Exercício sobre geometria analítica

Determinar as coordenadas do centro e o raio de cada uma das circunferências abaixo:

$\;(x\,-\,5)^2\,+\,(y\,-\,7)^2\,=\,64\,$

$\;x^2\,+\,y^2\,-\,12x\,+\,16y\,-\,1\,=\,0\,$

resposta: a)

Resolução:

$\;(x\,-\,5)^2\,+\,(y\,-\,7)^2\,=\,64\,$

A equação reduzida da circunferência de centro C(a,b) e raio R:

$(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\;$, e temos que

$(x\,-\,5)^2\,+\,(y\,-\,7)^2\,=\,64\;\Rightarrow$ $\boxed{\;C\,(5\,,\,7)\;}$ e

$R^2\,=\,64\;\Rightarrow\;\boxed{\;R\,=\,8\;}$

$\boxed{\;C\,(5\,,\,7)\;\text{ e }\;R\,=\,8\;}$
b)

Resolução:

$\;x^2\,+\,y^2\,-\,12x\,+\,16y\,-\,1\,=\,0\,$

A equação geral da circunferência de centro (a,b) e raio R:

$x^2\,+\,y^2\,+\,mx\,+\,ny\,+\,p\,=\,0\,$. Então

$\left.\begin{array}{rcr}\,a\,=\,-{\large \frac{m}{2}}\;\Rightarrow\;a\,=\,-{\large \frac{(-12)}{2}}\;\Rightarrow\;a\,=\,6 \;& \\ \,b\,=\,-{\large \frac{n}{2}}\;\Rightarrow\;b\,=\,-{\large \frac{(+16)}{2}}\;\Rightarrow\;b\,=\,-8 & \\ \end{array} \right\}$ $\;\Rightarrow \; \boxed{\;C\,(6\,,\,-8) \;}$

$p\,=\,a^2\,+\,b^2\,-\,R^2\;\Rightarrow $ $\;-1\,=\,6^2\,+\,(-8)^2\,-\,R^2\;\Rightarrow$ $\;R^2\,=\,101\;\Rightarrow\;\boxed{\;R\,=\,\sqrt{101}\;}$

$\;\boxed{\;C\,(6\,,\,-8)\;\text{ e }\;R\,=\,\sqrt{101}\;}$
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