Exercício sobre lei dos senos

(FUVEST) Em um triângulo $\,ABC\,$ o lado $\,AB\,$ mede $\,4\sqrt{2}\,$ e o ângulo $\,\hat{C}\,$, oposto ao lado $\,AB\,$, mede $\,45^o\,$. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.

resposta:

Resolução:

círculo com triângulo ABC inscrito e ângulo central AOB de 90 graus

Na figura, $\,\triangle ABC\,$ onde o ângulo $\,\hat{C}\,$ mede 45° e o lado $\,\overline{AB}\,$ mede $\,4\sqrt{2}\,$ unidades. O triângulo está inscrito na circunferência de centro $\,O\,$.

Se $\,A\hat{C}B\,$ é um ângulo inscrito, então o ângulo $\,A\hat{O}B\,$ é o ângulo central correspondente e mede o dobro de $\,A\hat{C}B\,$, ou seja, mede $\,2\,\centerdot\,45^o\,=\,90^o\;$ $\,\longrightarrow \,$ o triângulo $\,A\hat{O}B\,$ é reto em $\,\hat{O}\,$

O triângulo $\,AOB\,$ é isósceles com dois lados iguais ao raio $\;r\;$ da circunferência e o terceiro lado igual a $\;4\sqrt{2}\,$.

Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo isósceles $\,AOB\,$ temos:

$\,r^2\,+\,r^2\,=\,(4\sqrt{2})^{\large 2}\,$

$\,2\centerdot r^2\,=\,16\centerdot 2\,\Rightarrow\,r\,=\,\sqrt{16}\,$

$\,r\,=\,4\,$

Outro método: Da trigonometria, sabemos que o seno de 45° é $\,\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{\,2\,}$ podemos utilizar o Teorema dos Senos:
$\, \dfrac{med(AB)}{sen\,45^o}\,=\,2\, \centerdot \, Raio\;\Rightarrow\;\dfrac{\;4\sqrt{\,2\,}\;}{\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}} \,=\,2R\,\Rightarrow$ $\,2R\,=\,8\;\Rightarrow\;R\,=\,4\,$

medida do raio r = 4
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