Lista de exercícios do ensino médio para impressão
(FUVEST - 2018) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que três pontos sobre três segmentos distintos nunca são colineares, como na figura.
12 pontos em segmentos
O número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os vértices nos pontos assinalados é:
a)
200
b)
204
c)
208
d)
212
e)
220

 



resposta: Alternativa D
Resolução:
segmentos de reta com pontos fuvest 2018
Na figura, os pontos F, G, H e I são evidentemente colineares e, como tal, não podem formar triângulos entre si.
O número de combinações desses 4 pontos tomados três a três é $\;C_{\large 4,3}\;$ e deve ser retirado do número de triângulos que podem ser formados com os 12 pontos.
Os pontos X, Y, W e Z são TAMBÉM colineares e não podem formar triângulos entre si.
O número de combinações desses 4 pontos tomados três a três é $\;C_{\large 4,3}\;$ e deve ser retirado do número de triângulos que podem ser formados com os 12 pontos.
O número de combinações de 12 pontos tomados três a três para formar triângulos é $\;C_{\large 12,3}\;$.
Então o número de triângulos com vértices nos pontos da figura é:

$\phantom{X}C_{\large 12,3}\, - \, 2\centerdot C_{\large 4,3}\;$ $\;\Rightarrow\,\dfrac{12!}{3!9!}\,-\,2\centerdot\dfrac{4!}{3!1!}\,=\,\dfrac{12\centerdot 11 \centerdot10}{6}\,-\,2\centerdot 4\,=$ $\,220\,-\,8\,=\,212$

212 é a resposta correspondente ao item D.

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