Lista de exercícios do ensino médio para impressão
(FGV - 1982)Qual a soma dos 20 primeiros termos da seguinte progressão: 1, 2, 4, 8, 16, ... ?
a)
$\,16^5 \,-\,1$
b)
$\,2^{20}\,$
c)
$\;2^{19\;}\phantom{XX}$
d)
$\,524.288\,$
e)
$\,4^{10} \,+\,1\,$
 
 

 



resposta: (A)
×
Seja $\phantom{X}(a_n)\phantom{X}$ uma Progressão Geométrica (P.G.) tal que $\phantom{X}a_1\,=\,3\phantom{X}$ e $\phantom{X}a_{n+1}\,=\,2\centerdot a_n\phantom{X}$. Determinar a P.G. .

 



resposta: Resolução:
De acordo com a fórmula descrita no enunciado, temos:
$a_1\,=\,3$
$a_2\,=\,2\centerdot a_1\,=\,6$
$a_3\,=\,2\centerdot a_2\,=\,12$
$a_4\,=\,2\centerdot a_3\,=\,24$ ...
Resposta:
$\;\boxed{(a_n)\,=\,(3,\,6,\,12,\,24,\,48,\,96,\,...)\;}$

×
Seja a P.G. $\;(a_n)\,=\,(2,\,6,\,18,\,.....)\phantom{X}$. Calcular o quinto e o oitavo termos.

 



resposta: Resolução:
A -
Calcular a razão da P.G.
$q\,=\,{\large\frac{a_2}{a_1}}\,=\,{\large\frac{6}{2}}\,=\,3$
B -
O termo geral da P.G.
$a_n\,=\,a_1\centerdot q^{\large n-1}$
Logo:
$a_5\,=\,a_1\centerdot q^4\;\therefore\;a_5\,=\,2\centerdot 3^4\;\Leftrightarrow\;a_5\,=\,162$
$a_8\,=\,a_1\centerdot q^7\;\therefore\;a_8\,=\,2\centerdot 3^7\;\Leftrightarrow\;a_8\,=\,4274$
Resposta: $\,\boxed{\;a_5\,=\,162\;\text{ e }\;a_8\,=\,4274\;}\,$

×
Seja a P.G. $(a_n)\,=\,(3,\,-6,\,12,\,......)\;$. Calcular o quarto e o sétimo termos.

 



resposta: Resolução:
A -
Calcular a razão da P.G.
$q\,=\,{\large\frac{a_2}{a_1}}\,=\,{\large\frac{-6}{3}}\,=\,-2$
B -
O termo geral da P.G.
$a_n\,=\,a_1\centerdot q^{\large n-1}$
Logo:
$a_4\,=\,a_1\centerdot q^3\;\therefore\;a_4\,=\,3\centerdot (-2)^3\;\Leftrightarrow\;a_4\,=\,-24$
$a_7\,=\,a_1\centerdot q^6\;\therefore\;a_7\,=\,3\centerdot(-2)^6\;\Leftrightarrow\;a_7\,=\,192$
Resposta: $\,\boxed{\;a_4\,=\,-24\;\text{ e }\;a_7\,=\,192\;}\,$

×
Seja $\phantom{X}(a_n)\phantom{X}$uma P.G. , onde a razão é -2 e o décimo primeiro termo é -2048 . Determinar o décimo quarto termo dessa P.G. .

 



resposta: Resolução:
$a_n\,=\,a_m\centerdot q^{\large n-m}$
$a_{\large 14}\,=\,a_{\large 11}\centerdot q^{\large 14-11}\;\;\therefore\;\;a_{\large 14}\,=\,(-2048)\centerdot (-2)^{\large 3}\,=\,16384$
Resposta:$\,a_{\large 14}\,=\,16384\,$

×
Inserir 4 meios geométricos entre 2 e 486 , nesta ordem.

 



resposta: Resolução:
$\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large 1}\,=\,2\;\phantom{XXXX}& \\ a_{\large n}\,=\,486\phantom{XXX}& \\ n\,=\,4\,+\,2\,=\,6& \\ \end{array} \right.$
$a_{\large n}\,=\,a_{\large1}\centerdot q^{\large n-1}\,$
$486\,=\,2\centerdot q^{\large 5}\;\Longleftrightarrow\;q^{\large 5}\,=\,243\;\Longleftrightarrow\;q^{\large 5}\,=\,3^{\large 5}\;$
$\phantom{XXXXXXXXXXXXXXX}\Longrightarrow\;\boxed{\;q\,=\,3\;}$

Temos então $\phantom{X}(2,\,\underbrace{6,\,18,\,54,\,162,}_{4\,termos}\,486,\,...)\phantom{X}$ como a P.G.
Resposta:(2, 6, 18, 54, 162, 486, ...)
×
Determinar a P.G. de números reais em que $\phantom{X}a_{\large 4}\,+\,a_{\large 6}\,=\,120\phantom{X}$ e $\phantom{X}a_{\large 7}\,+\,a_{\large 9}\,=\,960\phantom{X}$.

 



resposta: Resolução:
Determinar a P.G. significa descobrir o primeiro termo $\;a_{\large 1}$ e a razão $\;q\;$.
$a_{\large n}\,=\,a_{\large1}\centerdot q^{\large n-1}$
$\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large 4}\,=\,a_{\large1}\centerdot q^{\large 3}\phantom{X}& \\ a_{\large 5}\,=\,a_{\large1}\centerdot q^{\large 5}\phantom{X}& \\ \end{array} \right. \;\Longrightarrow\;a_{\large 1}\centerdot q^3\,+\,a_{\large 1}\centerdot q^5\,=\,120\;$(I)
$\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large 7}\,=\,a_{\large1}\centerdot q^{\large 6}\phantom{X}& \\ a_{\large 9}\,=\,a_{\large1}\centerdot q^{\large 8}\phantom{X}& \\ \end{array} \right. \;\Longrightarrow\;a_{\large 1}\centerdot q^6\,+\,a_{\large 1}\centerdot q^8\,=\,960\;$(II)
Vamos dividir (II) por (I):
$\,\frac{\large a_1q^6\,+\,a_1q^8}{\large a_1q^3\,+\,a_1q^5}\,=\,\frac{\large a_1q^6\,(1\,+\,q^2)}{\large a_1q^3\,(1\,+\,q^2)}\,=\,{\large\frac{960}{120}}$
$q^{\large 3}\,=\,8\;\Leftrightarrow\;\boxed{\;q\,=\,2\;}\,$
Vamos substituir q = 2 em (I)
$a_{\large 1}\centerdot 2^{\large 3}\,+\,a_{\large 1}\centerdot 2^{\large 5}\,=\,120\;\Leftrightarrow\;40\centerdot a_{\large 1}\,=\,120\;\Leftrightarrow\;\boxed{\;a_{\large 1}\,=\,3\;}\,$
Temos o primeiro termo 3 e a razão 2, a P.G. será:
(3, 6, 12, 24, ...)

Resposta : (3, 6, 12, 24, ...)

×
(PUC) Se a sequência ( 4x, 2x + 1, x - 1 ) é uma P.G., então o valor de x é:
a)
${\large -\frac{1}{8}}$
b)
-8
c)
-1
d)
8
e)
${\large \frac{1}{8}}$

 



resposta: alternativa A
×
Adicionando-se uma constante a 20, 50 e 100, obtém-se uma P.G. na ordem dada. Qual a razão da P.G?

 



resposta: Resolução:
( 20 + k, 50 + k, 100 + k, ... ) é uma P.G.
$(50\,+\,k)^{\large\,2}\,=\,(20\,+\,k)\centerdot(100\,+\,k)$
$50^2\,+\,100k\,+\,k^2\,=\,2000\,+\,20k\,+\,100k\,+\,k^2\,\Longrightarrow$
$\Longrightarrow\,20\,k\,=\,2500\,-\,2000$
$\therefore\,20k\,=\,500\,\Longleftrightarrow\,\boxed{\;k\,=\,25\;}$
A P.G. então é (45, 75, 125, ...)
e a razão da P.G. é $q\,=\,{\large \frac{75}{45}}\,=\,{\large \frac{5}{3}}$
Resposta:q = 5/3

×
(UBERABA) Na ordem em que são dados, os números x , y , z formam uma P.A. e os números $\;\;{\large \frac{1}{x}}\;,\;\;{\large \frac{1}{y}}\;,\;\;{\large \frac{1}{x\,+\,z}}\;\;$ formam uma P.G. . Pode-se concluir que:
a)
a razão da P.A. é igual a 3, qualquer que seja x .
b)
y + z = 5x
c)
a razão da P.G. é $\,{\large \frac{1}{3}}\,$
d)
yz = 8x²
e)
não existem os números x , y , z nas condições acima.

 



resposta: alternativa A
×
(FUVEST - 2019) Resolva os três itens abaixo.
a)
O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão positiva é 5, e o terceiro termo é 45. Calcule a soma dos 6 primeiros termos dessa progressão.
b)
Calcule a soma dos números inteiros positivos menores do que 112 e não divisíveis por 4.
c)
A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é n(2n + 1) , qualquer que seja n ≥ 1 . Encontre o vigésimo termo dessa progressão.

 



resposta:

A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é an = a1.qn - 1

a) De acordo com o enunciado
$\require{cancel}$$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_1\,=\,15\;& \\ a_3\,=\,45\;& \end{array} \right.\, \Longrightarrow$ $\,a_3\,=\,a_1\,q^{3\,-\,1}\;\Longleftrightarrow$ $\;45\,=\,5\,q^2\;\Longleftrightarrow$ $\,q_1\,=\,3\;\,{\text e}\;\cancel{\,q_2\,=\,-3\,}$(a razão é positiva).
A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula $\,\boxed{\;S_n\,=\,\dfrac{\;a_1\,(\,q^n\,-\,1\,)\;}{q\,-\,1}\;}\,$.
No enunciado $a_1$ é 5 e a razão $q$ nós calculamos e é igual a 3
. Vamos calcular os 6 primeiros termos:
$\,S_6\,=\,\dfrac{\;5\,(\,q^6\,-\,1\,)\;}{q\,-\,1}$ $\,=\,\dfrac{\;5\,(\,3^6\,-\,1\,)\;}{3\,-\,1}\,=\,1820$
b) A pergunta refere-se aos termos inteiros positivos entre 0 e 112, então o intervalo de números naturais é de 1 até 111, incluindo os extremos.
1. A soma de todos os inteiros positivos de 1 a 111 é dada por:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_1\,=\,1\phantom{XXXXXXXx} & \\ n\,=\,111\phantom{XXXXXXX} & \\ \boxed{\;S_n\,=\,\dfrac{\,n\,(a_1\,+\,a_n)\,}{2}\;} \end{array} \right.\, \Longrightarrow$ $\,S_{111}\,=\,\dfrac{\,111(1\,+\,111)\,}{2}$ $\;= 6216$
A soma dos 111 primeiros números inteiros é 6216.
2. Vamos dividir 111 por 4 e encontrar quantos números entre 1 e 111 são múltiplos de 4
111
4
31
27
3
Notar que:
● o quociente é 27, então existem 27 múltiplos de 4 entre 1 e 111
● o primeiro número divisível por quatro é a1 = 4
● o último número divisível por 4 é igual a 111 menos o resto da divisão, então a27 = 111 - 3 = 108
● A soma de todos os múltiplos de 4 menores que 112 é igual a $\,S_n\,=\,\dfrac{\,n\,(a_1\,+\,a_n)\,}{2}\;\Rightarrow$ $\;S_{27}\;=\;\dfrac{\,27(4 + 108)\,}{2}$ $\;=\;1512 \;$
3. Basta subtrair:
(soma dos inteiros menores que 112) menos (soma dos múltiplos de quatro menores que 112) = 6216 - 1512 = 4704.
c) A soma dos n primeiro termos é Sn = n(2n + 1)
Então a soma dos 20 primeiros termos é:
$\,S_{\large 20}\,=\,20(2\,\centerdot\,20\,+\,1)\,=\,820\,$
Para descobrir o 20º termo, vamos extrair da soma acima o valor da soma de todos os termos anteriores ao 20º, a saber, a soma de todos os termos até o 19º:
$\,S_{\large 19}\,=\,19(2\,\centerdot\,19\,+\,1)\,=\,741\,$
O vigésimo termo é então 820 - 741 = 79
a) a soma dos 6 primeiros termos é 1820 b)a soma dos números inteiros positivos menores que 112 e não divisíveis por 4 é 4704 c) o vigésimo termo é 79
×
(FUVEST) Calcule os ângulos de um triângulo retângulo sabendo que eles estão em progressão geométrica.

 



resposta: (em graus) $\dfrac{90(\sqrt{90}\,-\,1)}{89}\; ; \dfrac{90(90 - \sqrt{90})}{89}\;; 90^o\;$
(em radianos) $\,\dfrac{3\pi}{4}\,-\,\dfrac{\pi\sqrt{5}}{4}\; ; \dfrac{\pi (\sqrt{5} - 1)}{4}\;; \dfrac{\pi}{2}\,$
×
Qual é o 5º termo da P.G.(560, 280, 140, ...) ?

 



resposta: 35
×
Determine o primeiro elemento a1 da P.G. com a6 = 486 e q = 3.

 



resposta: a1 = 2
×
Quais são as progressões geométricas de elementos reais com a2 = 160 e a6 = 10 ?

 



resposta: ( a1 = 320 e q = 1/2 ) ; ( a1 = -320 e q = -1/2 )
×
(PUCC - 1982) Dada a Progressão Geométrica $\phantom{X}1,\;-\frac{\,\sqrt{\,2\,}}{\,2\,},\;\frac{\;1\;}{\;2\;},\;...\phantom{X}$, determine o seu 11º termo.

 



resposta: 1/32
×
Inserir 5 meios geométricos positivos entre 6 e 384

 



resposta: P.G.(6, 12, 24, 48, 96, 192, 384)
×
Calcular a soma dos 6 termos iniciais da P.G.(4, -12, 36, ...) .

 



resposta: -728
×
Qual o valor da soma dos elementos da P.G. finita (10, 20, ... , 1280) ?

 



resposta: 2550
×
A soma dos termos de uma P.G. infinita é 1 e o seu 1º termo é $\,\frac{\,2\,}{\,3\,}\,$. Obter o 4º termo desta sequência.

 



resposta: 2/81
×
De uma sequência infinita de quadrados onde a medida do lado de cada um, a partir do segundo, é sempre a metade da medida do lado do quadrado anterior, sabe-se que o lado do 1º quadrado mede 6. Calcular a soma das áreas destes quadrados.
quadrados em progressão geométrica

 



resposta: 48 unidade²
×
Justifique a seguinte propriedade: "Cada termo de uma P.G., a partir do segundo, é a média geométrica entre o termo anterior e o posterior".

 



resposta:
(hipótese):
Seja a P.G.$(...\,,\,a_{p-1}\,,\,a_{p}\,,\,a_{p+1}\,,\,...)$ de razão igual a $\,q\,$
(tese):
Queremos demonstrar que $\phantom{X}(ap)^2\,=\,a_{p-1}\,\centerdot\,a_{p+1}\phantom{X}$
(DEMONTRAÇÃO):
$\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{p-1}\,=\,a_1\,q^{p-2}\;& \\ a_p\,=\,a_1\,q^{p-1}\phantom{Xx}& \\ a_{p+1}\,=\,a_1\,q^{p}\phantom{Xx}& \end{array} \right.\;\Longrightarrow$ $\;a_{p+1}\,\centerdot \,a_{p-1}\,=\,a_1\,q^{p-2}\,\centerdot \,a_1\,q^{p}\,=$ $\,(a_1)^2\,\centerdot\,q^{p-2}\,\centerdot \,q^{p}\,=$ $\,(a_1)^2\,\centerdot\,q^{2p-2}\,=$ $\,(a_1)^2\,\centerdot\,q^{2(p-1)}\,=$ $\,=\,(a_1\,q^{p-1})^2\,=$ $\,(a_p)^2$

c.q.d.


×
Veja exercÍcio sobre:
série geométrica
séries geométricas
progressão geometrica
PG
P.G.