Todo ângulo inscrito numa circunferência é igual à metade do ângulo central conrrespondente.

O ângulo central é a mesma medida em graus do arco de circunferência que ele determina.

Na figura, O ângulo inscrito de vértice M determina o arco α e portanto mede α/2.

O ângulo inscrito com vértice em P determina o arco de 80°, e portanto mede 40°.

O ângulo $\,M\hat{P}K\,$ mede então 180° - 40° = 140°.

A soma dos ângulos internos no triângulo MPK é 180° e portanto:

$\;\dfrac{\;\alpha\;}{\;2\;}\;+\;140\;+\;20\;=\;180\;\Rightarrow$ $\;\dfrac{\;\alpha\;}{\;2\;}\;=\;20\;\Rightarrow$ $\;\alpha\;=\;40^o\;$

A seguir o quadro-resumo das relações entre as posições do ângulos em relação à circunferência e o arcos determinados por estes

Arcos e Ângulos

Vértice

Tipo

Figura

Relações entre as medidas

centro da
circunferência

Ângulo Central

$\;\hat{O}\;=\;\stackrel \frown{AB}\;$
$\;\hat{O}\;=\;\alpha\;$

em um ponto

Ângulo Inscrito

$\;\hat{P}\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}}{\;2\;}\;$

da circunferência

Ângulo de Segmento

$\;\hat{P}\;=\;\dfrac{\;a\;}{\;2\;}\;$

Interior

Ângulo Excêntrico Interior

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}\,+\,\stackrel \frown{MN}}{2}\;$

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\;a\,+\,b\;}{\;2\;}\;$

Exterior

Ângulo Excêntrico Exterior

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{MN}\,-\,\stackrel \frown{AB}}{2}\;$

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\;b\,-\,a\;}{\;2\;}\;$

Exterior

Ângulo Circunscrito

$\;\beta\;=\;\dfrac{\;a\,-\,b\;}{2}\;$
ou
$\;\beta\;=\;(180^o\,-\,b)\;$

40°
×

Determinar a medida do ângulo $\,x\,$ conforme a figura:

resposta:

O ângulo $\,\hat{x}\,$ é a média aritmética dos arcos.

$\,x\,=\,\dfrac{\,80\,+\,50\,}{2}\,=\,65^o\,$
Ângulos com vértice no interior do círculo:

Ângulo Excêntrico Interior

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}\,+\,\stackrel \frown{MN}}{2}\;$

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\;a\,+\,b\;}{\;2\;}\;$