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Unindo-se as extremidades dos arcos da forma $\phantom{X}\pm \dfrac{\,\pi\,}{\,3\,}\,+\,\dfrac{\,n\pi\,}{\,2\,}\phantom{x} (n\;\in\;\mathbb{Z})\phantom{X}$ obtém-se:
a)
quadrado
b)
retângulo
c)
octógono
d)
octógono regular
e)
hexágono
 
 

 



resposta: (C)
×
Fazer o gráfico da função $\phantom{X}f(x) = 2 \centerdot sen x\phantom{X}$ e determinar o seu período e seu conjunto Imagem.

 



resposta: p = 2π e Im = [-2, 2]
×
Construir o gráfico da função $\,f\,:\,{\rm I\!R}\rightarrow\,{\rm I\!R}\,$ definida por $\phantom{X}f(x) = 1 + \operatorname{cos}\left(\,2x\,-\,\dfrac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)\phantom{X}$

 



resposta:
gráfico da função com cosseno

×
Determinar o conjunto domínio, o conjunto imagem e o período da função $\phantom{X}y\,=\,2\,+\,3\operatorname{cos}\left(2x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,3\,}\,\right)\phantom{X}$.

 



resposta: domínio: $\,\mathbb{D}\,=\,{\rm\,I\!R}\,$ - imagem: $\,Im\,=\,\left[\,-1;\,5\,\right]\,$ - período: p = π
×
(PUC PR) Se $\,f(x)\,=\,sen\,x\,,\;\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,$, então:
a)
$\;0\,\lt\,f(6)\,\lt\,\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\;$
b)
$\;-\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,\lt\,f(6)\,\lt\,0\;$
c)
$\;-1\,\lt\,f(6)\,\lt\,-\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\;$
d)
$\;\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\,\lt\,f(6)\,\lt\,-\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\;$
e)
$\;\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}\,}{\,2\,}\,\lt\,f(6)\,\lt\,-\dfrac{\,1\,}{\,2\,}\;$

 



resposta: (B)
×
Traçar o gráfico da função f(x) = 1 + sen 2x .
plano xOy quadriculado

 



resposta:
gráfico da função 1 mais seno de 2x

×
Com relação à função $ \,f:\,{\rm\,I\!R}\,\rightarrow\,{\rm\,I\!R}\, $ definida por $ \phantom{X}f(x)\,=\,1\,+\,sen\,3x\phantom{X} $ forneça:

a) o conjunto imagem
b) o período


 



resposta: a)
O valor do seno varia entre -1 e 1, inclusive.
Então o seno de 3x também varia entre -1 e 1.
$\phantom{X}\;-1\;\leqslant\;sen\;3x\;\leqslant\;1\phantom{X}\;$
Vamos somar 1 a cada membro da expressão acima:
$\phantom{X}\;0\;\leqslant\;1\;+\;sen\;3x\;\leqslant\;2\phantom{X} $
$\phantom{X}\;0\;\leqslant\;f(x)\;\leqslant\;2\phantom{X} $
Como f(x) varia entre 0 e 2 (inclusive), o conjunto imagem é $\,Im\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,0\,\leqslant\,x\,\leqslant\,2\,\rbrace\,$ ou
Im = [0,2]
b)
Um arco 3x executa uma volta completa no ciclo trigonométrico quando o valor de 3x varia entre 0 e 2π .
$\phantom{X} 0\;\leqslant\;3x\;\leqslant\;2\pi\phantom{X}\Rightarrow$ $\phantom{X} 0\;\leqslant\;x\;\leqslant\;\dfrac{\;2\pi\;}{3}\phantom{X}$
Então um período da função inicia-se em 0 e termina em $\,\dfrac{\;2\pi\;}{3}\,$.
$\phantom{X} p\,=\,\dfrac{\;2\pi\;}{3}\,-\,0\,=\,\dfrac{\;2\pi\;}{3}\phantom{X}$
×
Calcular cos(a + b), sendo dado sen a = -3/5 e cos b = 1/3 ,
sendo que a e b estão no intervalo $\phantom{X}\left]\,\dfrac{\,3\,\pi\,}{2}\,;\,2\pi\,\right[\phantom{X}$

 



resposta:
Lembramos que cos(a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b
Então:
Passo 1 - Calcular o cos a
$\,cos\,a\,=\,+\,\sqrt{\,1\,-\,sen^2\,a\,}\,=\,\dfrac{\,4\,}{5}\,$
Passo 2 - Calcular o sen b
$\,sen\,b\,=\,-\,\sqrt{\,1\,-\,cos^2\,b\,}\,=\,\dfrac{\,-\,2\,\sqrt{\,2\,}\,}{3}\,$
Passo 3 - Calcular o cos (a + b)
$\,cos\,(a\,+\,b)\,=\,cos\,a\,\centerdot\,cos\,b\,-\,sen\,a\,\centerdot\,sen\,b\,=$ $\dfrac{\,4\,}{5} \centerdot \dfrac{\,1\,}{3}\,-\,(-\dfrac{\,3\,}{5})\, \centerdot\,(-\,\dfrac{\,2\,\sqrt{\,2\,}}{3})\,=\,$ $\dfrac{4}{\,15\,} - \dfrac{\,6\,\sqrt{\,2\,}}{15}\,=$
$\boxed{\;\dfrac{\,\,4\,-\,6\sqrt{\,2\,}}{15}\;}\,$
×
Calcular sen 75°.

 



resposta:
Lembramos que sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
Então:
$\,sen\,75^o\,=\,$ $\,sen\,(45^o\,+\,30^o)\,=\,$ $\,sen\,45^o\,\centerdot\,cos\,30^o\,+\,cos\,45^o\,\centerdot\,sen\,30^o\,=\,$ $\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,\centerdot\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\,}\,}{2}\,+\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,\centerdot\,\dfrac{\,1\,}{2}\,\,=\,$ $\dfrac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{4}\,+\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{4}\,$
$\phantom{X}\boxed{\;sen\,75^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,6\,}\,+\,\sqrt{\,2\,}\,}{4}\,}\phantom{X}$
×
No triângulo da figura são conhecidos os ângulos  = 60° e $\,\hat{B}\,$ = 75° e também o lado c = 13 m.
triângulo ABC conhecidos os ângulos A, B e o lado c

Pede-se:
a) a medida em graus do ângulo C;
b) a medida em metros dos lados a e b;
c) a área do triângulo ABC em metros quadrados.


 



resposta:
Resolução:
a) A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°, então $ \phantom{X} \require{cancel}\hat{A}\,+\,\hat{B}\,+\,\hat{C}\,=\,180^o\;\Rightarrow $ $\;\hat{C}\,=\,180^o\,-\,(\hat{A}\,+\,\hat{B})\,=$ $\,180^o\,-\,135^o\,=\,45^o\;$

b) Pelo Teorema dos Senos temos que $\,\dfrac{b}{\,sen \hat{B}\,}\,=\,\dfrac{c}{\,sen \hat{C}\,}\,=\,\dfrac{a}{\,sen \hat{A}\,}\,$, então podemos concluir que $\,b\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{B}\,}{sen\,\hat{C}}\phantom{X}$ e $\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{A}\,}{sen\,\hat{C}}\,$
Lembrar que $\,sen(a\,+\,b)\,=$ $\,sen\,a\,\centerdot\,cos\,b\,+\,sen\,b\,\centerdot\,cos\,a\,$
$\,sen\,\hat{A}\,=\,sen75^o\,$ $=\,sen\,(45^o\,+\,30^o)\,=$ $\,sen\,45^o\,\centerdot\,sen\,30^o\,+\,sen\,30^o\,\centerdot\,sen\,45^o\,=\,$ $\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2} + \dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\, =$ $ \dfrac{\,2\sqrt{\,6\;}}{4} = \dfrac{\,\sqrt{\,6\;}}{2}$
$\,sen\,\hat{B}\,=\,sen\,60^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,$
$\,sen\,\hat{C}\,=\,sen45^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,$

$\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{A}\,}{sen\,\hat{C}}\,=$ $\,\dfrac{\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,6\,}}{2}\,}{\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}}\, =$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,6\,}\,\centerdot\,\cancel {2}}{\cancel {2}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,}\,=\,$ $13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\cancel{\sqrt{\,2\,}} }{\cancel{\sqrt{\,2\,}}\,}\,=\,13\,\sqrt{\,3\,}\, m\phantom{X}$

$ \phantom{X}b\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{B}\,}{sen\,\hat{C}}\;=$ $\,\dfrac{\,13\,\centerdot\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,}{\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}}\,=$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\cancel {2}}{\cancel {2}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,}\,=$ $\,13\,\centerdot\,\dfrac{\sqrt{\,3\,}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}}{\sqrt{\,2\,}\,\centerdot\,\sqrt{\,2\,}\,} = \dfrac{\,13\,\sqrt{\,6\,}}{2}\; m\phantom{X}$


×
O ângulo sob o qual um observador vê uma torre duplica quando ele se aproxima 110 m e triplica quando se aproxima mais 50 m. Calcular a altura da torre.

 



resposta: 88 m
×
Num triângulo ABC , o ângulo  é obtuso. Os lados AB e AC medem 3 e 4 , respectivamente. Então:
a) BC < 4
b) BC < 5
c) BC > 7
d) 5 < BC < 7
e) nenhuma das anteriores é correta

 



resposta: (D)
×
Exprimir 1 rad em graus. ( π ≅ 3,14 ) .

 



resposta: 57°19'29''
×
Exprimir 60°15' em radianos. Assuma π ≅ 3,14 .

 



resposta:
Resolução:
Passo 1 - converter 15 minutos em graus.
60°15' = 60° + 15' (I)
mas 1° é o mesmo que 60' , portanto fazemos uma primeira regra de três simples
$\,\left.\begin{array}{rcr} 1^o\,\longrightarrow\,60'\;& \\ x\,\longrightarrow\,15'\;& \\ \end{array} \right\}\,$ $\;\Rightarrow\,x\,=\,\dfrac{\,15'\,\centerdot\,1^o\,}{60'}\,$ $\,\Rightarrow \;x\,=\,0,25^o\;\,$
Então em (I) temos que 60°15' = 60° + 0,25°
Passo 2 - converter 60,25 graus em radianos
Sabendo que 180° é o mesmo que π radianos, fazemos uma segunda regra de três simples:
$\,\left.\begin{array}{rcr} 180^o\,\longrightarrow\,\pi\;& \\ 60,25^o\,\longrightarrow\,y\;& \\ \end{array} \right\}\,$ $\;\Rightarrow\,y\,=\,\dfrac{\,60,25^o\,\times\,3,14\,}{180^o}\,$ $\,\Rightarrow \;y\,=\,1,05\;\,$
Resposta:
$\,\;60^o15'\,\cong\,1,05\,$
×
Exprimir 120° em radianos.

 



resposta:
Resolução:
Sabendo que 180° correspondem a π radianos, escrevemos uma regra de três simples:
$\,\left.\begin{array}{rcr} 180^o\,\longrightarrow\,\pi\;& \\ 120^o\,\longrightarrow\,x\;& \\ \end{array} \right\}\,$ $\;\Rightarrow\,x\,=\,\dfrac{\,120^o\,\centerdot\,\pi\,}{180^o}\,$ $\,\Rightarrow \boxed{\;x\,=\,\dfrac{\,2\pi\,}{\;3\;}\;}\,$
Resposta:$\, \;120^o\,=\,\dfrac{\,2\pi\,}{\;3\;}\,rad\;\,$
×
(FEI MAUÁ) Calcular a distância da origem ao vértice da parábola:$\phantom{X}y\,=\,x^2\,-\,6x\,+\,10\phantom{X}$

 



resposta: $\,d\,=\,\sqrt{\,10\,}\,$
×
Calcular os três ângulos internos de um triângulo $\,ABC\,$ sabendo que a = 2, b = $\,\sqrt{6}\,$ e c = $\,\sqrt{3}\,$ + 1.

 



resposta: $\,\hat{A}\,=\,45^o,\,\hat{B}\,=\,60^o\,e\,\hat{C}\,=\,75^o\,$
×
Um triângulo tem lados a = 10 m , b = 13 m e c = 15 m . Calcular o ângulo $\,\hat{A}\,$ do triângulo.

 



resposta: $\,arc\,cos\dfrac{49}{65}\,$
×
(FEI - 1977) Calcular $\phantom{X}c\phantom{X}$, sabendo que:
$\,a\,=\,4\,$
$\,b\,=\,3\sqrt{\,2\,}\,$
$\,\hat{C}\,=\,45^o\,$
triângulo escaleno

 



resposta: $\,c\,=\,\sqrt{10}\,m\,$
×
Dois lados de um triângulo medem 8 m e 12 m e formam entre si um ângulo de 120° . Calcular o terceiro lado.

 



resposta: $\,4\sqrt{19}\,m\,$
×
Sendo $\,x\,$ um arco do quarto quadrante, qual o sinal da expressão $\phantom{X}y\,=\,\dfrac{\,cossec\,x\,\centerdot\,cossec\,(x\,+\,\pi)\,}{\,cossec\,\left(x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)\,\centerdot\,cos\,x}\phantom{X}$

 



resposta: negativo
×
Calcule, se existir:
a)
$\,cossec\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,$
b)
$\,cossec\,\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,$
c)
$\,cossec\,\pi\,$
d)
$\,cossec\,4\pi\,$

 



resposta: a)1 b)-1 c)não existe d)não existe
×
Avaliar se são possíveis as seguintes igualdades: a) $\,cossec\,x\,=\,0\phantom{X}$ e b) $\,cossec\,x\,=\,2\,$

 



resposta: a) impossível, não existe b) possível, existe.
×
Avaliar se são possíveis as seguintes igualdades: a) $\,sec\,x\,=\,0\phantom{X}$ e b) $\,sec\,x\,=\,-2\,$

 



resposta: a) impossível, não existe b) possível, existe.
×
Qual é o sinal da expressão $\phantom{X}y\,=\,\dfrac{\,sec\,x\,\centerdot\,tg\,x\,\centerdot\,sen\,x\,\,}{\,cos\,\left(x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,\right)\,}\phantom{X}$, sendo $\,0\,\lt\,x\,\lt\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,$

 



resposta: negativo
×
Determine, se existir:
a)
$\,sec\,0\,$
b)
$\,sec\,\pi\,$
c)
$\,sec\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,$
d)
$\,sec\,(-\pi)\,$

 



resposta: a)0 b)-1 c)não existe d)-1
×
Sendo $\phantom{X}x\phantom{X}$ um arco do 3º quadrante , qual o sinal da expressão $\phantom{X}y\,=\,\dfrac{\,tg\,\left(\,x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,\right)\,\centerdot\,cotg\,\left(\,x\,+\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,\right)\,}{\,cotg\,x\,\centerdot\,cotg\,(x\,+\,\pi)\,}\phantom{X}$

 



resposta: positivo
×
Calcule, se existir:
a)
$\,cotg\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,$
b)
$\,cotg\,\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,$
c)
$\,cotg\,4\pi\,$
d)
$\,cotg\,(-4\pi)\,$

 



resposta: a)0 b)0 c)não existe d)não existe
×
a) Para todo arco $\,x\,$ real, existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,\pi\,-\,x\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à   em relação ao  

b) Para todo arco $\,x \in {\rm I\!R}\,$ existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,x\,-\,\pi\,\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à   em relação à  

c) Para todo arco $\,x\,$ real, existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,2\pi\,-\,x\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à   em relação ao  

d) Para todo arco $\,x \in {\rm I\!R}\,$ existe o arco $\phantom{X}\boxed{\; x'\,=\,\dfrac{\,\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\,\;}\phantom{X}$ cuja imagem é simétrica à   em relação à  


 



resposta: a) imagem de $\,x\,$ - eixo dos senos
b) imagem de $\,x\,$ - origem dos eixos
c) imagem de $\,x\,$ - eixo dos cossenos
d) imagem de $\,x\,$ - reta bissetriz do primeiro quadrante

×
a)
Simplificar a expressão $\phantom{X}cos\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,+\,x\right)\phantom{X}$
b)
Calcular $\phantom{X}sen^2\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,+\,x\right) + cos^2\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,+\,x\right)\phantom{X}$
c)
Calcular $\phantom{X}cos^2\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,+\,x\right) + cos^2\,x\phantom{X}$

 



resposta: a)$\,sen\,x\,$ b)1 c)1
×
a)
Simplificar a expressão $\phantom{X}sen\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,+\,x\right)\phantom{X}$
b)
Calcular $\phantom{X}sen^2\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,+\,x\right) + cos^2\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,+\,x\right)\phantom{X}$
c)
Calcular $\phantom{X}sen^2\,x\,+\,sen^2\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,+\,x\right)\phantom{X}$

 



resposta: a)$\,-cos\,x\,$ b)1 c)1
×
a)
Simplificar a expressão $\phantom{X}cos\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\right)\phantom{X}$
b)
Calcular $\phantom{X}sen^2\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\right) + cos^2\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\right)\phantom{X}$
c)
Calcular $\phantom{X}sen^2\,x\,+\,sen^2\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\right)\phantom{X}$

 



resposta: a)$\,-cos\,x\,$ b)1 c)1
×
a)
Simplificar a expressão $\phantom{X}cos\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\right)\phantom{X}$
b)
Calcular $\phantom{X}sen^2\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\right) + cos^2\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\right)\phantom{X}$
c)
Calcular $\phantom{X}cos^2\left(\dfrac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\right)\,+\,cos^2\,x\phantom{X}$

 



resposta: a)$\,-sen\,x\,$ b)1 c)1
×
(PUCRJ - 2018) Simplificando a expressão $\phantom{X}2\,\centerdot\,\dfrac{\,(3^6\,+\,3^5)\,}{\,3^4\,-\,3^3\,}\phantom{X}$
a)
12
b)
13
c)
3
d)
36
e)
1

 



resposta: (D)
×
a)
Simplificar a expressão $\phantom{X}sen\,(\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\,+\,x)\phantom{X}$
b)
Calcular $\phantom{X}sen^2\,\frac{\,4\pi\,}{\,9\,}\,+\,cos^2\,\frac{\,4\pi\,}{\,9\,}\phantom{X}$
c)
Calcular $\phantom{X}sen^2\,\frac{\,4\pi\,}{\,9\,}\,+\,cos^2\,\frac{\,5\pi\,}{\,9\,}\phantom{X}$
d)
Calcular $\phantom{X}\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\,-\,\frac{\,4\pi\,}{\,9\,}\phantom{X}$
e)
Calcular $\phantom{X}\frac{\,5\pi\,}{\,9\,}\,-\,\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\phantom{X}$
f)
Calcular $\phantom{X}sen^2\,\frac{\,4\pi\,}{\,9\,}\,+\,sen^2\,\frac{\,\pi\,}{\,18\,}\phantom{X}$
g)
Calcular $\phantom{X}sen^2\,\frac{\,5\pi\,}{\,9\,}\,+\,sen^2\,\frac{\,\pi\,}{\,18\,}\phantom{X}$

 



resposta: a)$\,cos x\,$b)1c)1d)$\,\frac{\pi}{18}\,$e)$\,\frac{\pi}{18}\,$f)1g)1
×
(VUNESP) A expressão $\phantom{X}\dfrac{\,cos^2\,\theta\,}{\;1\,-\,sen\,\theta}\phantom{X}$, com $\,sen\,\theta\,\ne\,1\,$, é igual a:
a)
$\,sen\,\theta\,$
b)
$\,sen\,\theta\,+\,1\,$
c)
$\,tg\,\theta\,\centerdot\,cos\,\theta\,$
d)
$\,1\,$
e)
$\,\frac{\,sen\,\theta\,}{\,sec\,\theta\,}\,$

 



resposta: (B)
×
Sabendo que $\,sen x - cos x = a\,$, calcule:
a)$\,sen\,x\,\centerdot\,cos\,x\,$
b)$\,sen^3\,x\,-\,cos^3\,x\,$

 



resposta: a)$\,\dfrac{1\,-\,a^2}{2}\,$
b)$\,\dfrac{3a\,-\,a^3}{2}\,$
×
Sabe-se que $\,sen\,\dfrac{\,4\pi\,}{\,9\,}\,=\,a\,$
a)
Qual o sinal de $\,a\,$? Justifique.
b)
Calcule, em função de $\,a\,$, $\,sen\,\dfrac{\,5\pi\,}{\,9\,}\,$.
c)
Calcule $\,sen\,\dfrac{\,\pi\,}{\,18\,}\;$ e $\;cos\,\dfrac{\,\pi\,}{\,18\,}\;$

 



resposta: a) positivo porque o arco $\,\frac{4\pi}{9}\,$ pertence ao primeiro quadrante $\,0\,\lt\,\frac{4\pi}{9}\,\lt\,\frac{\pi}{2}\,$
b)$\,a\,$
c)$\,sen\frac{\pi}{18}\,=\,\sqrt{1\,-\,a^2}\,$ e $\,cos\frac{\pi}{18}\,=\,a\,$
×
Calcule o valor de
a) $\,sen^2\,70^o\,+\,cos^2\,100^o\,$
b) $\,sen^2\,55^o\,+\,cos^2\,55^o\,$

 



resposta: a)1 b)1
×
Para quais valores de $\,x\,$ temos $\,tg\,x\,=\,\sqrt{\,3\,}\,$

 



resposta: $\,x\,=\,\frac{\;\pi\;}{3}\,+\,k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\,$
×
Sabendo que $\phantom{X}tg\,x\,=\,3\phantom{X}$, $\phantom{X}\pi\,\lt\,x\,\lt\,\frac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,$, calcule $\,sen\,x\;-\;cos\,x\,$.

 



resposta: $\,-\frac{\sqrt{10\,}}{5}\,$
×
Dado que $\,tg\,x\,=\,-2\;$, calcule o valor de $\,\dfrac{\,4\,cos\,x\,}{\,3\,sen\,x\,}\,$.

 



resposta: -2/3
×
Calcule o valor da expressão $\phantom{X}y\,=\,3\,\centerdot\,tg\,\dfrac{\,\pi\,}{4}\,-\,2\,\centerdot\,tg\,\dfrac{\,\pi\,}{3}\,\centerdot\,tg\,\dfrac{\,\pi\,}{6}\,-\,tg\,\dfrac{\,3\pi\,}{4}\phantom{X}$

 



resposta: 2
×
Se $\,x \in {\rm I\!R}\,$ é tal que $\,|sen\,x|\,=\,|cos\,x|\,$, quanto vale $\,tg\,x\,$?

 



resposta: $\,\pm\,1\,$
×
Com $\phantom{X}0\,\lt\,x\,\lt\,\pi\;$ e $\;sen\,x\,=\,\dfrac{\,1\,}{\,8\,}\,$, quanto vale $\,tg\,x\,$?

 



resposta: $\,\pm\,\frac{\sqrt{7\,}}{21}\,$
×
Sendo $\phantom{X}sen\,x\,=\,-\dfrac{\,1\,}{\,3\,}\phantom{X}$, $\phantom{X}\pi\,\lt\,x\,\lt\,\frac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,$, obtenha $\,tg\,x\,$

 



resposta: $\,\frac{\sqrt{2\,}}{4}\,$
×
Dado $\phantom{X}cos\,x\,=\,\dfrac{\,1\,}{\,6\,}\phantom{X}$, $\phantom{X}0\,\lt\,x\,\lt\,\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\,$, determine $\,tg\,x\,$

 



resposta: $\,\sqrt{35\,}\,$
×
Disponha em ordem crescente os números reais $\phantom{X}tg\dfrac{\,\pi\,}{\,6\,}\,$, $\,tg\dfrac{\,\pi\,}{\,3\,}\,$, $\,tg\,\pi\,$, $\,tg\dfrac{\,\pi\,}{\,4\,}\,$, $\,tg\dfrac{\,3\pi\,}{\,4\,}\,$, $\,tg\dfrac{\,2\pi\,}{\,3\,}\,$.

 



resposta: $\,tg\frac{\,2\pi\,}{\,3\,}\,\lt\,tg\frac{\,3\pi\,}{\,4\,}\,\lt\,tg\,\pi\,\lt\,tg\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\,\lt\,tg\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\,\lt\,tg\frac{\,\pi\,}{\,3\,}$
×
Determine o sinal da expressão $\phantom{X}y\,=\,tg^2\,\dfrac{\,\pi\,}{\,5\,}\,\centerdot\,tg\,\dfrac{\,4\pi\,}{\,5\,}\,\centerdot\,tg\,\dfrac{\,6\pi\,}{\,5\,}\,\centerdot\,tg\,\dfrac{\,8\pi\,}{\,5\,}\phantom{X}$.

 



resposta: positivo
×
Encontre os valores de x para os quais temos:
a)
sen x = cos x
b)
sen² x = 1

 



resposta: a) $\,\frac{\pi}{4}\,+\,k\pi\;,\;k\,\in\,\mathbb{Z}\,$ b) $\,\frac{\pi}{2}\,+\,k\pi\;,\;k\,\in\,\mathbb{Z}\,$
×
Sabendo que $\phantom{X}6\,cos\,x\,-\,1\,=\,4\phantom{X}$, com $\,\frac{\,3\pi\,}{\,2\,}\,\lt\,x\,\lt\,2\pi\;$, obtenha $\,sen\,x\,$

 



resposta: $\,-\frac{\,\sqrt{\,11\,}}{\,6\,}\,$
×
Se $\,cos\,x\,=\,\frac{\,2\,}{\,3\,}\phantom{X}$ e $\,x\,$ está no primeiro quadrante, determine $\,sen x\,$ e $\,sen \left(\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\,-\,x\,\right)\,$

 



resposta: $\,\dfrac{\,\sqrt{\,5\,}}{\,3\,}\,$ e $\,\dfrac{\,2\,}{\,3\,}\,$
×
Sendo $\,sen\,x\,=\,\frac{\,4\,}{\,5\,}\phantom{X}$ e $\phantom{X}\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\,\lt\,x\,\lt\,\pi\,$, determine $\,cos\,x\,$.

 



resposta: -3/5
×
Encontre o perímetro do triângulo OAB , situado no 2º quadrante do ciclo trigonométrico.
ciclo trigonométrico com arco 120 graus

 



resposta: $\,\frac{\,3\,+\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,$
×
Sendo $\phantom{X}k\;\in\;\mathbb{Z}\phantom{X}$, calcule em cada caso o valor de $\,cos\,x\,$, com:
a)
$\,x\,=\,2k\pi\,$
b)
$\,x\,=\,(2k\,+\,1)\pi\,$
c)
$\,x\,=\,(2k\,-\,1)\dfrac{\,\pi\,}{2}$
d)
$\,x\,=\,\pm\dfrac{\,\pi\,}{3}\,+\,2k\pi\,$

 



resposta: a)1b)-1c)0d)1/2
×
Escreva a expressão geral dos arcos x para os quais temos:
a) $\,cos\,x\,=\,-\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,$
b) $\,cos\,x\,=\,0\,$

 



resposta: a) $\,x\,=\,\pm\dfrac{\,3\pi\,}{4}\,+\,2k\pi\;,\;k\,\in\,\mathbb{Z}\,$
b) $\,x\,=\,\dfrac{\,\pi\,}{2}\,+\,k\pi\;,\;k\,\in\,\mathbb{Z}\,$
×
Para que se tenha cos x = 3m - 1 , quais são os possíveis valores de m ?

 



resposta: $\,0\,\leqslant\,m\,\leqslant\,\frac{2}{3}\;,\,m\,\in\,{\rm\,I\!R}\;$
×
Forneça o sinal de cada uma das expressões abaixo:
a)
cos 125° - cos 124°
b)
$cos\,\dfrac{\,\pi\,}{7}\,\centerdot \,cos\,7\pi\,\centerdot\,cos\,4\pi$
c)
(1 + cos x) . (1 - cos x) , x ∈ ${\rm I\!R}$

 



resposta: a)negativo b)negativo c)positivo ou nulo
×
Dê o valor de:
a)
$\,cos\,\frac{\,5\pi\,}{3}\,$
b)
$\,cos\,\frac{\,7\pi\,}{6}\,$
c)
$\,cos\,\frac{\,7\pi\,}{4}\,$
d)
$\,cos\,720^o\,$
e)
$\,cos\,120^o\,$
f)
$\,cos\,\frac{\,\pi\,}{2}\,$
g)
$\,cos\,150^o\,$
h)
$\,cos\,\left(\frac{\,\pi\,}{2}\,+\,\pi \right)\,$
i)
$\,cos\,x\,-\,cos\,y\,$ sendo $\,x\,+\,y\,=\,2\pi\,$

 



resposta:
a)
1/2
b)
$\,\frac{-\sqrt{3}}{2}\,$
c)
$\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,$
d)
1
e)
-1/2
f)
0
g)
$\,\frac{-\sqrt{3}}{2}\,$
h)
0
i)
0

×
Escreva a expressão geral dos $\,arcos\;x\,$ para os quais temos $\,sen\,x\,=\,\pm\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,$

 



resposta: $\,x\,=\,\frac{\,\pi\,}{3}\,+\,k\pi\,$ ou $\,x\,=\,\frac{\,2\pi\,}{3}\,+\,k\pi,\,k\,\in\,\mathbb{Z}\,$
×
Sendo $\;k\,\in\,\mathbb{Z}\;$, calcule, em cada caso, o valor de $\,sen\,x\,$, com:
a)
$\,x\,=\,(2k\,+\,1)\,\centerdot\,\pi\,$
b)
$\,x\,=\,(2k\,+\,1)\dfrac{\,\pi\,}{2}\,$
c)
$\,x\,=\,\dfrac{\,\pi\,}{4}\,+\,k\pi\,$
d)
$\,x\,=\,-\dfrac{\,\pi\,}{3}\,+\,2k\pi\,$ ou $\,x\,=\,-\dfrac{\,2\pi\,}{3}\,+\,2k\pi\,$

 



resposta:
a)
0
b)
$\,\pm\,1\,$
c)
$\,\pm\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,$
d)
$\,-\frac{\sqrt{\,3\,}}{2}\,$

×
Dê o sinal de cada uma das expressões:
a)
$\,sen\frac{\,\pi\,}{5}\,\centerdot\, sen\frac{\,\pi\,}{3}\centerdot\,sen\frac{\,3\pi\,}{5}\centerdot\,sen\frac{\,5\pi\,}{3}\,$
b)
$\,(1\,-\,sen\,x)(1\,+\,sen\,x),\phantom{X}x\,\in\,{\rm I\!R}\,$
c)
$\,sen\,111^o\;-\;sen\,110^o$

 



resposta: a - negativo; b-positivo ou nulo; c-negativo
×
Calcule:
a)
sen 300°
b)
sen 330°
c)
sen $\,5\pi\,$
d)
sen$\,-\frac{\,\pi\;}{\;4\;}\,$
e)
$\,\dfrac{sen\,\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\;-\;sen\,\frac{\,\pi\,}{\,3\,}}{sen\,\frac{\,\pi\,}{\,6\,}}\,$
f)
$\,\dfrac{sen\,\frac{\,\pi\,}{\,4\,}\;-\;sen\,\frac{\,4\pi\,}{\,3\,}}{sen^2\,\frac{\,5\pi\,}{\,6\,}}\,$

 



resposta:
a)
$\,\frac{-\sqrt{3}}{2}\,$
b)
-1/2
c)
0
d)
$\,\frac{-\sqrt{2}}{2}\,$
e)
$\,2 - \sqrt{3}\,$
f)
$\,-\sqrt{\,6\;}\,$

×
Associe os valores da 2ª coluna correspondentes senos da 1ª coluna:
A.
sen 120°
B.
sen$\,\dfrac{\,3\pi\;}{\;4\;}\,$
C.
sen$\,\pi\,$
D.
sen$\,\dfrac{\,4\pi\,}{\;3\;}\,$
E.
sen$\,\dfrac{\,7\pi\,}{\;4\;}\,$
F.
sen 270°
1.
$\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}\,}{2}\,$
2.
-1
3.
$\,\dfrac{\,-\sqrt{\,2\;}\,}{2}\,$
4.
sen 0°
5.
$\,-\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}\,}{2}\,$
6.
$\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}\,}{2}\,$

 



resposta: A-6; B-1; C-4; D-5; E-3; F-2
×
Calcular a 4a determinação negativa do arco de 810o

 



resposta: -1350o
×
Calcular a terceira determinação positiva do arco de 1910o.

 



resposta: 830o
×
Calcular a primeira determinação positiva (a0) dos seguintes arcos:
a)
1620o
b)
$\,125\dfrac{\;\pi\;}{11}\,$
c)
-810o
d)
$\,-97\dfrac{\;\pi\;}{7}\,$

 



resposta:
a)
ao = 180o
b)
ao=$\,15\frac{\pi}{\,11\,}\,$
c)
ao=270o
d)
ao=$\,\frac{\pi}{\,7\,}\,$

×
Para os itens seguintes, considere as funções $\,f\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\phantom{X}$ e $\phantom{X}g\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\;$ a seguir:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} f(x)\,=\,-\frac{\,2\,}{3}x\,+\,\frac{\,8\,}{3}\,& \\ g(x)\,=\,x\,+\,1\phantom{XXX}& \\ \end{array} \right.\,$

a) Represente num mesmo plano
cartesiano as funções f(x) e g(x) .

b) Calcule para quais valores
de $\;x\;$ as imagens
de f(x) e g(x) são iguais.
eixo x0y quadriculado
c)
Calcule para quais intervalos do $\;x\;$ temos f(x) < 0 .

 

d)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos g(x) < 0 .

 

e)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos f(x) > g(x) .

 

f)
Calcule os zeros das funções citadas.

 


 



resposta: a)
funções f(x) afim e g(x) afim resposta

×
Para os itens seguintes, considere as funções $\,f\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\phantom{X}$ e $\phantom{X}g\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\;$ a seguir:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} f(x)\,=\,3\phantom{XXX}& \\ g(x)\,=\,x\,+\,1\;& \\ \end{array} \right.\,$
a) Represente num mesmo plano
cartesiano as funções f(x) e g(x) .

b) Calcule para quais valores
de $\;x\;$ as imagens
de f(x) e g(x) são iguais.
eixo x0y quadriculado
c)
Calcule para quais intervalos do $\;x\;$ temos f(x) < 0 .

 

d)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos g(x) < 0 .

 

e)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos f(x) > g(x) .

 

f)
Calcule as raízes de cada uma das funções citadas. .

 


 



resposta: a)
funções f(x) e g(x) resposta

×
Dados os gráficos das funções $\phantom{X}f,\;g\phantom{X}$ e $\phantom{X}h\phantom{X}$ definidas em $\,{\rm I\!R}\,$. Determinar os valores de $\,x \in {\rm I\!R}\,$, tais que:
a)
$\,f(x)\;\gt\;g(x)\,$
b)
$\,g(x)\;\leqslant\;h(x)\,$
c)
$\,f(x)\;\geqslant\;h(x)\,$
d)
$\,g(x)\;\gt\;4\,$
e)
$\,f(x)\;\leqslant\;0\,$
funções f, g e h no quadriculado

 



resposta: a) x > 2 b) x $\geqslant$ 0 c) ∄ x ∈ R d) x < -2 e) x $\leqslant$ 3
×
Sejam as funções $\,f(x)\,=\,2x\,+\,3\;$, $\phantom{X}g(x)\,=\,2\,-\,3x\phantom{X}$ e $\phantom{X}h(x)\,=\,\dfrac{\,4x\,-\,1\,}{2}\phantom{X}$ definidas em $\,{\rm I\!R}\,$. Para que valores de $\,x\;\in\;{\rm I\!R}\,$, tem-se:
a)
$\,f(x)\,\geqslant\,g(x)\,$?
b)
$\,g(x)\,\lt\,h(x)\,$
c)
$\,f(x)\,\geqslant\,h(x)\,$

 



resposta:
a)
$\,x\,\geqslant\,\frac{\,-1\,}{5}\,$;
b)
$\,x\,\gt\,\frac{1}{2}\,$;
c)
$\,\forall\,x\,\in\,{\rm I\!R}$

×
Para que valores de $\,x\,\in\,{\rm I\!R}\,$ a função $\,f(x)\;=\;\dfrac{\;2\;}{3}\;-\;\dfrac{\;x\;}{2}\phantom{X}$ é negativa?

 



resposta: x > 4/3
×
Para que valores do domínio da função de de $\,{\rm I\!R}\,$ em $\,{\rm I\!R}\,$ definida por $\,f(x)\;=\;\dfrac{\;3x\,-\,1\;}{2}\phantom{X}$ a imagem é menor que 4 ?

 



resposta: x < 3
×
Seja a função de $\,{\rm I\!R}\,$ em $\,{\rm I\!R}\,$ definida por $\,f(x)\,=\,4x\,-\,5\,$. Determine os valores do domínio da função que produzem imagens maiores que 2.

 



resposta: x > 7/4
×
Estudar os sinais das funções definidas em $\; {\rm I\!R}\;$:
a)
$\,y\;=\;2x\;+\;3\,$
b)
$\,y\;=\;-3x\;+\;2\,$
c)
$\,y\;=\;4\;-\;x\,$
d)
$\,y\;=\;5\;+\;x\,$
e)
$\,y\;=\;3\;-\;\dfrac{\;x\;}{2}\,$
f)
$\,y\;=\;\dfrac{\;x\;}{3}\;+\;\dfrac{\;3\;}{2}\,$
g)
$\,y\;=\;2x\;-\;\dfrac{\;4\;}{3}\,$
h)
$\,y\;=\;-x\,$

 



resposta:
×
Estudar os sinais das funções cujos gráficos estão representados abaixo
a)
gráfico da função f(x) sinuosa
b)
gráfico da função sinuosa g(x)
c)
gráfico da função sinuosa h(x)

 



resposta:
a)
$\,f(x)\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;=\;-5\;$ ou $\;x\;=\;2\;$ ou $\;x\;=\;6\;\,$
$\,f(x)\;\gt\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;\lt\;-5\;$ ou $\;-3\;\lt\;x\;\lt\;2\;$ ou $\;x\;\gt\;6\;\,$
$\,f(x)\;\lt\;0\;\Longleftrightarrow\;-5\;\lt\;x\;\lt\;-3\;$ ou $\;2\;\lt\;x\;\lt\;6\;\,$
b)
$\,g(x)\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;=\;-3\;$ ou $\;x\;=\;-1\;$ ou $\;x\;=\;3\;\,$
$\,g(x)\;\gt\;0\;\Longleftrightarrow\;-3\;\lt\;x\;\lt\;-1\;$
$\,g(x)\;\lt\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;\lt\;-3\;$ ou $\;x\;\gt\;-1\;{\text e}\;x\;\neq\;3\,$
c)
$\,h(x)\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;=\;-2\,$
$\,h(x)\;\gt\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;\neq\;-2\;$

×
Estudar, segundo os valores do parâmetro $\,m\,\in\,{\rm I\!R}$, a variação (crescente, decrescente, constante) das funções abaixo:
a)
$\,y\,=\,(m\,+\,2)x\,-\,3\,$
b)
$\,y\,=\,(4\,-\,m)x\,+\,2\,$
c)
$\,y\,=\,4\,-\,(m\,+\,3)x\,$
d)
$\,7\,=\,m(x\,-\,1)\,+\,3\,-\,x\,$

 



resposta:
×
Especificar, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em $\,{\rm I\!R}\,$:
a)
y = 1 + 5x
b)
y = -3 - 2x
c)
y = x + 2 
d)
y = 3 - x
e)
y = -2x   
f)
y = 3x

 



resposta:
a)
crescente
b)
decrescente
c)
crescente
d)
decrescente
e)
decrescente
f)
crescente

×
Calcular a área lateral, a área total e o volume de um cone equilátero circunscrito a uma esfera de raio $\,r\,$.
esfera inscrita num cone equilátero

 



resposta: $\,A_{\text lat}\,=\,6\,\pi\,r^2\,$; $\,A_{\text total}\,=\,9\,\pi\,r^2\,$; $\,V_{\text olume}\,=\,3\,\pi\,r^3\,$
×
Na figura seguinte:
$\,\overline{PP'}\,$ é diâmetro da esfera de centro $\,O\,$, $\;M\,$ é o centro de uma secção plana perpendicular a $\,\overline{PP'}\,$. Temos também que $\,\overline{AP}\,=\,6\,cm\;$ e $\,\overline{AP'}\,=\,8\,cm\;$. Calcular a área do círculo de centro $\,M\,$.
esfera e secção plana

 



resposta: resposta
×
(FUVEST - 2002) Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado lado $\,4\,$ cm e altura $\,20\sqrt{\,3\,}\;$cm , com $\,\frac{\,2\,}{\,3\,}\,$ de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 30° com o solo. (Veja a seção lateral abaixo). Determinar a altura h do nível da água em relaçao ao solo.
paralelepípedo tombado

 



resposta: h = 21 cm
×
(FUVEST - 2002) Determine as soluções da equação$\phantom{X}(2\operatorname{cos^2}\,x\;+\;3\operatorname{sen}\,x)(\operatorname{cos^2}\,x\;-\;\operatorname{sen^2}\,x)\,=\,0\phantom{X}$que estão no intervalo $\phantom{X}\left[0, 2\pi\right]\phantom{X}$

 



resposta: $\,\lbrace\,\frac{\,\pi\,}{4}\,,\,\frac{\,3\pi\,}{4},\,\frac{\,5\pi\,}{4},\,\frac{\,7\pi\,}{4},\,\frac{\,7\pi\,}{6},\,\frac{\,11\pi\,}{6}\,\rbrace\,$
×
(FUVEST - 2002) As raízes do polinômio p(x) = x³ - 3x² + m , onde m é um número real, estão em progressão aritmética. Determine:
a) o valor de m ;
b) as raízes desse polinômio.

 



resposta: a) m = 2; b) raízes $\,1\,-\,\sqrt{3},\,1\,e\,1\,+\,\sqrt{3}\,$
×
(FUVEST - 1998) Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto que a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.
a)
Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos cincos pontos extras.
b)
Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?

 



resposta: a) 72,2 b) 3
×
(FUVEST - 2001) Um dado, cujas faces estão numeradas de um a seis, é dito perfeito se cada uma das seis faces tem probabilidade 1/6 de ocorrer em um lançamento. Considere o experimento que consiste em três lançamentos independentes de um dado perfeito. Calcule a probabilidade de que o produto desses três números seja:
a) par;
b) múltiplo de 10.

 



resposta: a) 7/8 b) 1/3
×
(FUVEST - 2001) Na figura abaixo, tem-se um cilindro circular reto, onde A e B são os centros das bases e C é um ponto da intersecção da superfície lateral com a base inferior do cilindro. Se D é o ponto do segmento $\,\overline{BC}\,$, cujas distâncias a $\,\overline{AC}\,$ e $\,\overline{AB}\,$ são ambas iguais a d , obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área total (área lateral somada com as áreas das bases), em função de d .
cilindro

 



resposta: d/2
×
(FUVEST - 2001) No plano complexo, cada ponto representa um número complexo. Nesse plano, considere o hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade imaginária, como um de seus vértices.
a)
Determine os vértices do hexágono.
b)
Determine os coeficientes de um polinômio de grau 6, cujas raízes sejam os vértices do hexágono.

 



resposta: a) $\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} + \frac{1}{2}i\,$; $\,-\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} + \frac{1}{2}i\,$; $\,-\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} - \frac{1}{2}i\,$; $\,-i\,$; $\,\frac{\sqrt{3\,}\,}{2} - \frac{1}{2}i\,$;
b) 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1
×
(FUVEST - 1998) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e o prolongamento desses lados forma ângulo de 60°.
quadrilátero irregular
a)
Indicando por $\,\hat{A}\,$, $\,\hat{B}\,$, $\,\hat{C}\;$ e $\;\hat{D}\,$, respectivamente, as medidas dos ângulos internos do quadrilátero de vértices $\,A, B, C \;$ e $\;D\,$, calcule $\,\hat{A}\, + \,\hat{B}\;$ e $\;\hat{C}\, + \,\hat{D}\,$.
b)
Sejam $\,J\,$ o ponto médio de $\,\overline{DC}\,$, $\,M\,$ o ponto médio de $\,\overline{AC}\,$ e $\,N\,$ o ponto médio de $\,\overline{BD}\,$. Calcule $\,JM\,$ e $\,JN\,$.
c)
Calcule a medida do ângulo $\,M\hat{J}N\,$.

 



resposta: a) $\,\hat{A} + \hat{B} = 120^o\,$ e $\,\hat{D} + \hat{C} = 240^o\,$
b) JM = 1 e JN = 1
c) ⊾MJN = 60°
×
(FUVEST - 1998) No cubo de aresta 1, considere as arestas $\,\overline{AC}\;$ e $\;\overline{BD}\,$ e o ponto médio, $\,M\,$, de $\,\overline{AC}\;$.
a)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{A}D\,$.
b)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{M}D\,$.
c)
Qual dos ângulos $\,B\hat{A}D\,$ ou $\,B\hat{M}D\,$ é maior? Justifique.
cubo de aresta 1

 



resposta: a) $\,cosB\hat{A}D\,=\,\frac{\,\sqrt{6\,}\,}{3}\,$
b) $\,cosB\hat{M}D\,=\,\frac{\,7\,}{9}\,$
c) como a função cosseno é decrescente para ângulos agudos, se cos(BÂD) > cos(BMD) decorre que (BÂD) < (BMD)
×
(FUVEST - 1998) Considere um ângulo reto de vértice V e a bissetriz desse ângulo. Uma circunferência de raio 1 tem o seu centro C nessa bissetriz e VC = x .
a)
Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 4 pontos?
b)
Para que valores de x a circunferência intercepta os lados do ângulo em exatamente 2 pontos?

 



resposta: a) $\phantom{X}\,1\,\lt\,x\,\lt\,\sqrt{\,2\;}\phantom{X}$
b) $\phantom{X} 0\,\leqslant\,x\,\lt\,1\;$ou$\,x\,=\,\sqrt{\,2\;}$
×
(FUVEST - 1998) 500 moedas são distribuídas entre três pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, então, receberá as moedas restantes.
a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu? (Deixe explícito como você obteve a resposta.)
b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas?

 



resposta: a) B recebeu as 4 moedas restantes.
b) A recebeu 176 moedas, B recebeu 159 moedas e C recebeu 165 moedas.
×
(FUVEST - 1998) P(x) é um polinômio de grau $\,\geqslant\,2\,$ e tal que P(1) = 2 e P(2) = 1 . Sejam D(x) = (x - 2)(x - 1) e Q(x) o quociente da divisão de P(x) por D(x) .

a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x).
b) Sabendo que o termo independente de P(x) é igual a 8, determine o termo independente de Q(x).


 



resposta: a) -x + 3 b) 5/2
×
(FUVEST - 1998)
a) Expresse $\phantom{X}\operatorname{sen}3\,\alpha\phantom{X}$ em função de $\phantom{X}\operatorname{sen}\alpha\,$.
b) Resolva a inequação $\phantom{X}\operatorname{sen}3\,\alpha\;\gt\;2\operatorname{sen}\alpha\phantom{X}\,$ para $\phantom{X}0\,\lt\,\alpha\,\lt\,\pi\;$.

 



resposta: a) sen3α = 3.senα - 4.sen³α
b)$\,S\,=\,$ $\lbrace\,\alpha\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,0\,\lt\,\alpha\,\lt\,\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\;{\text ou}\;\frac{\,5\pi\,}{\,6\,}\,\lt\,\alpha\,\lt\,\pi\,\rbrace\,$
×
Responda para cada um dos gráficos abaixo se representam ou não uma função e, em caso positivo, estabeleça o conjunto domínio e o conjunto imagem.
a)
gráfico função sigmóide
b)
gráfico função
c)
gráfico x0y de função
d)
função curva
e)
isso não é função
f)
função representada no gráfico cartesiano

 



resposta:

a) $\,D\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\,|\,-2\,\leqslant\,x\,\leqslant\,3\,\rbrace\,\;$
$\,Im\,=\,\lbrace\,y\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-1\,\leqslant\,y\,\leqslant\,4\,\rbrace\,$ ou D = [-2 ; 3] e Im = [-1 ; 4]

b) $\,D\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\,|\,x\,\neq\,0\,\rbrace\,\;$
$\,Im\,=\,\lbrace\,y\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-2\,\lt\,y\,\lt\,0\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}1\,\lt\,y\,\lt\,2\,\rbrace\,$ ou D = R-{0} e Im = ]-2 ; 0[ ∪ ]1 ; 2[

c) não é função.

d) $\,D\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\,|\,-2\,\leqslant\,x\,\leqslant\,1\,\rbrace\,\;$
$\,Im\,=\,\lbrace\,y\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,0\,\leqslant\,y\,\leqslant\,4\,\rbrace\,$ ou D = [-2 ; 1] e Im = [0 ; 4]

e) não é função

f) $\,D\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\,|\,-2\,\lt\,x\,\lt\,2\,\rbrace\,\;$
$\,Im\,=\,\lbrace\,1; 2\,\rbrace\,$ ou D = ]-2 ; 2[ e Im = {1, 2}


×
Determinar a medida do ângulo $\,x\,$ conforme a figura:
ângulo excêntrico interno

 



resposta:
O ângulo $\,\hat{x}\,$ é a média aritmética dos arcos.
$\,x\,=\,\dfrac{\,80\,+\,50\,}{2}\,=\,65^o\,$
Ângulos com vértice no interior do círculo:
Ângulo Excêntrico Interior
ângulo excêntrico interior
$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}\,+\,\stackrel \frown{MN}}{2}\;$
 
$\;\alpha\;=\;\dfrac{\;a\,+\,b\;}{\;2\;}\;$

×
Veja exercÍcio sobre:
trigonometria
conjunto das determinações de um arco trigonométrico