Lista de exercícios do ensino médio para impressão
O triângulo retângulo $\,OAB\,$ gira em torno do cateto $\,OA\,$, determinando um sólido no espaço. O volume gerado pela região $\,OAM\,$ é igual ao gerado pela região $\,OMB\,$. Então a razão $\,\dfrac{AM}{AB}\,$ será:
a)
$\,\dfrac{1}{2}\,$
b)
$\,\dfrac{1}{3}\,$
c)
$\,\sqrt{2}\,$
d)
$\,2\sqrt{2}\,$
e)
$\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,$
triângulo retângulo OAB com segmento OM

 



resposta:
cone de revolução gerado pelo triângulos AOB
Considerações:

Uma região gerada por um triângulo retângulo girando uma volta completa em torno de um de seus catetos é um cone circular reto chamado de cone de revolução.

Observe atentamente a figura ao lado e verifique que:
1. o triângulo retângulo OAB gira em torno do cateto OA gerando o cone circular representado com superfície verde.
2. o triângulo retângulo OAM interno gira em torno do cateto OA gerando o cone circular interno representado na cor cinza.
A reta que contém o segmento OA é chamada eixo de ambos os cones.
Segundo o enunciado:
1. o volume do cone interno cinza gerado pelo triângulo OAM é o mesmo volume que o cone externo gerado pelo triângulo OAB subtraído o volume interno do cone gerado por OAM. Como na figura, o volume do cone externo verde subtraído o cone interno cinza é igual ao volume do cone interno cinza.
2. o examinador deseja a razão $\;\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\,$, que é a razão do cateto inferior de OAM sobre o cateto inferior de OAB: $\;\rightarrow\,\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\;=\;\dfrac{(a)}{(a\,+\,b)}$
Resolução:
Volume gerado pela região OAM é $\,\dfrac{\pi(a)^{\large 2}\centerdot H}{3}\,=\,\dfrac{\pi H(a)^{\large 2}}{3}\;\;$(I)
Volume gerado pela região OMB é :(volume do cone gerado OAB) subtraído (volume gerado por OAM): $\,\dfrac{\pi(\overline{AB})^{\large 2}\centerdot H}{3}\, - \,\dfrac{\pi(\overline{AM})^{\large 2}\centerdot H}{3}\phantom{X}=\phantom{X}$ $\,\dfrac{\pi}{3}\centerdot H \left( (\overline{AB})^{\large 2}\,-\,(\overline{AM})^{\large 2} \right)\;\;=\phantom{X}$ $\,\dfrac{\pi}{3}\centerdot H \left( (a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2} \right)\;\;$(II)
Conforme o enunciado, igualando (I) e (II) temos:
$\,\require{cancel} \cancel{\dfrac{\pi H}{3}}(a)^{\large 2}\, = \,\cancel{\dfrac{\pi H}{3}}\left( (a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2} \right)$
$\, (a)^{\large 2}\, = \,(a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2}$
$\, 2(a)^{\large 2}\, = \,(a + b)^{\large 2}\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}$
dividindo os dois lados da igualdade por $\,2(a\,+\,b)^{\large 2}$
$\dfrac{2(a)^{\large 2}}{2(a\,+\,b)^{\large 2}}\,=\,\dfrac{(a\,+\,b)^{\large 2}}{2(a\,+\,b)^{\large 2}}\,$ $\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}\dfrac{\cancel{2}(a)^{\large 2}}{\cancel{2}(a\,+\,b)^{\large 2}}\,=\,\dfrac{\cancel{(a\,+\,b)^{\large 2}}}{2\cancel{(a\,+\,b)^{\large 2}}}\,$ $\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}\left(\dfrac{a}{a + b}\right)^{\large 2}\,=\,\dfrac{1}{2}\,\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}$
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \dfrac{a}{a + b}\,=\,+\sqrt{\dfrac{1}{2}} \;\Rightarrow\;\boxed{\,\dfrac{a}{a + b}\,=\,+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,} & \; \\ \cancel{\,\dfrac{a}{a + b}\,=\,-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\,}\mbox{ (valor negativo)} \phantom{XX}\, & \\ \end{array} \right.\,$
Como trata-se de medida de comprimento e/ou distância, valores negativos não são considerados
A razão $\,\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\,$ é igual a $\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,$ que corresponde à
Alternativa E
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