Exercício sobre prismas

(FEI - 1982) O sólido ao lado é composto de dois cubos de arestas 2 cm e 1 cm e centros M e N .
a) Achar a distância AB.
b) Achar a distância MN.

dois cubos sobrepostos de centros M e N e arestas 1 cm e 2 cm

resposta: $\;\overline{AB}\,=\,\sqrt{10}\,\mbox{cm}\;$ e $\;\overline{MN}\,=\,\dfrac{\sqrt{11}}{2}\,\mbox{cm}\;$

Considerações:
Observando-se a vista lateral do sólido, como na figura, o prolongamento da aresta lateral do cubo menor que contém o ponto A define o triângulo retângulo ACB, reto em C. Nesse triângulo aplicaremos o teorema de Pitágoras.

vista lateral do sólido formado por dois cubos de 1cm e 2cm de aresta

Resolução:

$\,\left.\begin{array}{rcr} \mbox{cateto menor } \phantom{X}\;\,\rightarrow\, & \;\;\overline{AC}\;\mbox{ = 1 cm }\; \\ \,\mbox{cateto maior }\phantom{XX} \rightarrow\, & \overline{BC}\;\mbox{ = 3 cm}\\ \mbox{teorema de Pitágoras}\, \rightarrow\, & (\overline{AB})^{\large 2}\,=\,(\overline{AC})^{\large 2}\,+\,(\overline{BC})^{\large 2}\; \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$

$\;\Rightarrow\;(\overline{AB})^{\large 2}\,=\,(1)^{\large 2}\,+\,(3)^{\large 2}\;\Leftrightarrow\;\boxed{\;\overline{AB}\,=\,\sqrt{10} \mbox{ cm}\;}$

Considerações:
Para calcular a distância $\;\overline{MN}\;$ consideraremos um plano que passe pelo centro de ambos os cubos e pelas diagonais das bases de ambos os cubos, gerando no sólido a secção representada no polígono azul da figura.

secção diagonal do sólido formado por dois cubos de 1cm e 2cm de aresta

Resolução:

Consideremos o triângulo NPM reto em P.
$\,\left.\begin{array}{rcr} \mbox{cateto menor } \phantom{X}\;\,\rightarrow\, & \;\;\overline{PM}\,=\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mbox{ cm }\; \\ \,\mbox{cateto maior }\phantom{XX} \rightarrow\, & \overline{NP}\,=\,\dfrac{3}{2}\mbox{ cm}\\ \mbox{teorema de Pitágoras}\, \rightarrow\, & (\overline{MN})^{\large 2}\,=\,(\overline{MP})^{\large 2}\,+\,(\overline{NP})^{\large 2}\; \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$

$\;\Rightarrow\;(\overline{MN})^{\large 2}\,=\,(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^{\large 2}\,+\,(\dfrac{3}{2})^{\large 2}\;\Leftrightarrow\;\boxed{\;\overline{MN}\,=\,\dfrac{\sqrt{11}}{2} \mbox{ cm}\;}$