(CESCEM - 1968) Uma urna contém 1 bola preta e 9 brancas. Uma segunda urna contém $\,x\,$ bolas pretas e as restantes brancas num total de 10 bolas. Um primeiro experimento consiste em retirar, ao acaso, uma bola de cada urna. Num segundo experimento, as bolas das duas urnas são reunidas e destas, duas bolas são retiradas ao acaso. O valor mínimo de $\,x\,$ a fim de que a probabilidade de saírem duas bolas pretas seja maior no segundo do que no primeiro experimento é:
(ITA - 2004) Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?
(ITA - 2012) Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras em que a moeda de 25 centavos pode ser trocada é igual a:
(ITA - 2012) Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}, calcular o número de funções injetoras de A em B.
resposta: Resolução: O número de funções injetoras de A em B é exatamente o $\,A_{\large 6,4}\,$, pois cada conjunto imagem é um "conjunto ordenado" de 4 elementos escolhidos entre os 6 elementos do conjunto B. Assim, o número total de funções injetoras de A em B é $\,A_{\large 6,4}\,=\,6\centerdot 5\centerdot 4\centerdot 3\,$, e portanto, 360. Resposta: O número de funções injetoras de A em B é 360. ×
Sendo A = {1, 2, 3, 4}  e   B = {7, 8, 9, 10}, calcular o número de funções bijetoras de A em B.
resposta: Resolução:
O número total de funções bijetoras de A em B é $P_{\large4}\;=\;4\centerdot 3\centerdot 2\centerdot 1\,$. Portanto, 24
.Resposta: O número de funções bijetoras de A em B é 24.
Quantos números de algarismos distintos e compreendidos entre 100 e 1000 podem ser obtidos utilizando os algarismos 1, 2, 3, 5, 6 ?
resposta:
Resolução:
Os números entre 100 e 1000 são formados por 3 algarismos, e de acordo com o enunciado são escolhidos entre os algarismos dados e distintos entre si. Os algarismos em ordem diferente representam números diferentes, portanto a ordem também define cada elemento formado (arranjo). O número de algarismos é então $\;A_{\large 5,3}\;=\;5\centerdot 4\centerdot 3\;$, e, portanto, 60
resposta: {8} Obs.: na equação, A significa "arranjo simples". ×
Cinco pessoas querem acomodar-se em um automóvel de cinco lugares. De quantas maneiras isso poderá ser feito?
resposta: Resolução:
Sempre haverá cinco pessoas dentro do carro. Elas podem somente trocar de assento. Trata-se então de uma permutação. $\,P_{\large 5}\,=\,5!\,=\,5\centerdot 4\centerdot 3\centerdot 2\centerdot 1\,=\, 120\,$
Quatro livros diferentes de Matemática, seis de Física e dois de Química dever ser arrumados em uma prateleira. Quantas arrumações diferentes podem ser feitas se:
a)
os livros de cada matéria devem ficar juntos?
b)
apenas os de matemática devem ficar juntos?
resposta:
Resolução:
a)
Os livros de Matemática podem ser arrumados entre si de $\,P_{\large 4}\,=\,4!\,$ modos; os de Física de $\,P_{\large 6}\,=\,6!\,$ modos; os de Química de $\,P_{\large 2}\,=\,2!\,$ modos, e os três grupos de $\,P_{\large 3}\,=\,3!\,$ modos. Então, o nº de arrumações que podem ser feitas é dado por $\,4!\centerdot 6!\centerdot 2\centerdot 3!\,=207360\,$
b)
Consideramos os quatro livros de Matemática como sendo um único. Então existem 9 livros que podem ser arrumados de $\,P_{\large 9}\,=\,9!\,$ modos. Em todas essas maneiras, os livros de Matemática estão juntos, mas esses livros podem ser arrumados de $\,P_{\large 4}\,=\,4!\,$ modos entre si. Então o nº total de arrumaçoes é dado por: $\,9!\centerdot 4!\,=\,8709120\,$
Em um "horário especial" um diretor de televisão dispõe de 7 intervalos para anúncios comerciais. Se existirem 7 diferentes tipos de anúncios, de quantas formas o diretor poderá colocar os 7 nos intervalos destinados a eles?
(FUVEST - 2015) De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas: duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre as 23 cartas que tinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Luís conseguir cinco cartas de ouros é:
Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?
De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: sim e não?
resposta: 4096 formas de responder Resolução: Cada resposta do questionário todo, consta de uma sequência $\phantom{X}(a_1,\, a_2,\, a_3,\, ...\, ,\, a_{12})\phantom{X}$ onde cada $\,a_{\large i}\,$ vale S (sim) ou N (não). Além disso:
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências do tipo acima é: $\,\underbrace{2\,\centerdot\,2\,\centerdot\,...\,\centerdot\,2}_{\Large 12\;vezes} \, = 2^{\large 12}\,=\,4096$
Uma prova consta de 20 testes tipo Verdadeiro ou Falso. De quantas formas uma pessoa poderá responder os 20 testes?
resposta: $\,2^{\large 20}\,=\,1048576\,$ formas ×
Quantos anagramas podemos formar, batendo ao acaso em 6 teclas (escolhidas entre as 26 existentes) num teclado de letras do computador? Entre eles consta o anagrama TECTEC?
(ENE) Num concurso para preenchimento de uma cátedra, apresentam-se 3 candidatos. A comissão julgadora é constituída de 5 membros, devendo cada examinador escolher exatamente um candidato. De quantos modos os votos desses examinadores podem ser dados?
Seis dados são lançados simultaneamente. Quantas sequências de resultados são possíveis, se considerarmos cada elemento da sequência como o número obtido em cada dado?
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é: $\,\underbrace{10\,\centerdot\,10\,\centerdot\;...\;\centerdot\,10}_{\Large 7\;vezes} \, = 10^{\large 7}\,=\,10 000 000$
As letras do código MORSE são formadas por sequências de traços (—) e pontos (●), sendo permitidas repetições. Por exemplo (—;●;—;●;●). Quantas letras podem ser representadas:
Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis: a) se a escolha for feita com reposição? b) se a escolha for feita sem reposição?
resposta:
Resolução:
a)
Seja $\,A\,$ o conjunto das cartas do baralho. Temos #A = 52. Cada escolha consta de uma sequência do tipo $\phantom{XX}(a_{\large 1},\,a_{\large 2},\,a_{\large 3},\,a_{\large 4},\,a_{\large 5})\,$ onde $\,a_{\large 1}\,\in\,A,\,a_{\large 2}\,\in\,A,\,a_{\large 3}\,\in\,A,\,a_{\large 4}\,\in\,A,\,a_{\large 5}\,\in\,A\;$ (pois a escolha foi feita com reposição. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é:$\,\underbrace{52\,\centerdot\,52\,\centerdot\,\centerdot\,52\,\centerdot\,52\,\centerdot\,52}_{\Large 5\;vezes} \, = 52^{\large 5}$
b)
Se a escolha é feita sem reposição então cada sequência $\;(a_{\large 1},\,a_{\large 2},\,a_{\large 3},\,a_{\large 4},\,a_{\large 5})\,$ é tal que cada elemento pertence a $\;A\;$ e são todos elementos distintos. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é $\,\underbrace{52\,\centerdot\,51\,\centerdot\,\centerdot\,50\,\centerdot\,49\,\centerdot\,48}_{\Large 5\;fatores} \, = 311875200\;$
Quantos divisores positivos tem o número $\,3888\,=\,2^4\, \centerdot \, 3^5\,$?
resposta: 30 Resolução: Cada divisor é um número do tipo $\;2^{\Large \alpha_1}\,\centerdot\,3^{\Large \alpha_2}\,$ onde: $\phantom{XX}\alpha_1\,\in\,\lbrace\,0,\,1,\,2,\,3,\,4\,\rbrace\,$ $\phantom{XX}\alpha_2\,\in\,\lbrace\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,5\,\rbrace\,$ Exemplo:$\;2^3\,\centerdot\,3^5\phantom{X};\phantom{X}2^0\,\centerdot\,3^3\,$ etc. Portanto, o número de divisores é o número de pares ordenados $\,(\,\alpha_1\,,\,\alpha_2\,)\,$ que, pelo Princípio Fundamental da Contagem é: $\phantom{XX}5\,\centerdot\,6\,=\,30\,$
Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal de eixos $\,Ox\,$ e $\,Oy\,$. Ele pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). a) Quantas trajetórias ele pode percorrer se der exatamente 4 passos? b) Quantas trajetórias ele pode percorrer se der 6 passos? Faça o gráfico de 3 trajetórias possíveis.
Duas pessoas, Antônio e Benedito, praticam um jogo onde há um único vencedor em cada partida. O jogo é praticado até que um deles ganhe 2 partidas consecutivas ou 4 partidas tenham sido jogadas, o que ocorrer primeiro. Quais as sequências possíveis de ganhadores?
Uma urna tem 10 bolinhas numeradas 1, 2, 3, ... , 10. Três bolinhas são extraídas sucessivamente, sem reposição. De quantas formas os números das bolinhas formam uma P.A. na ordem em que foram extraídas?
Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De quantas formas isto pode ser feito?
resposta:
Resolução: Cada maneira de pintar a bandeira consiste de uma sequência de cinco cores distintas (sequência, porque as listras da bandeira estão numa ordem) escolhidas entre as oito existentes. Logo, esse número de sequências procurado é: $\phantom{XX}A_{\large 8,5}\,=\,\underbrace{\,8\,\centerdot\,7\,\centerdot\,6\,\centerdot\,5\,\centerdot\,4\,}_{\Large 5 fatores} \, = \,6720$ Resposta:
Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada respectivamente?
As 5 finalistas do concurso para Miss Universo são: Miss Japão, Miss Brasil, Miss Finlândia, Miss Argentina e Miss Noruega. De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, segundo e o terceiro lugares neste concurso?
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, ... , 9. O segredo do cofre é formado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abrí-lo? (Suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos).
Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?
resposta: 72 maneiras.
Resolução: Cada maneira das pessoas sentarem corresponde a um par ordenado de números distintos escolhidos no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Veja os exemplos:
(2, 6)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 2} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 6} \\ \end{array}\right. \;$
(6, 2)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 6} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 2} \\ \end{array}\right. \;$
(3, 4)
$\left\{ \begin{array}{rcr} \mbox{a pessoa A senta na cadeira 3} \\ \mbox{a pessoa B senta na cadeira 4} \\ \end{array}\right. \;$
1. O total de pares ordenados é igual a $\;A_{\Large 10,2}\,=\,10\,\centerdot\,9\,=\,90\;$ 2. Dever ser excluídos os pares ordenados cujos elementos sejam números consecutivos. São eles:
Uma urna contém $\,m\,$ bolas numeradas de 1 ate $\,m\,$; $\phantom{X}r\;(r \leqslant m)\,$ bolas são extraídas sucessivamente. Qual o número de sequências de resultados possíveis se a extração for: a) com reposição de cada bola após a extração, b) sem reposição de cada bola após a extração.
resposta: a) $\,m^{\large r}\;$ b)$\;\dfrac{m!}{(m\,-\,r)!}\;$ ×
Uma urna I contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna II contém 3 bolas numeradas de 1 a 3. Qual o número de sequências numéricas que podemos obter se extrairmos, sem reposição, 3 bolas da urna I e, em seguida, 2 bolas da urna II.
Existem duas urnas. A 1ª com 4 bolas numeradas de 1 a 4 e a 2ª com 3 bolas numeradas de 7 a 9. Duas bolas são extraídas da 1ª urna, sucessivamente e sem reposição, e em seguida 2 bolas são extraídas da 2ª urna, sucessivamente e sem reposição. Quantos números (de 4 algarismos) são possíveis de serem formados nestas condições?
(PUC - 1970) Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independente da posição do assento. Combinando assento e encosto, este banco assume:
(CESCEA - 73) Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7 cores diferentes, podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc. Sabendo-se que os automóveis são fabricados nas versões "standard", "luxo" e "superluxo", quantas são as alternativas para o comprador?
(FGV - 1972) Existem apenas dois modos de se atingir uma cidade x partindo de outra A. Uma delas é ir até uma cidade intermediária B e de lá atingir x, e a outra é ir até C e de lá chegar a x. (Veja esquema ao lado).
Existem 10 estradas ligando A e B; 12 ligando B à x; 5 ligando A à C; 8 ligando C à x; nenhuma ligação entre B e C e nenhuma ligação direta entre A e x. O número de percursos diferentes que se pode fazer para partindo de A atingir x pela primeira vez é:
Existem 4 estradas que unem as cidades A e B e 5 estradas que unem as cidades B e C. Há também 2 estradas que unem A a C, não passando por B. Usando estas estradas, o número de viagens possíveis, partindo de A, passando por C e voltando para A é:
(ITA - 1972) Sejam $\,A\,$ um conjunto finito com $\,m\,$ elementos e $\,I_{\Large n}\,=\,\lbrace\,1, 2, ... , n\,\rbrace\,$. O número de todas as funções definidas em $\,I_{\Large n}\,$ com valores em $\,A\,$ é:
(CESGRANRIO - 1977) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele se possa apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, o número mínimo de peças (número de paletós mais número de calças) de que ele precisa é:
(CESGRANRIO - 1976) Em um computador digital um "bit" é um dos algarismos 0 ou 1 e uma "palavra" é uma sucessão de "bits". O número de "palavras" distintas de 32 "bits" é:
(MACKENZIE - 1974) Os ingleses têm o costume de dar alguns nomes para crianças. O número de maneiras diferentes de chamar-se uma criança, se existem 300 nomes diferentes e se uma criança não pode ter mais do que 3 nomes, todos diferentes entre si, é:
(FGV - 1971) Uma loteria (semelhante à loteria esportiva), apresenta 10 jogos, cada um com 4 possíveis resultados. Usando a aproximação $\,2^{\large 10}\,\cong\,10^{\large 3}\,$, então o número total de resultados possíveis será:
(FGV - 1976) As peças de um jogo de dominó são pequenos retângulos de madeira, divididos em duas metades. Em cada metade está marcado um certo número de pontos. As peças são feitas de forma que os totais de pontos que aparecem em cada uma das metades são perfeitamente permutáveis girando-se a peça de meia volta. Por exemplo, a peça (2, 5) é também a peça (5, 2). Se em cada metade podem aparecer desde nenhum ponto até n pontos, então o número de peças diferentes é:
(USP - 1969) Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser pintadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?
(MACKENZIE - 1977) Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou um carro brasileiros, o número de inscrições diferentes que ela pode fazer para uma corrida onde irá participar com 3 carros, é:
(FGV - 1974) Uma moto tem combustível suficiente para somente três voltas num circuito. Pedro, Manoel e Antônio disputam, através de lançamento de uma moeda, a oportunidade de dar cada volta, do seguinte modo:
(I)
o lançamento da moeda é efetuado antes de cada volta;
(II)
se coroa, a vez é de Manoel;
(III)
se cara, a vez é de Pedro;
(IV)
se a mesma face ocorrer consecutivamente, a vez é de Antônio.
Pode-se dizer, então, que Antônio dará:
a)
pelo menos uma volta
b)
no máximo uma volta
c)
pelo menos uma volta, se a primeira for dada por Manoel
d)
no máximo duas voltas, se a primeira for dada por Pedro
(CESCEA - 1973) Suponha que no início de um jogo você tenha $Cr\$\, 2,00$ e que só possa jogar enquanto tiver dinheiro. Supondo que em cada jogada você perde ou ganha $Cr\$\, 1,00$, ao final de três jogadas os possíveis resultados são:
(FGV - 1975) Um homem tem oportunidade de jogar no máximo 5 vezes na roleta. Em cada jogada ele ganha ou perde um cruzeiro. Começará com um cruzeiro e parara de jogar antes de cinco vezes, se perder todo seu dinheiro ou se ganhar três cruzeiros, isto é, se tiver quatro cruzeiros. O número de maneiras em que o jogo poderá se desenrolar é:
(MACKENZIE - 1969) Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais que um prêmio, um primeiro e um segundo prêmios poderão ser distribuídos de:
(FGV - 1974) Existem 7 voluntários para exercerem 4 funções distintas. Qualquer um deles está habilitado para exercer qualquer dessas funções. Portanto, pode-se escolher quaisquer 4 dentre os 7 voluntários e atribuir a cada um deles uma das 4 funções. Quantas possibilidades existem para essa atribuição?
(CESCEM - 1977) As placas dos automóveis são formadas por duas letras seguidas de 4 algarismos. O número de placas que podem ser formadas com as letras A e B e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo, é:
(CESCEA - 1974) De quantas maneiras um técnico de futebol pode formar um quadro de 11 jogadores escolhidos de 22, dos quais 3 são goleiros e onde só o goleiro tem posição fixa?
(COMSART - 1973) De quantas maneiras três casais podem ocupar 6 cadeiras, dispostas em fila, de tal forma que as duas das extremidades sejam ocupadas por homens?
(ITA - 1977) Consideremos $\,m\,$ elementos distintos. Destaquemos $\,k\,$ dentre eles. Quantos arranjos simples daqueles $\,m\,$ elementos tomados $\,n\,$ a $\,n\;(A_{\Large m,n})\,$ podemos formar, de modo que em cada arranjo haja sempre, contíguos e em qualquer ordem de colocação, $\,r\;(r\,<\,n)\,$ dos $\,k\,$ elementos destacados?
(CESCEA - 1967) No jogo de loto, de uma urna contendo 90 pedras numeradas de 1 a 90, quatro pedras são retiradas sucessivamente; o número de extrações possíveis tal que a terceira pedra seja 80 será:
Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 3, 6, 7, 8, 9 ?
resposta:
Resolução: Cada número será uma tripla ordenada de algarismos escolhidos entre os dados. Os números devem ser pares, portanto as triplas obrigatoriamente tem que ser do tipo:
( —, —, 6) (I)
ou
( —, —, 8) (II)
O número de triplas do tipo (I) é $\,A_{\large 5,2}\,=\,20\,$ e o de triplas do tipo (II) é $\,A_{\large 5,2}\,=\,20\,$
Quantos números formados por 3 algarismos distintos escolhidos entre 2, 4, 6, 8, 9 contém o 2 e não contém o 6? (Lembrar que o 2 pode ocupar a 1ª, 2ª ou a 3ª posição).
Uma peça para ser fabricada deve passar por 7 máquinas, sendo que a operação de cada máquina independe das outras. De quantas formas as máquinas podem ser dispostas para montar a peça?
resposta: Resolução: a) Cada anagrama é uma permutação das letras T, E, O, R, I, A. O número procurado é $\,P_{\large 6}\,=\,6!\,=\,720\,$ b) T _ _ _ _ _ Nesse caso temos somente que permutar as letras E, O, R, I, A. O número procurado é $\,P_{\large 5}\,=\,5!\,=\,120\,$ c) T _ _ _ _ A Nesse caso temos somente que permutar as letras E, O, R, I. O número procurado é $\,P_{\large 4}\,=\,4!\,=\,24\,$ d) Temos as possibilidades:
A _ _ _ _ _
$\,5!\,=\,120\,$ anagramas
E _ _ _ _ _
$\,5!\,=\,120\,$ anagramas
I _ _ _ _ _
$\,5!\,=\,120\,$ anagramas
O _ _ _ _ _
$\,5!\,=\,120\,$ anagramas
Logo, ao todo teremos 120 + 120 + 120 + 120 = 480 anagramas e) Se as vogais A, E, I, O devem estar juntas, então elas funcionam como "uma letra" que deve ser permutada com T e R. Logo o número de permutações é: $\,P_{\large 3}\,=\,3!\,=\,6\,$. Mas em cada uma dessas permutações as vogais podem permutar-se (entre elas mesmas) de $\,P_{\large 4}\,=\,4!\,=\,24\,$ formas. Então o número de anagramas nas condições é: $\,6\,\centerdot\,24\,=\,144\,$
Dez pessoas, entre elas Amador e Bruna, devem ficar em fila. De quantas formas isto pode ser feito se Amador e Bruna devem ficar sempre juntos?
resposta:
Resolução: Se Amador e Bruna devem ficar juntos é porque eles funcionam como uma única pessoa, que junto com as outras 8 devem ser permutadas, dando um total de 9! permutações. Entretanto, em cada uma dessas permtuações, Amador e Bruna podem ser permutados entre si(AB ou BA) de 2! = 2 formas.
O total de permutações em que eles aparecem juntos (AB ou BA) é : $\,2\,\centerdot\,9!\,$
