Lista de exercícios do ensino médio para impressão
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Na figura, calcule "$\;x\;$" em função de $\;a\;$.
combinação de triângulos retângulos

 



resposta: Resolução:
$\;z^2\; = a^2 + a^2$
$\;y^2\; = z^2 + a^2 \; \Longrightarrow\; y^2 \; = a^2 + a^2 + a^2$
$\;w^2\; = y^2 + a^2\; \; \Longrightarrow\; w^2 = a^2 + a^2 + a^2 + a^2$
$\;x^2\; = w^2 + a^2 \;\Longrightarrow \; x^2 \; = 5 \centerdot a^2$
então
Resposta:
$\;x\; = \; a \sqrt{5}$
Observe que $\;x\; = a \centerdot \sqrt{n + 1}\;$, sendo $\;n\;$ o número de triângulos retângulos.
×
(ITA - 2012) Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras em que a moeda de 25 centavos pode ser trocada é igual a:

a)
6
b)
8.
c)
10.
d)
12.
e)
14.

 



resposta: Alternativa D
×
(OSEC) O número de combinações simples de 7 elementos tomados 3 a 3 é:
a)
45
b)
25
c)
30
d)
40
e)
35

 



resposta: alternativa E
Resolução:
$\,C_{n,k}\,={\Large\binom{n}{k}}\,=\,\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\,=\,$$\,=\dfrac{7!}{4!3!}\,=\,\dfrac{5\centerdot 6\centerdot 7}{6}\,=\,35\,$

×
(FUVEST - 2018) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que três pontos sobre três segmentos distintos nunca são colineares, como na figura.
12 pontos em segmentos
O número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os vértices nos pontos assinalados é:
a)
200
b)
204
c)
208
d)
212
e)
220

 



resposta: Alternativa D
Resolução:
segmentos de reta com pontos fuvest 2018
Na figura, os pontos F, G, H e I são evidentemente colineares e, como tal, não podem formar triângulos entre si.
O número de combinações desses 4 pontos tomados três a três é $\;C_{\large 4,3}\;$ e deve ser retirado do número de triângulos que podem ser formados com os 12 pontos.
Os pontos X, Y, W e Z são TAMBÉM colineares e não podem formar triângulos entre si.
O número de combinações desses 4 pontos tomados três a três é $\;C_{\large 4,3}\;$ e deve ser retirado do número de triângulos que podem ser formados com os 12 pontos.
O número de combinações de 12 pontos tomados três a três para formar triângulos é $\;C_{\large 12,3}\;$.
Então o número de triângulos com vértices nos pontos da figura é:

$\phantom{X}C_{\large 12,3}\, - \, 2\centerdot C_{\large 4,3}\;$ $\;\Rightarrow\,\dfrac{12!}{3!9!}\,-\,2\centerdot\dfrac{4!}{3!1!}\,=\,\dfrac{12\centerdot 11 \centerdot10}{6}\,-\,2\centerdot 4\,=$ $\,220\,-\,8\,=\,212$

212 é a resposta correspondente ao item D.

×
(PUC) Tomam-se dez pontos sobre uma circunferência. Quantos triângulos podemos contruir com vértices nesses pontos?
a)
12
b)
120
c)
360
d)
720
e)
$\,\frac{\;10!\;}{3}\,$

 



resposta: (B)
×
O valor de 5! é:
a)
6
b)
24
c)
120
d)
720
e)
5040

 



resposta: (C)
×
O valor de $\phantom{X}\dfrac{\;5!\;}{\;3!\;}\phantom{X}$ é:
a)
20
b)
120
c)
15
d)
5
e)
$\,\frac{\;5\;}{\;3\;}\,$

 



resposta: (A)
$\require{cancel}$ Resolução:
$\,\dfrac{\;5!\;}{\;3!\;}\;=\;\dfrac{\;5\,\centerdot\,4\,\centerdot\,\cancel{3!}\;}{\cancel{3!}}\;=\;20\,$

×
(FEI) Simplificar as expressões:
a)
$\phantom{X}\dfrac{\;7!\;9!\;}{\;6!\;8!\;}\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}\dfrac{\;(2n\,+\,2)!\;}{(2n)!}\phantom{X}$

 



resposta: a) 63 b) $\,4n^2\,+\,6n\,+\,2\,$
×
(OSEC) Para qualquer número natural n a expressão $\phantom{X}\dfrac{\;(n\,+\,1)!\;}{n!}\phantom{X}$ vale
a)
n 
b)
(n + 1)
c)
(n - 1)
d)
(n + 2)
e)
nenhuma das anteriores

 



resposta: (B)
×
Simplificando a expressão $\phantom{X}\dfrac{\;2(n\,+\,1)!\,+\,n(n\,+\,1)!\;}{(n\,+\,2)!}\phantom{X}$ com $\,n\,\in\,\mathbb{N}\,$, obtemos:
a)
$\,n\,$
b)
$\,\dfrac{\;n\,+\,1\;}{n}\,$
c)
$\,n!\,$
d)
$\,1\,$
e)
$\,\dfrac{\;2\;}{n}\,$
 
 

 



resposta: (D)
×
Resolver, em $\,\mathbb{N}\,$, a equação $\phantom{X}\dfrac{\;(n\,+\,4)!\;}{\;(n\,+\,3)!\;}\;=\;7\phantom{X}$

 



resposta: V = {3}
×
Resolver, em $\,\mathbb{N}\,$, a equação $\phantom{X}\dfrac{\;n!\;}{\;(n\,-\,2)!\;}\;=\;30\phantom{X}$

 



resposta: V = {6}
×
Provar que $\phantom{X}(n\,+\,1)!\,-\,n!\;=\;n\,\centerdot\,n!\phantom{X}$, $\,\forall\,n\,\in\,\mathbb{N}\,$

 



resposta: $\,(n\,+\,1)!\,-\,n!\;=\;n!\,[(n\,+\,1)\,-\,1]\,=$ $\,n!(n\,+\,1\,-\,1)\,=\,n!\centerdot n\,$
×
O valor de $\phantom{X}5\centerdot 5!\;+\;6\centerdot 6!\;+\;7\centerdot 7!\;+\;...\;+\;19\centerdot 19!\phantom{X}$é:
a)
20! - 5!
b)
19! - 6!
c)
19! - 5!
d)
20! - 6!
e)
20 . 20!

 



resposta: (A)
Resolução:
Veja que:
$\require{cancel}$$\phantom{X}5\centerdot 5!\;=\;(6 - 1)\centerdot 5!\;=$ $\;6\centerdot 5!\,-\,5!\;=\;(5\,+\,1)!\,-\,5!\phantom{X}$
então:
$\phantom{X}(5\,+\,1)!\,-\,5!\,+\,(6\,+\,1)!\,-\,6!\;...\;(19\,+\,1)!\,-\,19!\;=\;$$\;\cancel{6!}\,-\,5!\,+\,\cancel{7!}\,-\,\cancel{6!}\;...\;+\,20!\,-\,\cancel{19!}\;=\,20!\,-\,5!\phantom{X}$

×
(OSEC) Simplificando-se $\phantom{X}\dfrac{\;[(n\,-\,1)!]^2\,+\,(n\,-\,1)!n!\,+\,(n\,-\,1)!n!\,+\,(n!)^2\;}{(n\,-\,1)!\,+\,n!\,+\,(n\,+\,1)!}\phantom{X}$ obtém-se:
a)
$\,n!\,$
b)
$\,(n\,+\,1)!\,\phantom{\dfrac{X}{X}}$
c)
$\,(n\,-\,1)!\,$
d)
$\,\dfrac{\;n!(n\,-\,1)!\;}{(n\,+\,1)!}\,$
e)
$\,\dfrac{\;(n\,-\,1)!\;}{(n\,+\,1)!}\,$

 



resposta: (C)
×
Calcular os seguintes números binomiais:
a)
$\phantom{X}\binom{4}{2}\;=\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}\binom{4}{3}\;=\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}\binom{10}{8}\;=\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}\binom{6}{6}\;=\phantom{X}$
e)
$\phantom{X}\binom{0}{0}\;=\phantom{X}$
f)
$\phantom{X}\binom{7}{0}\;=\phantom{X}$
g)
$\phantom{X}\binom{2}{5}\;=\phantom{X}$

 



resposta:
a)
6
b)
4
c)
45
d)
1
e)
1
f)
1
g)
0
64451110
×
Calcular: $\phantom{X}C_{\Large 6,2}\,,\;C_{\Large 6,3}\,,\;C_{\Large 7,4}\phantom{X}$

 



resposta: 15, 20, 35
×
Considere 21 pontos dos quais três nunca são colineares. Qual é o número total de retas distintas que estes pontos determinam?

 



resposta: 210 retas distintas.
×
(CESGRANRIO) Considere 21 pontos dos quais três nunca são colineares. Usando estes pontos como vértices de um triângulo, qual o número total de triângulos distintos que estes pontos determinam?

 



resposta: 1330 triângulos
×
(OSEC) Duas cartas são tiradas de um baralho comum de 52 cartas. De quantas maneiras isso pode ser feito?
a)
1352
b)
1326
c)
1300
d)
1324
e)
nenhuma das anteriores
 
 

 



resposta: (B) C52,2 = 52.51/2 = 1326
×
(VUNESP) Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. O número de triângulos que obteremos unindo 3 quaisquer desses pontos é:
a)
26
b)
90
c)
25
d)
45
e)
42

 



resposta: (D)
×
(FAAP) Um indivíduo faz uma relação de nomes de onze pessoas amigas. Calcular de quantas maneiras ele poderá convidar cinco destas pessoas para jantar, sabendo-se que na relação há um único casal inseparável.

 



resposta: C9,5 + C9,3 = 210 modos de convidar.
×
(PUCC) Considere os pontos da representação geométrica do produto cartesiano A×A , onde A = {1, 2, 3} . Quantos triângulos diferentes podemos formar tendo 3 desses pontos como vértice?
a)
496
b)
54
c)
76
d)
84
e)
504
produto cartesiano de AxA com A = {1, 2, 3}

 



resposta: (C)
×
Consideremos um grupo, formado por 4 cantores e 8 cantoras. Qual o número total de trios vocais, com apenas um cantor, que podem ser formados?

 



resposta: Resolução: $\phantom{X}4\centerdot C_{\Large 8,2}\;=\;112\phantom{X}$
×
Consideremos um grupo, formado por 4 cantores e 8 cantoras. Qual o número total de trios vocais, com pelo menos um cantor, que podem ser formados?

 



resposta: Resolução:opção 1
Somar as combinções formadas por 1 cantor, 2 cantores e 3 cantores
$\phantom{X}C_{\Large 4,1}\centerdot C_{\Large 8,2}\;+\;C_{\Large 4,2}\centerdot C_{\Large 8,1}\;+\;C_{\Large 4,3}\;=\;164\phantom{X}$
opção 2:
podemos calcular o conjunto total de trios e retirar a quantidade de trios formados apenas por cantoras, como a seguir:)
$\phantom{X}C_{\Large 12,3}\;-\;C_{\Large 8,3}\;=\;164\phantom{X}$

×
O número total de maneiras de um grupo de cinco pessoas ser dividido em duas comissões, uma de 2 pessoas e outra de 3 pessoas é:
a)
10
b)
20
c)
100
d)
120
e)
1 200

 



resposta: (A) Resolução: $\phantom{X} C_{\Large 5,2}\;=\;\dfrac{5!}{\;3!\,2!\;}\;=\;10\phantom{X}$
×
Consideremos um grupo formado por 12 pessoas. Qual o número total de comissões, com exatamente 4 fiscais cada, que podem ser formadas com estas pessoas?

 



resposta: Resolução: $\phantom{X}4\centerdot C_{\Large 12,4}\;=\;\dfrac{12!}{\;8!\,4!\;}\;=\;495\phantom{X}$
×
Uma horta produz tomates, pepinos e rabanetes em grande quantidade. Quantos tipos distintos de saladas podem ser feitas utilizando cinco vegetais da referida horta?

 



resposta: $\phantom{X}C_{\Large 3,5}\;=\;\dbinom{3}{5}\;=\;0\phantom{X}$ ( zero saladas)
×
Veja exercÍcio sobre:
teorema de Pitágoras
relações métricas no triângulo retângulo
triângulo retângulo