Exercícios sobre álgebra fundamental

Simplificar $\;\sqrt[\large 3]{54}\;$

resposta:

Resolução:
$\;\sqrt[\large 3]{54}\,=\,\sqrt[\large 3]{27\,\centerdot\,2}\,$ $=\,\sqrt[\large 3]{27}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}\,=\,3\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}\,$
Resposta:

$\,3\sqrt[\large 3]{2}\,$
×

Simplificar $\phantom{X}\sqrt{\dfrac{8}{9}}\phantom{X}$.

resposta:

Resolução:
$\;\sqrt{\dfrac{8}{9}}\,=\,\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}\,=\,\dfrac{\sqrt{4\,\centerdot\,2}}{\sqrt{9}}\,$ $=\,\dfrac{\sqrt{4}\,\centerdot\,\sqrt{2}}{\sqrt{9}}\,=\,\dfrac{2\,\centerdot\,\sqrt{2}}{3}\,$
Resposta:

$\,\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\,$
×

Simplificar $\phantom{X}\sqrt[\large 3]{8a^{\large 4}}\phantom{X}$, sendo $\;a\;$ um número positivo.

resposta:

Resolução:
$\; \sqrt[\large 3]{8a^{\large 4}}\,=\,\sqrt[\large 3]{8\,\centerdot\,a^{\large 3}\,\centerdot\,a}\,$ $=\,\sqrt[\large 3]{8}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{a^{\large 3}}\centerdot\,\sqrt[\large 3]{a}\,=\,2\,\centerdot\,a\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{a}\;$
Resposta:

$\;2a\,\sqrt[\large 3]{a}\;$
×

Simplificar $\phantom{X}\sqrt{\dfrac{17}{58}}\,\centerdot\,\sqrt{\dfrac{29}{34}}\phantom{X}$.

resposta:

Resolução:
$\require{cancel}\;\sqrt{\dfrac{17}{58}}\,\centerdot\,\sqrt{\dfrac{29}{34}}\,=\,\sqrt{\dfrac{17}{58}\,\centerdot\,\dfrac{29}{34}}\,$ $=\,\sqrt{\dfrac{17\,\centerdot\,29}{58\,\centerdot\,34}}\,=\,\sqrt{\dfrac{\cancel{17}\,\centerdot\,\cancel{29}}{2\,\centerdot\,\cancel{29}\,\centerdot\,2\,\centerdot\,\cancel{17}}}\,$ $=\,\sqrt{\dfrac{1}{2\,\centerdot\,2}}\,=\,\sqrt{\dfrac{1}{4}}\,=\,\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}\,=\,\dfrac{1}{2}\;$
Resposta:

$\;\dfrac{1}{2}\;$
×

Reduzir os radicais $\;\sqrt{3}\;$ e $\;\sqrt[\large 3]{5}\;$ para o mesmo índice 6 .

resposta:

Resolução:
$\;\sqrt{3}\,=\,\sqrt[\large 2]{3^{\large 1}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2 \centerdot 3]{3^{1\centerdot 3}}\,=\,\sqrt[\large 6]{3^{\large 3}}\,=\,\sqrt[\large 6]{27}\;$
$\;\sqrt[\large 3]{5}\,=\,\sqrt[\large 3]{5^{\large 1}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2 \centerdot 3]{5^{1\centerdot 2}}\,=\,\sqrt[\large 6]{5^{\large 2}}\,=\,\sqrt[\large 6]{25}\;$
Resposta:

$\;\sqrt[\large 6]{27}\; ; \;\sqrt[\large 6]{25}\;$
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Escrever na forma de um único radical a expressão $\phantom{X}\sqrt{3}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{5}\phantom{X}$.

resposta:

Resolução:

1. Reduzir os radicais para o mesmo índice 6 — porque 6 é o mínimo múltiplo comum entre 2 e 3.
$\;\sqrt{3}\,=\,\sqrt[\large 2]{3^{\large 1}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2 \centerdot 3]{3^{1\centerdot 3}}\,=\,\sqrt[\large 6]{3^{\large 3}}\,=\,\sqrt[\large 6]{27}\;$
$\;\sqrt[\large 3]{5}\,=\,\sqrt[\large 3]{5^{\large 1}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2 \centerdot 3]{5^{1\centerdot 2}}\,=\,\sqrt[\large 6]{5^{\large 2}}\,=\,\sqrt[\large 6]{25}\;$

2. Usar a primeira propriedade das raízes ($\;\sqrt[\large n]{a}\,\centerdot\,\sqrt[\large n]{b}\,=\,\sqrt[\large n]{a\centerdot b}\;$)
$\;\sqrt[\large 2]{3}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{5}\,=\,\sqrt[\large 6]{27}\,\centerdot\,\sqrt[\large 6]{25}\,$ $=\,\sqrt[\large 6]{27\,\centerdot\,25}\,=\,\sqrt[\large 6]{675}\;$

Resposta:

$\;\sqrt[\large 6]{675}\;$
×

Escrever o radical $\phantom{X}\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}\phantom{X}$ na forma de potência de expoente racional.

resposta:

Resolução:
$\;\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}\,=\,\sqrt[2\,\centerdot\,2\,\centerdot\,2]{2}\,=\,2^{\large \frac{1}{8}}\;$
Resposta:

$\;2^{\large 1/8}\;$
×

Escrever o radical $\phantom{X}\sqrt{2\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}}\phantom{X}$ na forma de uma potência de expoente racional.

resposta:

Resolução:

MODO 1.
$\,\sqrt{2\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}}\,=\,\sqrt{2}\,\centerdot\,\sqrt{\sqrt[3]{2}}\,$ $=\,\sqrt{2}\,\centerdot\,\sqrt[\large 6]{2}\,$ $=\,2^{\large \frac{1}{2}}\,\centerdot \,2^{\large \frac{1}{6}}\,$ $=\,2^{\frac{1}{2}\,+\,\frac{1}{6}}\,$ $=\,2^{\frac{4}{6}}\,=\,2^{\frac{2}{3}}\,$

MODO 2.
$\,\sqrt{2\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}}\,=\,\sqrt{2}\,\centerdot\,\sqrt{\sqrt[3]{2}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2]{2^1}\,\centerdot\,\sqrt[\large 6]{2^1}\,$ $=\,\sqrt[\large 6]{2^3}\,\centerdot\,\sqrt[\large 6]{2^1}\,$ $=\,\sqrt[\large 6]{2^3\,\centerdot\,2^1}\,$ $=\,\sqrt[\large 6]{2^4}\,=\,\sqrt[\large 3]{2^2}\,=\,2^{\frac{2}{3}}\,$

MODO 3.
Partir da observação seguinte: $\,2\,=\,\sqrt[\large 3]{2^3}\,$
$\,\sqrt{2\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}}\,=\,\sqrt{\sqrt[\large 3]{2^3}\,\centerdot\,\sqrt[\large 3]{2}}\,$ $=\,\sqrt[\large 2]{\sqrt[\large 3]{2^3\,\centerdot\,2}}\,\,$ $=\,\sqrt[\large 6]{2^4}\,$ $=\,\sqrt[\large 3]{2^2}\,=\,2^{\frac{2}{3}}\,$

Resposta:

$\;2^{2/3}\;$
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