Construindo-se a bissetriz de um ângulo de um triângulo, determinam-se no lado oposto segmentos proporcionais aos lados desse triângulo.

Na figura ao lado, um triângulo ABC de lados de medidas a, b e c, onde $\,\overleftrightarrow{AS}\,$ é a bissetriz do ângulo no vértice A.
Sabemos no enunciado que

1.

$\,m\,=\,16\,$ e $\,n\,=\,24\,$, então o lado c do triângulo mede $\,c\,=\,m\,+\,n\,=\,16\,+\,24\,=\,40\;\Rightarrow\;\boxed{\,c\,=\,40\,m\,}\,$

2.

O perímetro do triângulo é 100 m, então a soma $\,a\,+\,b\,+\,c\,=\,100\;\Rightarrow\;a\,+\,b\,+\,40\,=\,100\,$ $\Rightarrow\,a\,+\,b\,=\,60\,$(I)

Se os lados são proporcionais aos segmentos gerados pela bissetriz (TEOREMA DA BISSETRIZ) então temos conforme a figura: $\,\dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{m}{n}\,$ $\Rightarrow\,\dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{16}{24}\,$(II)(I) e (II)$\,\longrightarrow\,\left\{\begin{array}{rcr} \,a\,+\,b\,=\,60\,& \\ \dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{16}{24}\phantom{X}& \\ \end{array} \right.\,$ $\Rightarrow\,a\,=\,\dfrac{2b}{3}\phantom{X}\Rightarrow\;\dfrac{2b}{3}\,+\,b\,=\,60 $
$\,\Rightarrow\;5b\,=\,180\;\Rightarrow\;\boxed{\,b\,=\,36\,m\,}\;a\,=\,\dfrac{2b}{3}\;\Rightarrow\,\boxed{\,a\,=\,24\,m\,}$

LEI DOS COSSENOS:
"Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam".

Na figura, um triângulo genérico $\,\triangle ABC\,$ onde deseja-se a medida do ângulo $\,\hat{A}\,$.

De acordo com a lei dos cossenos temos:

$\;a^2\,=\,b^2\,+\,c^2\,-\,2bc\centerdot (cos\hat{A})\;(I)$

Mas (conforme o enunciado), $\,a\,=\,\dfrac{7c}{3}\,$ e $\,b\,=\,\dfrac{8c}{3}\,$, substituindo em (I)

$\,\left( \dfrac{7c}{3}\right)^{\large 2}\;=\;\left( \dfrac{8c}{3} \right)^{\large 2}\,+\,c^{\large 2}\, -\,2\centerdot \left( \dfrac{8c}{3} \right)\centerdot c \centerdot cos\hat{A}\;\Rightarrow\,$

$\,\Rightarrow\,\left( \dfrac{49c^{\large 2}}{9}\right)\;=\;\left( \dfrac{64c^{\large 2}}{9} \right)^\,+\,\dfrac{9c^{\large 2}}{9}\, -\,2\centerdot \left( \dfrac{24c^{\large 2}}{9} \right)\centerdot cos\hat{A}\,\Rightarrow\,$

$\,\Rightarrow\,49\left( \dfrac{c^{\large 2}}{9}\right)\;=\;64\left( \dfrac{c^{\large 2}}{9} \right)\,+\,9\left(\dfrac{c^{\large 2}}{9}\right)\, -\,2\centerdot 24 \centerdot cos\hat{A}\left( \dfrac{c^{\large 2}}{9} \right)\,$
● dividir a igualdade por c²/9

$\,\Rightarrow\,49\;=\;64\,+\,9\, -\,2\centerdot 24 \centerdot cos\hat{A}\,$

$\,\Rightarrow\,-cos\hat{A}\,=\,\dfrac{49\,-\,64\,-\,9}{2\centerdot 24}\,\Rightarrow\,$

$\,\Rightarrow\,cos\hat{A}\,=\,\dfrac{24}{48}\,\Rightarrow\,cos\hat{A}\,=\,\dfrac{1}{2}\;\Rightarrow\; \hat{A}\,=\,60^o$

A soma dos ângulos internos de um polígono é 180° × (n - 2)

Polígono regular possui todos os lados de mesma medida e todos os ângulos de mesma medida.

$\;A_i\,=\,\dfrac{\;S_i\;}{\;n\;}\;=\dfrac{\;180^o(n\,-\,2)\;}{n}\;=\;150^o\;\Longleftrightarrow$ $\;180^o\,\centerdot\,n\,-\,360^o\;=\;150^o\,\centerdot\,n\;\Longrightarrow$ $\;n\,=\,12\;$

$\,130^o\,\lt\,\dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\,\lt\,140^o\,$ que podemos então resolver como um sistema de inequações:

Resolvento (I)
$\,130^o\,\lt\,\,\dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\;\Longleftrightarrow$ $\;130n\,\lt\,180(n\,-\,2)\;\Longleftrightarrow$ $\;\boxed{\;n\,\gt\,7,2\;}\;(*)$

Resolvento (II)
$\,\dfrac{\,180(n\,-\,2)\,}{n}\lt\,140^o\;\Longleftrightarrow$ $\;180(n\,-\,2)\,\lt\,140n\;\Longleftrightarrow$ $\;\boxed{\;n\,\lt\,9\;}\;(**)$