(UNESP) Os pontos A, B, C, D, E e F pertencem a uma circunferência . O valor de $\phantom{X}\alpha\phantom{X}$ é:

60°

50°

45°

40°

35°

ângulo excentrico interno da circunferência

resposta: alternativa B
×

(FGV) As cordas $\,\overline{AB}\,$ e $\,\overline{CD}\,$ de uma circunferência de centro $\,O\,$ são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas $\,\overline{AD}\,$ e $\,\overline{BC}\,$ se intersectam no ponto $\,P\,$, conforme indica a figura a seguir:

circunferência com duas cordas concorrentes num ponto excêntrico

A medida do ângulo $\,B\hat{P}D\,$, indicado na figura por $\,\alpha\,$, é igual a:

120°

124°

128°

130°

132°

resposta: (E)
×

Com os dados da figura, calcular a medida do arco α em graus.

resposta:

Todo ângulo inscrito numa circunferência é igual à metade do ângulo central conrrespondente.

O ângulo central é a mesma medida em graus do arco de circunferência que ele determina.

Na figura, O ângulo inscrito de vértice M determina o arco α e portanto mede α/2.

O ângulo inscrito com vértice em P determina o arco de 80°, e portanto mede 40°.

O ângulo $\,M\hat{P}K\,$ mede então 180° - 40° = 140°.

A soma dos ângulos internos no triângulo MPK é 180° e portanto:

$\;\dfrac{\;\alpha\;}{\;2\;}\;+\;140\;+\;20\;=\;180\;\Rightarrow$ $\;\dfrac{\;\alpha\;}{\;2\;}\;=\;20\;\Rightarrow$ $\;\alpha\;=\;40^o\;$

A seguir o quadro-resumo das relações entre as posições do ângulos em relação à circunferência e o arcos determinados por estes

Arcos e Ângulos

Vértice

Tipo

Figura

Relações entre as medidas

centro da
circunferência

Ângulo Central

$\;\hat{O}\;=\;\stackrel \frown{AB}\;$
$\;\hat{O}\;=\;\alpha\;$

em um ponto

Ângulo Inscrito

$\;\hat{P}\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}}{\;2\;}\;$

da circunferência

Ângulo de Segmento

$\;\hat{P}\;=\;\dfrac{\;a\;}{\;2\;}\;$

Interior

Ângulo Excêntrico Interior

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}\,+\,\stackrel \frown{MN}}{2}\;$

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\;a\,+\,b\;}{\;2\;}\;$

Exterior

Ângulo Excêntrico Exterior

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{MN}\,-\,\stackrel \frown{AB}}{2}\;$

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\;b\,-\,a\;}{\;2\;}\;$

Exterior

Ângulo Circunscrito

$\;\beta\;=\;\dfrac{\;a\,-\,b\;}{2}\;$
ou
$\;\beta\;=\;(180^o\,-\,b)\;$

40°
×

Determinar a medida do ângulo $\,x\,$ nas figuras seguintes:

resposta: resposta
×

Determinar a medida do ângulo $\,x\,$ conforme a figura:

resposta:

O ângulo $\,\hat{x}\,$ é a média aritmética dos arcos.

$\,x\,=\,\dfrac{\,80\,+\,50\,}{2}\,=\,65^o\,$
Ângulos com vértice no interior do círculo:

Ângulo Excêntrico Interior

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}\,+\,\stackrel \frown{MN}}{2}\;$

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\;a\,+\,b\;}{\;2\;}\;$