(FUVEST - 1980) Esboçãr os gráficos das seguintes funções: a) $\,f(x)\,=\,2^{\large x}\,$ b)$\,g(x)\,=\,|2^{\large x}\,-\,2|\,$
resposta: Resolução: a) gráfico de $\,f(x)\,=\,2^{\large x}\,$ ● O domínio de $\,f\,$ é o conjunto dos número reais. $\,D(f)\,=\,\mathbb{R}\,$ ● $\,f\,$ é uma função exponencial estritamente crescente, pois a base é maior que 1
b) gráfico de $\,g(x)\,=\,|2^{\large x}\,-\,2|\,$ ● $\,f\,$ uma função $\,f\,:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,$ e $\,f(x)\,=\,2^{\large x}\,$ e $\,h\,$ a função tal que $\,h\,:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\,$ e $\,h(x)\,=\,f(x)\,-\,2\,$. Assim:
(FUVEST - 1977) Um reservatório de forma cilíndrica (cilindro circular reto) de altura 30 cm e raio da base 10 cm está cheio de água. São feitos, simultaneamente, dois furos no reservatório: um no fundo e outro a 10 cm de altura do fundo; cada um destes furos permite uma fazão de 1 litro por minuto. Esboce o gráfico do volume de água no reservatório em função do tempo (em minutos) posterior à realização dos furos. (Despreze o tamanho dos furos.)
resposta:
Resolução: Vamos chamar de $\;V_o$ o volume inicial total do reservatório (totalmente cheio de água). $\phantom{X}V_o\,=\,\pi\,\centerdot\,10^{\large 2}\,\centerdot\,30\,=\,3000\pi\;cm^{\large 3}\phantom{X}$ ou $\phantom{X}V_o\,=\,3\pi\,$ litros.
Cada furo permite a vazão de 1 litro por minuto, portanto a vazão de 2 furos é de 2 litros em cada minuto negativos. Volumetotal = Volumeinicial + (vazão)●(tempo) $\;\Longrightarrow\;V_t\;=\;3\pi\,-\,2t\;$. A equação acima vale até o momento em que o furo mais alto seja atingido pelo nível da água, ou seja, conforme a figura, durante a vazão de 2/3 do volume inicial. No instante em que o volume é um terço do inicial, ou seja, $\;V_t\,=\,\dfrac{1}{3}\centerdot 3\pi\,=\,\pi\;$ o furo mais alto deixa de ter vazão. Esse momento ocorre em: $\phantom{X}-2t\,=\,\pi\,-\,3\pi\;\Rightarrow\;t\;=\;\pi\phantom{X}$ .Então, após $\,\pi\,$ minutos a vazão é 1 litro por minuto, e o volume será Vtotal = $2\pi\,-\,t\,$ $\left\{ \begin{array}{rcr} V_{total}\,=\,3\pi\,-\,2t\,,&\;\mbox{se}\;t\,\leqslant\,\pi\phantom{XX}\; \\ V_{total}\,=\,2\pi\,-\,t\,,\;\;&\;\mbox{se}\;\pi\,\leqslant\,t\,\leqslant\,2\pi \\ \end{array}\right.$
(U.F.VIÇOSA - 1990) Na figura abaixo, a circunferência de centro P e raio 2 é tangente a três lados do retângulo ABCD de área igual a 32. A distância do ponto P à diagonal AC vale:
(CESGRANRIO - 1984) AB é o diâmetro do círculo de centro O no qual o triângulo ABC está inscrito. A razão $\,\dfrac{s}{S}\,$ entre as áreas $\,s\,$ do triângulo ACO e $\,S\,$ do triângulo COB é:
Uma engrenagem de forma circular com 30 dentes gira endentada com outra roda de 25 dentes. Quantas voltas esta última roda terá dado quando a primeira tiver realizado 450 voltas?
Um avião parte de uma cidade A rumo a outra B com velocidade constante igual a 250 km/h . Na metade do percurso é obrigado a diminuir a velocidade para 200 km/h e chega à cidade B com atraso de 15 min. Calcular a distância entre as duas cidades e o tempo empregado na viagem.
Numa festa de aniversário, o vinho foi servido em taças de cristal de forma cônica conforme a figura. A abertura das taças é de 4 cm de raio interno, com profundidade de $\,8\sqrt{2}\,$cm. A pérola do colar de uma das convidadas da festa deslocou-se e foi cair dentro de uma taça. Se a pérola tem formato esférico de 1 cm de raio, qual a menor distância, em centímetros, da pérola em relação ao fundo da taça?
a)
4
b)
3
c)
2
d)
1
e)
5
resposta:
Na figura, a pérola de colar esférica de centro O e raio 1 cm encalhada no fundo da taça com formato de cone — raio da base do cone $\;\overline{AB}\,=\,4\,$cm e altura do cone $\;h \,=\,8\sqrt{2}\,$cm. Foi traçada a altura do cone, o segmento $\;\overline{AC}\;$.
Se a esfera está apoiada sobre a face lateral do cone, então a aresta $\;\overline{BC}\;$ é tangente à esfera no ponto $\;P\;$ e o raio $\;\overline{OP}\;$ é perpendicular a $\;\overline{BC}\;$.
Consideremos o ângulo $\;\alpha\;$ no triângulo $\;ABC\;$ reto em $\;\hat{A}\;$.
$\,(d\,+\,1)^2\,=\,1^2\,+\,(2\sqrt{2})^2\;\Rightarrow\;d\,+\,1\,=\,\sqrt{9}\,$ $\Rightarrow\;d\,=\,3\,-\,1\;\Rightarrow\;\boxed{\,d\,=\,2\,}\,$, que corresponde à
(E E LINS - 1966) Calcular p para que o polinômio $\phantom{X}4x^4\,-\,8x^3\,+\,8x^2\,-\,4(p\,+\,1)x\,+\,(p\,+\,1)^2\phantom{X}$ seja o quadrado perfeito de um polinômio racional inteiro em $\,x\,$.