(ITA - 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm , é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm³ , é igual a

$\;\pi R^3$

$\;\pi \sqrt{2} R^3$

$\; \dfrac{\pi}{\sqrt{2}}R^3$

$\;\pi \sqrt{3} R^3$

$\;\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}R^3$

resposta: Alternativa E
×

(ITA - 1977) Considere um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência de raio $\,R\,$ tal que a projeção de um dos catetos sobre a hipotenusa vale $\, \dfrac{R}{m}\phantom{X} (m \geqslant 1)\,$. Considere a esfera gerada pela rotação desta circunferência em torno de um de seus diâmetros. O volume da parte desta esfera, que não pertence ao sólido gerado pela rotação do triângulo em torno da hipotenusa, é dado por:

$\, \dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left(\dfrac{m\,-\,1}{m}\right)^{\large 2}\phantom{XXXXXXXX}$

$\, \dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left(1\,-\,\left( \dfrac{m\,+\,1}{m}\right)^{\large 2}\right)\,$

$\, \dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left( \dfrac{m\,+\,1}{m}\right)^{\large 2}\;\phantom{XXXXXXX}$

$\,\dfrac{2}{3} \pi R^{\large3} \left(1 \,+\,\left( \dfrac{m\,-\,1}{m}\right)^{\large 2}\right)\,$

nenhuma das alternativas anteriores

resposta: Alternativa D
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Numa festa de aniversário, o vinho foi servido em taças de cristal de forma cônica conforme a figura. A abertura das taças é de 4 cm de raio interno, com profundidade de $\,8\sqrt{2}\,$cm. A pérola do colar de uma das convidadas da festa deslocou-se e foi cair dentro de uma taça. Se a pérola tem formato esférico de 1 cm de raio, qual a menor distância, em centímetros, da pérola em relação ao fundo da taça?

resposta:

Na figura, a pérola de colar esférica de centro O e raio 1 cm encalhada no fundo da taça com formato de cone — raio da base do cone $\;\overline{AB}\,=\,4\,$cm e altura do cone $\;h \,=\,8\sqrt{2}\,$cm. Foi traçada a altura do cone, o segmento $\;\overline{AC}\;$.

Se a esfera está apoiada sobre a face lateral do cone, então a aresta $\;\overline{BC}\;$ é tangente à esfera no ponto $\;P\;$ e o raio $\;\overline{OP}\;$ é perpendicular a $\;\overline{BC}\;$.

Consideremos o ângulo $\;\alpha\;$ no triângulo $\;ABC\;$ reto em $\;\hat{A}\;$.

$\phantom{X}\operatorname{tg}\alpha\,=\,\dfrac{\mbox{cateto oposto}\,\overline{AB}}{\mbox{cateto adjacente}\,\overline{AC}}\,=$ $\,\dfrac{4}{8\sqrt{2}}\phantom{X}(I)$

Consideremos o mesmo ângulo $\;\alpha\;$ no triângulo $\;POC\;$ reto em $\;\hat{P}\;$.

$\phantom{X}\operatorname{tg}\alpha\,=\,\dfrac{\mbox{cateto oposto}\,\overline{OP}}{\mbox{cateto adjacente}\,\overline{PC}}\,=$ $\,\dfrac{\mbox{raio da esfera }\overline{OP}}{\overline{PC}}\,=\,\dfrac{1}{\overline{PC}}\phantom{X}(II)$

De (I) e (II) decorre que:

$\phantom{X}\dfrac{1}{\overline{PC}}\,=\,\dfrac{4}{8\sqrt{2}}\,$ $\;\Rightarrow\;\overline{PC}\,=\,\dfrac{8\sqrt{2}}{4}\;$ $\Rightarrow\;\overline{PC}\,=\,2\sqrt{2}\,$

Recorrendo ao Teorema de Pitágoras no triângulo $\;POC\;$:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{cateto}\;\overline{PC}\,=\,2\sqrt{2}\;& \\ \mbox{cateto}\;\overline{OP}\,=\,1\longrightarrow & \mbox{(raio da esfera)}\\ \mbox{hipotenusa}\, \overline{OC}\,=\,d\,+\,1 & \\ \end{array} \right.\,$

$\,(d\,+\,1)^2\,=\,1^2\,+\,(2\sqrt{2})^2\;\Rightarrow\;d\,+\,1\,=\,\sqrt{9}\,$ $\Rightarrow\;d\,=\,3\,-\,1\;\Rightarrow\;\boxed{\,d\,=\,2\,}\,$, que corresponde à

Alternativa C
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Calcular o volume de um cone circular reto, cujo diâmetro da base mede 24 cm e o perímetro de sua secção meridiana é 50 cm .

resposta:

Considerações:
O cone é circular quando a sua base é um círculo.

O cone é reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base.

A secção meridiana do cone reto é a secção feita por um plano
que passa pelo eixo do cone.

seccão meridiana do cone circular reto de eixo OV

Resolução:

Observe na figura ao lado que o perímetro da secção meridiana é: 2g + 2R

$\,2g\,+\,24\,=\,50\;\Rightarrow\;g\,=\,13\mbox{ cm} \,$

$\,\left.\begin{array}{rcr} \mbox{geratriz}\,\longrightarrow\,& g\,=\,13\mbox{ cm} \\ \mbox{T. Pitágoras}\,\rightarrow\,& g^{\large 2}\,=\,H^{\large 2}\,+\,R^{\large 2} \\ \mbox{raio da base}\,\longrightarrow\,& R\,=\,12\mbox{ cm} \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow$

$\,13^{\large 2}\,=\,H^{\large 2}\,+\,12^{\large 2}\;\Rightarrow$ $\,\boxed{\,H\,=\,5\mbox{ cm} \,}$

O volume de um cone é um terço da área da base do cone multiplicada pela altura do cone

$\mbox{Volume}\,=\,\dfrac{\mbox{(área da base)}\centerdot\mbox{(altura)}}{3}\,\Rightarrow\;$ $\,V\,=\,\dfrac{\pi\centerdot\,R^{\large 2}\centerdot H}{3}\,=$ $\,\dfrac{\pi\centerdot\,12^{\large 2}\centerdot 5}{3}\,$

$\;\boxed{\,V\,=\,240\pi\,cm^3\,}$

O volume do cone circular reto é 240π cm³
×

O triângulo retângulo $\,OAB\,$ gira em torno do cateto $\,OA\,$, determinando um sólido no espaço. O volume gerado pela região $\,OAM\,$ é igual ao gerado pela região $\,OMB\,$. Então a razão $\,\dfrac{AM}{AB}\,$ será:

$\,\dfrac{1}{2}\,$

$\,\dfrac{1}{3}\,$

$\,\sqrt{2}\,$

$\,2\sqrt{2}\,$

$\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,$

resposta:

cone de revolução gerado pelo triângulos AOB

Considerações:

Uma região gerada por um triângulo retângulo girando uma volta completa em torno de um de seus catetos é um cone circular reto chamado de cone de revolução.

Observe atentamente a figura ao lado e verifique que:
1. o triângulo retângulo OAB gira em torno do cateto OA gerando o cone circular representado com superfície verde.
2. o triângulo retângulo OAM interno gira em torno do cateto OA gerando o cone circular interno representado na cor cinza.
A reta que contém o segmento OA é chamada eixo de ambos os cones.

Segundo o enunciado:
1. o volume do cone interno cinza gerado pelo triângulo OAM é o mesmo volume que o cone externo gerado pelo triângulo OAB subtraído o volume interno do cone gerado por OAM. Como na figura, o volume do cone externo verde subtraído o cone interno cinza é igual ao volume do cone interno cinza.
2. o examinador deseja a razão $\;\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\,$, que é a razão do cateto inferior de OAM sobre o cateto inferior de OAB: $\;\rightarrow\,\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\;=\;\dfrac{(a)}{(a\,+\,b)}$
Resolução:

Volume gerado pela região OAM é $\,\dfrac{\pi(a)^{\large 2}\centerdot H}{3}\,=\,\dfrac{\pi H(a)^{\large 2}}{3}\;\;$(I)
Volume gerado pela região OMB é :(volume do cone gerado OAB) subtraído (volume gerado por OAM): $\,\dfrac{\pi(\overline{AB})^{\large 2}\centerdot H}{3}\, - \,\dfrac{\pi(\overline{AM})^{\large 2}\centerdot H}{3}\phantom{X}=\phantom{X}$ $\,\dfrac{\pi}{3}\centerdot H \left( (\overline{AB})^{\large 2}\,-\,(\overline{AM})^{\large 2} \right)\;\;=\phantom{X}$ $\,\dfrac{\pi}{3}\centerdot H \left( (a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2} \right)\;\;$(II)

Conforme o enunciado, igualando (I) e (II) temos:
$\,\require{cancel} \cancel{\dfrac{\pi H}{3}}(a)^{\large 2}\, = \,\cancel{\dfrac{\pi H}{3}}\left( (a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2} \right)$

$\, (a)^{\large 2}\, = \,(a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2}$

$\, 2(a)^{\large 2}\, = \,(a + b)^{\large 2}\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}$

dividindo os dois lados da igualdade por $\,2(a\,+\,b)^{\large 2}$

$\dfrac{2(a)^{\large 2}}{2(a\,+\,b)^{\large 2}}\,=\,\dfrac{(a\,+\,b)^{\large 2}}{2(a\,+\,b)^{\large 2}}\,$ $\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}\dfrac{\cancel{2}(a)^{\large 2}}{\cancel{2}(a\,+\,b)^{\large 2}}\,=\,\dfrac{\cancel{(a\,+\,b)^{\large 2}}}{2\cancel{(a\,+\,b)^{\large 2}}}\,$ $\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}\left(\dfrac{a}{a + b}\right)^{\large 2}\,=\,\dfrac{1}{2}\,\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}$

$\,\left\{\begin{array}{rcr} \dfrac{a}{a + b}\,=\,+\sqrt{\dfrac{1}{2}} \;\Rightarrow\;\boxed{\,\dfrac{a}{a + b}\,=\,+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,} & \; \\ \cancel{\,\dfrac{a}{a + b}\,=\,-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\,}\mbox{ (valor negativo)} \phantom{XX}\, & \\ \end{array} \right.\,$

Como trata-se de medida de comprimento e/ou distância, valores negativos não são considerados

A razão $\,\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\,$ é igual a $\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,$ que corresponde à

Alternativa E
×

Qual a altura do cone reto de base circular com raio da base igual a $\;\sqrt{3}\,$ cm e geratriz 5 cm ?

resposta:

Considerações:

Geratriz do cone é qualquer segmento lateral do cone que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra extremidade no perímetro da base do cone.

cone de geratriz 5cm e altura raiz de 3 cm

Resolução:

$\,\left.\begin{array}{rcr} \mbox{geratriz }\phantom{XX}\rightarrow\, & \;\mbox{ g = 5 cm }\; \\ \,\mbox{raio da base}\;\, \rightarrow\, & R\,=\,\sqrt{3}\\ \mbox{T. Pitágoras}\, \rightarrow\, & g^2\,=\,H^2\,+\,R^2\; \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$

$\;\Rightarrow\;5^2\,=\,H^2\,+\,(\sqrt{3})^2\;\Leftrightarrow\;H\,=\,\sqrt{22} \mbox{ cm}$

a altura do cone reto é $\,H\,=\,\sqrt{22}\,$ cm
×

Calcule a área total e o volume de um cone reto de 3 cm de altura e $\,6\pi\,$ cm² de área lateral.

resposta: A_Total = 9 cm² e V = 3π cm³
×

A geratriz de um cone circular reto mede 10 cm e a altura 8 cm . Determine o raio da base.

resposta:

cone indicados geratriz, altura e raio da base

Geratriz do cone é qualquer segmento de reta lateral com uma extremidade no vértice do cone e outra extremidade no perímetro da base do cone.

Como o cone é circular reto, a figura hachurada é um triângulo retângulo onde os catetos são, respectivamente, a altura do cone (8 cm) e o raio da base do cone (r).
A hipotenusa é a geratriz do cone.
$\,G^2\;=\;h^2\;+\;r^2\;\Rightarrow\;$ $\,10^2\,=\,8^2\,+\,r^2\;\Rightarrow\;$ $\,r^2\,=\,100\,-\,64\;\Rightarrow\;$ $r\;=\;6\,cm$

O raio da base mede 6 cm
×

A altura de um cone circular reto é h . A geratriz está inclinada em relação ao plano da base de um ângulo de 60°. Determine o raio da base.

resposta:

cone com geratriz formando 60 graus com o plano da base

Observe na figura que (sendo um cone circular reto) a geratriz é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a altura e o raio da base.

Considerando-se que a tangente de 60° é igual a $\,\sqrt{\,3\;}\,$ temos:

$\,\operatorname{tg}60^o\,=\,\dfrac{{\text cateto}\;{\text oposto}}{{\text cateto}\;{\text adjacente}}\,=\,\dfrac{\,h\,}{\,r\,}\,\Rightarrow$

$\,\dfrac{\;h\;}{\;r\;}\,=\,\sqrt{\,3\;}\;\Rightarrow\;r\,=\,\dfrac{\;h\;}{\;\sqrt{\,3\;}\;}\,=$ $\,\dfrac{h\sqrt{3}}{3}\,$

O raio da base mede $\,r\,=\,\dfrac{h\sqrt{3}}{3}\,$
×

O raio da base de um cone circular reto é R . Sabendo-se que sua secção meridiana é um triângulo equilátero, determine a área desta secção.

resposta: $A_{\large SM}\,=\,R^{\large 2}\,\sqrt{3}\,$
×

Sabendo que a área da base de um cone circular reto mede $\;16\pi\,cm^2\;$ e sua geratriz $\;5\,cm\;$, determine a altura do cone.

resposta:

cone circular reto com área da base 16 pi cm²

Sendo o cone circular, sua base é um círculo.
Podemos calcular o raio da base:
$\,\require{cancel} S_{\text base}\,=\,\pi\,r^2\,=\,16\,\pi\;\Rightarrow$ $\,r^2\,=\,\dfrac{\,16\,\cancel{\pi}\,}{\cancel{\pi}}\,$
$\,\boxed{\;r = 4\;}\,$
Considerando-se o triângulo retângulo de catetos h e r com hipotenusa 5 cm, temos:
(geratriz)² = (raio)² + (altura)²
$\,4^2\,+\,h^2\,=\,5^2\,\;\Rightarrow$ $\,h^2\,=\,25\,-\,16\;\Rightarrow$ $\,h\,=\,3\,$cm

A altura mede 3 cm
×

O raio da base de um cone circular reto mede 4 cm . Sabendo que a área da secção meridiana é igual a 24 cm² , determine a geratriz do cone.

resposta: $\,g\,=\,2\sqrt{13}\,cm\,$
×

O ângulo do vértice da secção meridiana de um cone circular reto mede 60° e a área desta secção mede $\;4\sqrt{3}\,cm^2\;$. Determine o raio da base e a altura do cone.

resposta: $\,R\,=\,2\,cm\;$ e $\;H\,=\,2\sqrt{3}\,cm\;$
×

A altura de um cone circular reto mede 8 cm e sua geratriz 10 cm . Determine a área total do cone.

resposta: $\,A_{\large total}\,=\,96\pi\,cm^2\;$
×

A área lateral de um cone equilátero é $\;6\pi\,$cm². Determine a altura do cone

resposta: h = 3 cm
×

Determine a área total de um cone equilátero em função da altura.

resposta: A_total = π h²
×

Determine a área total e o volume de um cone equilátero em função da geratriz.

resposta: $\,S_T\,=\,\dfrac{3\pi g^{\large 2}}{4}\;$ e $\;V\,=\,\dfrac{\pi g^{\large 3}\,\sqrt{3}}{24}\;$
×

(MAUÁ) Seja um cone circular reto, tal que uma secção pelo seu eixo resulte num triângulo equilátero de lado 2a . Calcule a área total da superfície do cone.

resposta: A_total = 3π a²
×

O raio da base de um cone circular reto é R e a altura h . Determine sua área lateral.

resposta: A_lateral$\,=\,\pi R \sqrt{R^{\large 2}\,+\,h^{\large 2}}\;$
×

A área da secção meridiana de um cone circular reto mede $\;36\sqrt{3}\,m^{\large 2}\;$ e a geratriz $\;12\,m\;$. Determine o volume do cone.

resposta: V_cone$\,=\, 72 \pi \sqrt{3}\;m^{\large 3}\;$ ou V_cone$\;=\,216\pi\;m^{\large 3}\;$
×

A área da base de um cone circular reto é $\;16 \pi\; $m² e a área da superfície lateral $\;20 \pi\;$m². Determine o volume do cone

resposta: V_cone$\,=\, 16 \pi \;m^{\large 3}\;$
×

A área lateral de um cone circular reto é igual a $\;15\pi\;$m² e sua área total $\;24\pi\;$m². Determine o volume do cone.

resposta: V_cone$\,=\, 12 \pi \;m^{\large 3}\;$
×

Determine o volume de um cone circular reto, sabendo que a geratriz mede $5$ cm e o comprimento da circunferência da base $6\pi$ cm .

resposta: V_cone$\,=\, 12 \pi \;cm^{\large 3}\;$
×

Determine a área da secção meridiana de um cone circular reto, sabendo que seu volume é $\;128\pi\;m^3\;$ e que seu raio mede $\;8\;m\;$.

resposta: A_SM = 48 m²
×

Determine a razão entre a área total e a área lateral de um cone equilátero.

resposta: 3/2
×

Determine a razão entre a área lateral e a área da secção meridiana de um cone equilátero.

resposta: $\;\dfrac{A_L}{A_{SM}}\,=\,\dfrac{2\pi\sqrt{3}}{3}\;$
×

(FEI) Um cone circular tem raio 2 m e altura 4 m . Qual a área da secção transversal, feita por um plano distante 1 m de seu vértice?

resposta: $\;\dfrac{\pi}{4}\;m^{\large 2}\;$
×

Sabendo que um cone circular reto tem altura 24 cm e raio da base 8 cm , determine a que distância do vértice ele deve ser interceptado por um plano paralelo ao plano da base de forma que que a área da secção obtida seja $\;25 \pi\;$cm² .

resposta: 15 cm
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O volume de um cilindro circular reto é 640π cm³ e a altura é 10 m . Calcular o volume do cone circular reto, cuja base é equivalente à do cilindro e a geratriz igual à do cilindro.

resposta: V = 128π m²
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A área lateral de um cone de revolução é o dobro da área da base. Calcule o volume do cone, sabendo que ele é equivalente a um cilindro de 1 m de altura e que tem por base um círculo de raio igual à altura do cone.

resposta: V = 81π m³
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A base de um triângulo isósceles mede 6 m e os lados côngruos medem 5 m cada. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de um ângulo de 40° desse triângulo em torno de um de seus lados côngruos.

resposta: $\;V\,=\,\dfrac{64\pi}{15}\;m^{\large 3}\;$
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Calcular a altura de um cilindro circular reto inscrito num cone circular reto de raio 9 cm e geratriz 16 cm , de modo que a área lateral do cone que está acima do cilindro seja igual à área da coroa circular determinada pelas bases do cilindro e do cone.

resposta: $\;h\,=\,2\sqrt{7}\;cm\;$
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(FEI) Um triângulo retângulo de catetos b e c , com b > c , quando gira em torno desses lados gera dois sólidos de volumes V_b e V_c , respectivamente. Determine qual o maior volume, justificando a resposta.

resposta: V_b < V_c
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(FAU) Calcule a área total e o volume de um cone equilátero sabendo que a área lateral é igual a 24π cm² .

resposta: A_total = 36π cm² e V = 24π cm³
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(SÃO CARLOS) Dois cones de mesma base têm alturas iguais a 18 cm e 6 cm , respectivamente. A razão de seus volumes é:

resposta: Alternativa E
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(MACKENZIE) Na fórmula $\;V\,=\,\dfrac{\pi\,r^{\large2}h}{3}\;$, se r for reduzido à metade e h for aumentado até seu dobro, então V :

se reduz à metade

permanece o mesmo

se reduz à quarta parte

dobra o valor

quadruplica de valor

resposta: Alternativa A
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(ENE) Na base de um cone, cujo volume é igual a $\;144\,\pi\;$ m³ , está inscrito um hexágono regular de área $\;54\sqrt{3}\;$m² . A área total desse cone é:

$\;(\sqrt{5}\,+\,1)\pi\;$m²

$\;36\sqrt{5}\,\pi\;$m²

$\;36\pi(\sqrt{5}\,+\,1)\;$m²

$\;36\pi(\sqrt{5}\,-\,1)\;$m²

$\;36\pi(1\,-\,\sqrt{5})\;$m²

resposta: Alternativa C
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(MAUÁ) Um cone circular reto de altura h = 3 tem área lateral igual a $\;6\,\pi\;$m³. Determinar o ângulo que a geratriz g faz com a reta suporte da altura h .

resposta: 30°
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(PUC) A medida dos lados de um triângulo equilátero $\;ABC\;$ é $\;a\;$ . O triângulo $\;ABC\;$ gira em torno de uma reta $\;r\;$ do plano do triângulo, paralela ao lado $\;\overline{BC}\;$ e passando pelo vértice $\;A\;$. O volume do sólido gerado por esse triângulo vale:

$\;\dfrac{\pi\,a^{\large 3}}{3}\;$

$\;\dfrac{\,\pi\,a^{\large 3}}{2}\;$

$\;\pi\,a^{\large 3}\;$

$\;\dfrac{3\,\pi\,a^{\large 3}}{2}\;$

$\;\dfrac{\pi\,a^{\large 3}}{5}\;$

resposta: Alternativa B
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A altura e o raio de um cone de revolução têm, respectivamente, 12 cm e 9 cm . O ângulo do setor resultante da planificação do cone é de:

114°

216°

144°

96°

108°

resposta: Alternativa B
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