Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}, calcular o número de funções injetoras de A em B.
resposta: Resolução: O número de funções injetoras de A em B é exatamente o $\,A_{\large 6,4}\,$, pois cada conjunto imagem é um "conjunto ordenado" de 4 elementos escolhidos entre os 6 elementos do conjunto B. Assim, o número total de funções injetoras de A em B é $\,A_{\large 6,4}\,=\,6\centerdot 5\centerdot 4\centerdot 3\,$, e portanto, 360. Resposta: O número de funções injetoras de A em B é 360. ×
Sendo A = {1, 2, 3, 4}  e   B = {7, 8, 9, 10}, calcular o número de funções bijetoras de A em B.
resposta: Resolução:
O número total de funções bijetoras de A em B é $P_{\large4}\;=\;4\centerdot 3\centerdot 2\centerdot 1\,$. Portanto, 24
.Resposta: O número de funções bijetoras de A em B é 24.
Quantos números de algarismos distintos e compreendidos entre 100 e 1000 podem ser obtidos utilizando os algarismos 1, 2, 3, 5, 6 ?
resposta:
Resolução:
Os números entre 100 e 1000 são formados por 3 algarismos, e de acordo com o enunciado são escolhidos entre os algarismos dados e distintos entre si. Os algarismos em ordem diferente representam números diferentes, portanto a ordem também define cada elemento formado (arranjo). O número de algarismos é então $\;A_{\large 5,3}\;=\;5\centerdot 4\centerdot 3\;$, e, portanto, 60
Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De quantas formas isto pode ser feito?
resposta:
Resolução: Cada maneira de pintar a bandeira consiste de uma sequência de cinco cores distintas (sequência, porque as listras da bandeira estão numa ordem) escolhidas entre as oito existentes. Logo, esse número de sequências procurado é: $\phantom{XX}A_{\large 8,5}\,=\,\underbrace{\,8\,\centerdot\,7\,\centerdot\,6\,\centerdot\,5\,\centerdot\,4\,}_{\Large 5 fatores} \, = \,6720$ Resposta:
Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada respectivamente?
As 5 finalistas do concurso para Miss Universo são: Miss Japão, Miss Brasil, Miss Finlândia, Miss Argentina e Miss Noruega. De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, segundo e o terceiro lugares neste concurso?
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, ... , 9. O segredo do cofre é formado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abrí-lo? (Suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos).
Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?
resposta: 72 maneiras.
Resolução: Cada maneira das pessoas sentarem corresponde a um par ordenado de números distintos escolhidos no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Veja os exemplos:
(2, 6)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 2} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 6} \\ \end{array}\right. \;$
(6, 2)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 6} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 2} \\ \end{array}\right. \;$
(3, 4)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 3} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 4} \\ \end{array}\right. \;$
1. O total de pares ordenados é igual a $\;A_{\Large 10,2}\,=\,10\,\centerdot\,9\,=\,90\;$ 2. Dever ser excluídos os pares ordenados cujos elementos sejam números consecutivos. São eles:
Uma urna contém $\,m\,$ bolas numeradas de 1 ate $\,m\,$; $\phantom{X}r\;(r \leqslant m)\,$ bolas são extraídas sucessivamente. Qual o número de sequências de resultados possíveis se a extração for: a) com reposição de cada bola após a extração, b) sem reposição de cada bola após a extração.
resposta: a) $\,m^{\large r}\;$ b)$\;\dfrac{m!}{(m\,-\,r)!}\;$ ×
Uma urna I contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna II contém 3 bolas numeradas de 1 a 3. Qual o número de sequências numéricas que podemos obter se extrairmos, sem reposição, 3 bolas da urna I e, em seguida, 2 bolas da urna II.
Existem duas urnas. A 1ª com 4 bolas numeradas de 1 a 4 e a 2ª com 3 bolas numeradas de 7 a 9. Duas bolas são extraídas da 1ª urna, sucessivamente e sem reposição, e em seguida 2 bolas são extraídas da 2ª urna, sucessivamente e sem reposição. Quantos números (de 4 algarismos) são possíveis de serem formados nestas condições?
(CESCEA - 1973) Suponha que no início de um jogo você tenha $Cr\$\, 2,00$ e que só possa jogar enquanto tiver dinheiro. Supondo que em cada jogada você perde ou ganha $Cr\$\, 1,00$, ao final de três jogadas os possíveis resultados são:
(FGV - 1975) Um homem tem oportunidade de jogar no máximo 5 vezes na roleta. Em cada jogada ele ganha ou perde um cruzeiro. Começará com um cruzeiro e parara de jogar antes de cinco vezes, se perder todo seu dinheiro ou se ganhar três cruzeiros, isto é, se tiver quatro cruzeiros. O número de maneiras em que o jogo poderá se desenrolar é:
(MACKENZIE - 1969) Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais que um prêmio, um primeiro e um segundo prêmios poderão ser distribuídos de:
(FGV - 1974) Existem 7 voluntários para exercerem 4 funções distintas. Qualquer um deles está habilitado para exercer qualquer dessas funções. Portanto, pode-se escolher quaisquer 4 dentre os 7 voluntários e atribuir a cada um deles uma das 4 funções. Quantas possibilidades existem para essa atribuição?
(CESCEM - 1977) As placas dos automóveis são formadas por duas letras seguidas de 4 algarismos. O número de placas que podem ser formadas com as letras A e B e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo, é:
(CESCEA - 1974) De quantas maneiras um técnico de futebol pode formar um quadro de 11 jogadores escolhidos de 22, dos quais 3 são goleiros e onde só o goleiro tem posição fixa?
(COMSART - 1973) De quantas maneiras três casais podem ocupar 6 cadeiras, dispostas em fila, de tal forma que as duas das extremidades sejam ocupadas por homens?
(ITA - 1977) Consideremos $\,m\,$ elementos distintos. Destaquemos $\,k\,$ dentre eles. Quantos arranjos simples daqueles $\,m\,$ elementos tomados $\,n\,$ a $\,n\;(A_{\Large m,n})\,$ podemos formar, de modo que em cada arranjo haja sempre, contíguos e em qualquer ordem de colocação, $\,r\;(r\,<\,n)\,$ dos $\,k\,$ elementos destacados?
(CESCEA - 1967) No jogo de loto, de uma urna contendo 90 pedras numeradas de 1 a 90, quatro pedras são retiradas sucessivamente; o número de extrações possíveis tal que a terceira pedra seja 80 será:
Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 3, 6, 7, 8, 9 ?
resposta:
Resolução: Cada número será uma tripla ordenada de algarismos escolhidos entre os dados. Os números devem ser pares, portanto as triplas obrigatoriamente tem que ser do tipo:
( —, —, 6) (I)
ou
( —, —, 8) (II)
O número de triplas do tipo (I) é $\,A_{\large 5,2}\,=\,20\,$ e o de triplas do tipo (II) é $\,A_{\large 5,2}\,=\,20\,$
Quantos números formados por 3 algarismos distintos escolhidos entre 2, 4, 6, 8, 9 contém o 2 e não contém o 6? (Lembrar que o 2 pode ocupar a 1ª, 2ª ou a 3ª posição).
Temos uma estante de 15 livros, dos quais 4 são de Matemática. De quantas formas podemos colocá-los em ordem na estante, de modo que os livros de Matemática fiquem sempre juntos?
Resolva a equação $\,A_{\large n,4}\,=\,12 \centerdot \,A_{\large n,2}\,$
resposta: S = {6} Resolução: A equação só tem solução para $\,n\,\geqslant \, 4\,$ $\phantom{X}n(n\,-\,1)(n\,-\,2)(n\,-\,3)\,=\,12 \centerdot n \centerdot (n\,-\,1)\phantom{X}$ Sabendo-se que $\,n(n\,-\,1)\,\neq\,0\,$ temos então que: $\phantom{X}(n\,-\,2)(n\,-\,3)\,=\,12\phantom{X}$ $\phantom{X}n^{\large 2}\,-\,5n\,+\,6\,=\,12\phantom{X}$ $\phantom{X}n^{\large 2}\,-\,5n\,-\,6\,=\,0\;\Rightarrow \; n_1\,=\,6;\;n_2\,=\,-1\phantom{X}$(solução não pode ser negativa) O conjunto solução é {6}.
Quantas placas de automóvel, ao todo, podem ser feitas se cada placa contém duas letras diferentes de um alfabeto de 26 letras, seguidas por quatro algarismos distintos do sistema decimal de numeração?
Consideremos um grupo formado por 12 pessoas. Qual o número total de comissões que podem ser formadas com essas pessoas, tendo cada comissão apenas um presidente, um secretário, um tesoureiro e um conselheiro?
Consideremos um grupo formado por 12 pessoas. Qual o número total de comissões que podem ser formadas com essas pessoas, tendo cada comissão apenas um presidente, um secretário e dois conselheiros?
