $A\;\cup\;B$
b. $\;A\;\cup\;C$
c. $\;B\;\cup\;C$
d. $\;A\;\cap\;B$
e. $\;A\;\cap\;C$
f. $\;B\;\cap\;C$
g. $\;(A\;\cup\;B)\;\cap\;C$
h. $\;A\;\cup\;(B\;\cap\;C)$
i. $\;A\;\cup\;B\;\cup\;C$
j. $\;A\;\cap\;B\;\cap\;C$
k. ${\large \sideset{}{_S^{(A \cup B)}}\complement }$
l. ${\large\sideset{}{_S^A}\complement\; \cup \; \sideset{}{_S^B}\complement}$
m. ${\large \sideset{}{_A^{(A \cap B)}}\complement}$
n. ${\large \sideset{}{_B^{(A \cap B)}}\complement}$
(PUC) Sabendo-se que $\,A\,$ e $\,B\,$ são subconjuntos de $\,U\,$, $ \;A\, \cap B \, = \, \lbrace c, d \rbrace\,$, $\;A\, \cup\, B \,=\, \lbrace a, b, c, d, e, f \rbrace\;$ e $\;\sideset{}{_U^A}\complement \, = \lbrace e, f, g, h, i \rbrace\,$, então:
a)
n(A) = 2 e n(B) = 4
b)
n(A) = 4 e n(B) = 2
c)
n(A) = 3 e n(B) = 3
d)
n(A) = 4 e n(B) = 4
e)
n(A) = 1 e n(B) = 5
Observação: n(X) significa "número de elementos do conjunto X".
(OBJETIVO - 1982) O número de conjuntos $\,X\,$ que satisfazem: $\;\;\;\;\lbrace\,1,2\,\rbrace\,\subset\,X\,\subset\,\lbrace\,1, 2, 3, 4\,\rbrace\,$ é:
(LONDRINA) Se $\,A\,=\,\lbrace\,1\,\rbrace\,$, $\,B\,=\,\lbrace 0; 1\,\rbrace\,$ e $\,E\,=\,\lbrace 0; 1; 2\,\rbrace\,$ então $\, \sideset{}{_E^{(A \cap B)}} \complement \,$ é o conjunto:
Dados $\,A\,=\,\lbrace \, 2, 3, 4 \,\rbrace\,$ e $\, B\,=\,\lbrace \, 3, 4, 5, 6\,\rbrace\,$, seja $\,f\,$ a Relação Binária de $\,A\,$ em $\,B\,$ tal que $\,f\,=\,\lbrace \, (x; y)\,\in \,A \times B \,\mid x\;$divide$\; y \,\rbrace\,$ Então:
(PUC) O número de elementos do conjunto $\,A\,$ é $\,2^m\,$ e o número de elementos do conjunto $\,B\,$ é $\,2^n\,$. Então, o número de elementos de $\,A\times B\,$ é:
(PUCC) São dados os conjuntos $\,A\,=\,\lbrace \, 3, 5, 6 \,\rbrace\,$ e $\,B\,=\,\lbrace \,4, 5, 9, 10, 12 \,\rbrace\,$ e a relação $\,R\,=\,\lbrace \,(x;y)\, \in \,A \times B\,\mid\,$ m.d.c$(x;y)\,=\,1 \,\rbrace\,$ O número de elementos da relação inversa de $\;R\;$ é:
Com base nas definições, resolver a equação: $(x,\, y)\centerdot(1, \,2) \, + \, (2,\, 3)\,=\,(4, \, 5)$
resposta: $\,x\,=\,\frac{6}{5}\,$ e $\,y\,=\,- \frac{2}{5}$ ou $(\frac{6}{5};-\frac{2}{5})$ ×
Se $\,A\,$ é um conjunto tal que $\,n(A \times A)\,=\,9\;$ e que $\,\lbrace \, (2;4), (4;5)\,\rbrace\, \subset \,A \times A\,$, determinar $\,A \times A\,$.
(PUCC) Sejam $\,M\,=\,\lbrace \,x\in \mathbb{R}\;\mid\; 0 \, \leqslant \, x \, \leqslant 5 \,\rbrace\,$ e $\,P\,=\,\lbrace \,x\in \mathbb{R}\;\mid\; 3 \, \leqslant \, x \, \leqslant 7 \,\rbrace\,$. O conjunto $\,(M\,-\,P)\,\times\,(P\,-\,M)\,$ é representado pela região:
(PUCC - 1982) Dados os conjuntos $A\,=\,\lbrace \,3,\, 4,\, 6 \,\rbrace\,$, $\;B\,=\,\lbrace \,1,\, 2\,\rbrace\,$ e $\,C\,=\,\lbrace \,3,\, 6,\, 9,\,12 \,\rbrace\,$, determine o conjunto $\,(C\,-\,A)\, \times\,B\,$.
(PUCC - 1982) Dados os conjuntos $\;A\,=\,\lbrace \,x\,\in\,\mathbb{R}\;\mid\;1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,3 \,\rbrace\;$ e $\;B\,=\,\lbrace \,x\,\in\,\mathbb{R}\;\mid\;-1\,\leqslant\,x\,\leqslant\,1\,\rbrace\;$ represente, graficamente, o produto cartesiano $\,B\, \times\,A\,$.
Em relação ao gráfico a seguir que representa uma relação binária de $\,A\,$ em $\,B\,$, responda as questões:Se o gráfico representa ou não uma função de $\,A\,$ em $\,B\,$;Em caso afirmativo, determinar o DOMÍNIO, o CONTRADOMÍNIO e o CONJUNTO IMAGEM da mesma.
resposta: a) é função b) D(f) = [1;4] CD(f) = [1;3] $\,Im(f)\,=\,$ $\lbrace y \in \mathbb{R} \;\mid\; 1 \leqslant y < 2\,$ ou $\, y = 3 \rbrace$ ×
(OSEC) Seja $\,f\,$ a função tal que $\,f(x)\,=$ $\,x^3\,-\,8\,+\,(x^2\,+\,2x\,+\,4) \centerdot (2\,-\,x)\,$ O conjunto de todas as soluções da equação $\,f(x)\,=\,0\,$ é:
(UEMT) O domínio e o contradomínio de uma função $\,f\,$ são subconjuntos de $\,\mathbb{R}\,$. Sendo $\,f\,$ dada por $\,f(x)\,=\, {\large \dfrac{1}{\sqrt{x - x^2}}}\,$ o dominio de $\,f\,$ pode ser:
(PUC) Seja $\,D\,=\,\lbrace \, 1, \,2, \,3, \,4, \,5 \,\rbrace\,$, e $\,f\,:\, D \rightarrow \mathbb{R}\;$ a função definida por $\,f(x)\,=\,(x\,-\,2)\centerdot(x\,-\,4)\,$. Então:
a)
$f\,$ é sobrejetora
b)
$f\,$ é injetora
c)
$f\,$ é bijetora
d)
O conjunto imagem de $\,f\,$ possui 3 elementos somente
(VUNESP) Sejam $\;A\;$, $B$ e $C \;$ conjuntos de números reais. Sejam $\;f\,:\, A \rightarrow B \;$ e $\;g\,:\, B \rightarrow C \;$ definidas, respectivamente, por:
Se existe $\;f\,:\, A \rightarrow C \;$, definida por $\,h(x)\,=\,g{\large [f(x)]} \text{, }\vee \negthickspace \negthickspace \negthickspace \negthinspace - x \text{, }\,x \,\in\, \, A\;$, então:
Sendo $\,A\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,1\,\leqslant\,x\, < \,3\,\rbrace\;$ e $\;B\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,x\,\leqslant\,1 \; \text{ ou }\,x > 2\,\rbrace\;\,$, determinar:
a)
$\,A \cup B\,$
b)
$\,A \cap B\,$
c)
$\,A \,-\, B\,$
d)
$\,B \,-\, A\,$
e)
$\,\large{\overline{A}} \,$
Obs.: $\,\large{\overline{A}} \;$ é o complementar de A em relação a $\,\mathbb{R}\;$, ou $\;\overline{A} \,=\, \sideset{}{_A^\mathbb{R}}\complement \,$
resposta:
a)
$\boxed{\,A \cup B\,=\, \mathbb{R}\,}$
b)
$\boxed{\small\,A \cap B\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,x\,=\,1\;\text{ ou }\; 2 < x < 3\,\rbrace\,}$
(MACKENZIE) Uma funcão $\,f\,$ é definida em $\,A\,$ e tem imagem em $\,B\,$. Sabe-se que o conjunto $\,A\,$ tem 2K - 2 elementos e o conjunto $\,B\,$ tem K + 3 elementos. Se $\,f\,$ é injetora, então:
Determine o vértice e o conjunto imagem da função $\;f\;\text{ de }\,\mathbb{R}\,\text{ em } \,\mathbb{R}\;$ definida por $\;f(x)\,=\,2x^2 \,-\,12x\,+\,10\;$.
resposta: Vértice: $\,V\,=\,(3;\,-8)\;$ Conjunto Imagem: $\;Im(f)\,=\,[-8;\,+\infty[ \;$ ou $\;Im(f)\,=\,\lbrace \,y\in \mathbb{R} \mid \; y \geqslant -8 \,\rbrace$ ×
(MAUÁ) Determinar a equação da parábola que tem seu eixo paralelo ao eixo $\;y\;$, tangencia o eixo $\;x\;$ no ponto $\;V(-1,\,0)\;$ e corta o eixo $\;y\;$ no ponto $\;P(0;\,1)\;$.
Seja $\;f\,:\, {\rm I\!R} \rightarrow {\rm I\!R} \;$ uma função polinomial do 4° grau cujo gráfico é:
Determinar o conjunto verdade de:
a)
f(x) = 0
b)
f(x) > 0
c)
f(x) < 0
resposta: Resolução: a) O conjunto verdade para f(x) = 0 é o conjunto de valores para os quais y = 0. Observando o gráfico, y = 0 quando x é igual a -3 , 1 e 4. Portanto se $\,f(x)\,=\,0\,$ o conjunto verdade é $\,V\,=\,\lbrace -3,\,1,\,4 \rbrace\,$. b) O conjunto verdade de f(x) > 0 é o conjunto de todos os valores de x que correspondem a um y positivo e diferente de zero, a saber x < -3, x > 1 e x < 4 , e finalmente x >4. Então $\,V\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,x < -3 \; \text{ ou } \; x > 1\;\text{ e }\; x\,\neq\,4\,\rbrace\,$. c) O conjunto verdade de f(x) < 0 é o conjunto de valores para os quais y < 0, ou seja, verificando no gráfico, x é maior que -3 e menor que 1. $\,V\,=\,\lbrace x\,\in\,\mathbb{R} \mid \,-3 < x < 1\,\rbrace\,$. ×
(PUC) Seja $\;x\;$ elemento de $\;\mathbb{A}\;$. Se $\;x\,\notin \;]{\small -1};\,2]\,\text{, }\; x < 0\;$ ou $\; x \geqslant 3\,$, determine $\;\mathbb{A}\,$.
(UFGO - 1982) Se possível, determine em $\,\mathbb{R}\,$ o conjunto solução da inequação $\,(x^2\,-\,2x\,-\,15)\centerdot (-x^2\,-\,2)\centerdot (1\,-\,x^2)\, \leqslant\,0$
(FAAP) Seja $\phantom{X} f\,:\,[-3\,;\,0] \rightarrow \mathbb{R}\phantom{X}$ a função tal que $\phantom{X} f(x)\,=\,(x\,+\,1)(x\,+\,3) \phantom{X}$. O conjunto imagem de $\;f\;$ é:
O conjunto dos valores de $\phantom{X} x \phantom{X}$ em $\phantom{X}\mathbb{R^*} \phantom{X}$ tais que $\phantom{X} (f\circ g)(x)\,=\,(h\circ f)(x) \phantom{X}$, é subconjunto de:
Resolver a equação $\,{\large \binom{x\,+\,2}{4}}\,=\,11\centerdot{\large \binom{x}{2}} \,$
resposta: resposta:
Resolução:
a)
Se $\,\binom{x\,+\,2}{4}\,=\,11\binom{x}{2}\,=\,0\,$, então
$\,\left\{\begin{array}{rcr} 0\, \leqslant \,x\,+\,2\lt \,4& \\ 0\,\leqslant\,x\,\lt\,2\phantom{XX} & \\ \end{array}\right.\,$
então, concluímos que x = 0 ou x = 1
b)
Se $\,\binom{x\,+\,2}{4}\,=\,11\binom{x}{2}\,\neq\,0\,$, então:
$\,\large{\frac{(x\,+\,2)!}{4!\,(x\,-\,2)!}}\;=\;\large{\frac{11\centerdot x!}{2!\,(x\,-\,2)!}}\;\Longleftrightarrow\;\large{\frac{(x\,+\,2)(x\,+\,1)\,x\,(x\,-\,1)}{4\,\centerdot \,3\,\centerdot \,2}}\,=\,\large{\frac{11\centerdot x \centerdot (x\,-\,1)}{2}}\; \Longleftrightarrow\,$
$\,\Longleftrightarrow\; (x\,+\,2)\centerdot (x\,+\,1)\;=\; 132\;\Longleftrightarrow\; x^2\,+\,3x\,-\,130\,=\,0\;\Longleftrightarrow\; x\,=\,10\;$ ou $\;x\,=\,-13\,$
c)
De (a) e (b) concluímos que o conjunto verdade da equação é $\,V\;=\;\{\,0;\,1;\,10\;\}\,$
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}, calcular o número de funções injetoras de A em B.
resposta: Resolução: O número de funções injetoras de A em B é exatamente o $\,A_{\large 6,4}\,$, pois cada conjunto imagem é um "conjunto ordenado" de 4 elementos escolhidos entre os 6 elementos do conjunto B. Assim, o número total de funções injetoras de A em B é $\,A_{\large 6,4}\,=\,6\centerdot 5\centerdot 4\centerdot 3\,$, e portanto, 360. Resposta: O número de funções injetoras de A em B é 360. ×
(ITA - 1990) Considere as equações $\;{\large z^3}\,=\,i\phantom{X}\mbox{, e }\phantom{X}{\large z^2}\,+\,(2\,+\,1)z\,+\,2i\,=\,0\;$ onde $\,z\,$ é complexo. Seja $\,S_1\,$ o conjunto das raízes da primeira equação e $\,S_2\,$ o da segunda. Então:
a)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ é vazio.
d)
$\phantom{X}S_1\,\cap\,S_2\phantom{X}$ é unitário.
(ITA - 1990) O conjunto de soluções reais da equação $\phantom{X}|\,\ell n ( \operatorname{sen^2}x)\,|\,=\,\ell n (\operatorname{sen^2}x)\phantom{X}$ é dado por:
Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis: a) se a escolha for feita com reposição? b) se a escolha for feita sem reposição?
resposta:
Resolução:
a)
Seja $\,A\,$ o conjunto das cartas do baralho. Temos #A = 52. Cada escolha consta de uma sequência do tipo $\phantom{XX}(a_{\large 1},\,a_{\large 2},\,a_{\large 3},\,a_{\large 4},\,a_{\large 5})\,$ onde $\,a_{\large 1}\,\in\,A,\,a_{\large 2}\,\in\,A,\,a_{\large 3}\,\in\,A,\,a_{\large 4}\,\in\,A,\,a_{\large 5}\,\in\,A\;$ (pois a escolha foi feita com reposição. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é:$\,\underbrace{52\,\centerdot\,52\,\centerdot\,\centerdot\,52\,\centerdot\,52\,\centerdot\,52}_{\Large 5\;vezes} \, = 52^{\large 5}$
b)
Se a escolha é feita sem reposição então cada sequência $\;(a_{\large 1},\,a_{\large 2},\,a_{\large 3},\,a_{\large 4},\,a_{\large 5})\,$ é tal que cada elemento pertence a $\;A\;$ e são todos elementos distintos. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é $\,\underbrace{52\,\centerdot\,51\,\centerdot\,\centerdot\,50\,\centerdot\,49\,\centerdot\,48}_{\Large 5\;fatores} \, = 311875200\;$
Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?
resposta: 72 maneiras.
Resolução: Cada maneira das pessoas sentarem corresponde a um par ordenado de números distintos escolhidos no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Veja os exemplos:
(2, 6)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 2} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 6} \\ \end{array}\right. \;$
(6, 2)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 6} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 2} \\ \end{array}\right. \;$
(3, 4)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 3} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 4} \\ \end{array}\right. \;$
1. O total de pares ordenados é igual a $\;A_{\Large 10,2}\,=\,10\,\centerdot\,9\,=\,90\;$ 2. Dever ser excluídos os pares ordenados cujos elementos sejam números consecutivos. São eles:
(ITA - 1972) Sejam $\,A\,$ um conjunto finito com $\,m\,$ elementos e $\,I_{\Large n}\,=\,\lbrace\,1, 2, ... , n\,\rbrace\,$. O número de todas as funções definidas em $\,I_{\Large n}\,$ com valores em $\,A\,$ é:
(CESGRANRIO - 1977) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele se possa apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, o número mínimo de peças (número de paletós mais número de calças) de que ele precisa é:
Resolva a equação $\,A_{\large n,4}\,=\,12 \centerdot \,A_{\large n,2}\,$
resposta: S = {6} Resolução: A equação só tem solução para $\,n\,\geqslant \, 4\,$ $\phantom{X}n(n\,-\,1)(n\,-\,2)(n\,-\,3)\,=\,12 \centerdot n \centerdot (n\,-\,1)\phantom{X}$ Sabendo-se que $\,n(n\,-\,1)\,\neq\,0\,$ temos então que: $\phantom{X}(n\,-\,2)(n\,-\,3)\,=\,12\phantom{X}$ $\phantom{X}n^{\large 2}\,-\,5n\,+\,6\,=\,12\phantom{X}$ $\phantom{X}n^{\large 2}\,-\,5n\,-\,6\,=\,0\;\Rightarrow \; n_1\,=\,6;\;n_2\,=\,-1\phantom{X}$(solução não pode ser negativa) O conjunto solução é {6}.
(FUVEST - 2018) Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiverm nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que:
I.
14 não obtiveram nota mínima em matemática;
II.
16 não obtiveram nota mínima em português;
III
12 não obtiveram nota mínima em inglês;
IV.
5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português;
V.
3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês;
VI.
7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e
VII.
2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês.
A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi
(FUVEST - 2018) Sejam $\,D_{\large f}\,$ e $\,D_{\large g}\,$ os maiores subconjuntos de $\,\mathbb{R}\,$ nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais
Dados os conjuntos $\;A\,=\,\lbrace\,2;\,4\,\rbrace\;$ e $\;B\,=\,\lbrace\,1;\,3;\,5\,\rbrace\;$ construa a relação binária $\;f\;$ de A em B , tal que $\phantom{X}f\;=\;\lbrace\,(x; y)\, \in \, A\,\times\,B\;|\;x\,>\,y\,\rbrace\phantom{X}$
(OSEC) No produto cartesiano $\;\mathbb{R}\times\mathbb{R}\;$, os pares ordenados $\;(3x\,+\,y\,;\,1)\;$ e $\;(7\,;\,2x\,-\,3y)\;$ são iguais. Os valores de x e y são respectivamente:
