Descreva através de uma propriedade característica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes: A={0,2,4,6,8,...} B={0,1,2,...9} C={Brasília, Rio de Janeiro, Salvador}
A={x | x é inteiro, par e não negativo} B={x | x é algarismo arábico} C={x | x é nome de cidade que já foi capital do Brasil}
Escreva com símbolos: a) conjunto dos múltiplos inteiros de 5, entre -20 e + 20. b) conjunto dos divisores inteiros de 32. c) conjunto dos múltiplos inteiros de 0. d) conjunto das frações com numerador inteiro não negativo menor que 4 e denominador igual a 7. e) conjunto das capitais de estados da Região Sul.
Descreva por meio de uma propriedade dos elementos:
Seja o conjunto . Dizer quais as proposições abaixo são verdadeiras:
a) b) c) d) e) f)
a, b, d, f
(FEI-1968) Seja V o conjunto dos números reais que são solução da equação irracional
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(C)
(EPUSP - 1968) Se o conjunto dos pontos que satisfazem a equação é a reunião de duas retas, então:
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(D)
(MACKENZIE - 1973) A representação gráfica do conjunto de pontos tais que é:
a) b) c) d) e)
(B)
(PUC) - O conjunto equivale:
a) ao conjunto dos quadrados naturais. b) ao conjunto dos pares positivos. c) ao conjunto dos quadrados dos números ímpares. d) ao conjunto vazio. e) ao conjunto dos naturais não nulos.
(B)
(OSEC) Sendo , e três números distintos tais que {, , } , então, a expressão é sempre divisível por:
a) 9 b) 6 c) 15 d) 30 e) 0
(B)
(FUVEST) O número 143 é:
a) quadrado de um número natural. b) produto de dois números pares. c) primo. d) divisível por 13. e) um divisor de 1431.
(D)
(SANTA CASA) O M.M.C. de , e é dado por:
a) b) c) d) e)
(A) nota: M.M.C. = mínimo múltiplo comum.
(OSEC) Escolha a alternativa correta:
a) Sendo dada a expressão algébrica , conclui-se que ou . b) Qualquer que seja o número , tem-se que é múltiplo e divisor de c) Todo número real é múltiplo e divisor de . d) Qualquer que seja o número real , tem-se que é múltiplo e divisor de . e) Nenhuma das anteriores é correta.
(B)
(FAAP) Sendo e dois números primos (isto é, são naturais maiores que e só divisíveis por eles mesmos e pela unidade), então, podemos afirmar que:
a) é primo. b) e são primos. c) é primo. d) pode ser escrito como soma de 2 primos. e) n.d.a.
(D)
(ITA - 2004) Seja um número real, com . Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de tais que .
a) b) c) d) e)
(C)
(ITA - 2004) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto :
I. e . II. e . III. e . IV.. Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) a) apenas I e III. b) apenas II e IV. c) apenas II e III. d) apenas IV. e) todas as afirmações.
(C)
(ITA - 2004) Seja o conjunto , sobre o qual são feitas as seguintes afirmações:
I. e . II. . III. . Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas a) I e II b) I e III c) II e III d) I e) II
(D)
(ITA - 2004) O conjunto de todos os valores de , , tais que as soluções da equação (em )
são todas reais é:
a) b) c) d) e)
(D)
Considere os conjuntos: e Determine o conjunto de tal forma que as condições seguintes sejam ambas satisfeitas: (1) (2)
Resolução: Como e , então
Resposta:
(PUCRIO) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente:
17% têm casa própria 22% têm automóvel 8% têm casa própria e automóvel
Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?
69% não têm casa nem automóvel.
(UFGO) Numa certa cidade são consumidos três produtos A, B e C, sendo: A→ um tipo de desodorante B→ um tipo de sabonete C→ um tipo de creme dental Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os dados da tabela abaixo:
Produto
Número de consumidores
A
120
B
180
C
250
A e B
40
A e C
50
B e C
60
A, B e C
30
Nenhum dos três
180
O conjunto das pessoas consultadas constitui uma amostra. Note-se que os três primeiros dados da tabela (120, 180 e 250) não representam os que consomem apenas A ou apenas B ou apenas C, e sim o número total de consumidores dos 3 produtos (isolados ou conjuntamente). Nessas condições, quantas pessoas foram consultadas?
a) 500b) 560c) 610 d) 730e) 910
(C)
(MACKENZIE - 1982) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A,21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é:
a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183
(C)
Sabendo que os conjuntos A e B possuem, respectivamente, 7 e 9 elementos, e que 3 elementos pertencen a A e a B, quantos elementos pertencem a A ou B?
resposta: 13 elementos
Dados os conjuntos: A = {0,1,2,4,5} B = {0,2,4,6} C = {1, 3, 5} Determinar: a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
a.
= {1,5}
b.
= {6}
c.
= {0,2,4}
d.
= {3}
e.
= {1,3,5}
f.
= {0,2,4,6}
g.
= {3}
h.
= {1,3,5}
i.
=
j.
= {1,5}
k.
= A
l.
=
Para cada item de (a.) até (n.) a seguir há uma operação com conjuntos e um diagrama representando três conjuntos A, B e C. Indique em cada diagrama o resultado da operação indicada. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n.
Seja o conjunto A = {1, 2, {2}, {3}, ∅ } Diga se as sentenças listadas de (a.) até (t.) abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).
a. 1 ∈ A e 2 ∈ A ( ) b. {2} ∈ A ( ) c. {3} ∈ A ( ) d. {1} ∈ A ( ) e. 3 ∉ A ( ) f. 5 ∉ A ( ) g. {1} A ( ) h. { 1; 2 } A ( ) i. {2} A( ) j. {{2}} A( ) k. {{2},{3}} A ( ) l. {1; 2; 4} A( ) m. {1;3} A( ) n. {3} A( ) o. ∅ ∈ A( ) p. ∅ A( ) q. { ∅ } A( ) r. A A( ) s. ∅ ∉ A( ) t. {4; ∅ } A( )
a. 1 ∈ A e 2 ∈ A (V) b. {2} ∈ A (V) c. {3} ∈ A (V) d. {1} ∈ A (F) e. 3 ∉ A (V) f. 5 ∉ A (V) g. {1} A (V) h. { 1; 2 } A (V) i. {2} A (V) j. {{2}} A (V) k. {{2},{3}} A (V) l. {1; 2; 4} A (V) m. {1;3} A (V) n. {3} A(V) o. ∅ ∈ A (V) p. ∅ A (V) q. { ∅ } A (V) r. A A (V) s. ∅ ∉ A (F) t. {4; ∅ } A (V)
Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5 } ,B = { 1, 2, 4, 6, 8 } e C = { 2, 4, 5, 7} , obter um conjunto X tal que X ⊂ A e A - X = B ∩ C .
X = {1, 3, 5}
(ITA - 2012) Sejam números reais tais que e são racionais. Das afirmações:
I.
Se é racional ou é racional, então é racional;
II.
Se é racional, então é racional;
III.
Se é racional, então e são racionais,
é (são) sempre verdadeira(s)
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) I, II e III.
(E)
(MACKENZIE) Se designarmos por [3;4] o intervalo fechado, em , de extremidades 3 e 4, é correto escrever:
a) {3;4} = [3;4] b) {3;4} ∈ [3;4] c) {3;4} ⊂ [3;4] d) {3;4} ⊃ [3;4] e) [3;4] ∈ {3;4}
(C)
(UEMT) Dados os intervalos A = ]-2;1] e B=[0;2], então e são respectivamente:
a) ]0;1[ e ]2;2[ b) ]0;1] e ]-2;2] c) [0;1] e ]-2;2] d) [0;1[ e [-2;2[ e) [0;1[ e [-2;2]
(C)
(PUC) Dado , tem-se:
a) b) c) d) e)
(E)
(OSEC) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {b, c, d} e C = {a, c, d, e}, o conjunto (A - C) (C - B) (A B C) é:
a) {a, b, c, e} b) {a, c, e} c) A d) {b, d, e} e) {a, b, c, d}
(B)
(MACKENZIE) Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7} , então o complementar de B em A é:
a) b) {8} c) {8, 9, 10} d) {9, 10, 11...} e) {1, 5, 8}
(E)
(PUC) Sabendo-se que e são subconjuntos de , , e , então:
a) n(A) = 2 e n(B) = 4 b) n(A) = 4 e n(B) = 2 c) n(A) = 3 e n(B) = 3 d) n(A) = 4 e n(B) = 4 e) n(A) = 1 e n(B) = 5
Observação: n(X) significa "número de elementos do conjunto X".
(D)
(OSEC) Sejam e conjuntos quaisquer. se e somente se:
a) b) c) d) ou e) e
(E)
(LONDRINA) Sendo com , então:
a) b) c) d) e)
(A)
(OSEC) Se um conjunto C tem n elementos, então, qualquer que seja n , o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de C tem quantos elementos?
2n
(UBERLÂNDIA) Se A e B são dois conjuntos quaisquer não vazios, então:
a)
$\,A\,\cap\,B\,\subset\,B\,-\,A$
b)
$\,A\,\cap\,B\,=\,A\,-\,B$
c)
$\,A\,-\,B\,\supset\,A\,$
d)
$\,A\,-\,B\,\subset\,B\,$
e)
$\,(\,A\,\cap\,B\,)\,\cup\,(\,A\,-\,B\,)\,=\,A$
(E)
(CESGRANRIO) Se e são conjuntos e , pode-se concluir que:
a) b) c) d) e)
(A)
(CESGRANRIO - 1982) Sejam , e conjuntos. Se e então é:
a) b) c) d) e)
(E)
(OBJETIVO - 1982) O número de conjuntos que satisfazem: é:
a) 3b) 4c) 5d) 6e) 7
(A)
(LONDRINA) Se , e então é o conjunto:
a) b) {0} c) {1} d) {0; 2} e) {1; 2}
(D)
(SANTA CASA - 1982) Sejam e conjuntos não vazios. Se tem 12 elementos, então pode ter, no máximo:
a) 7 elementos b) 8 elmentos c) 11 elementos d) 12 elementos e) 13 elementos
(E)
Sejam e . Todas as Relações Binárias de em são:
a) , e b) , , e c) e d) , , e e) , e
(D)
Dados e , seja a Relação Binária de em tal que divide Então:
a) b) c) d) e)
(D)
Se e , então o número de Relações Binárias de em , que não são vazias, é:
a) b) c) d) e)
(D)
(PUC) O número de elementos do conjunto é e o número de elementos do conjunto é . Então, o número de elementos de é:
a) b) c) d) e)
(B)
(PUCC) São dados os conjuntos e e a relação m.d.c O número de elementos da relação inversa de é:
a) 8b) 4c) 10d) 6e) 7
(E)
(PUC) Dizemos que uma Relação entre dois conjuntos A e B é uma função de A em B quando — e apenas quando — todo elemento de
a) B é imagem de algum elemento de A b) B é imagem de um único elemento de A c) A possui somente uma imagem em B d) A possui no mínimo uma imagem de B e) A possui somente uma imagem de B e vice-versa
(C)
(UFGO - 1982) No conjunto definimos:
1) e 2) 3)
Com base nas definições, resolver a equação:
e ou
Se é um conjunto tal que e que , determinar .
(PUCC) Sejam e . O conjunto é representado pela região:
a) b) c) d) e)
(D)
(PUCC - 1982) Dados os conjuntos , e , determine o conjunto .
(PUCC - 1982) Dados os conjuntos e represente, graficamente, o produto cartesiano .
O gráfico representa uma relação binária de em . Responda em relação ao gráfico:
a) Se representa ou não uma funçãode em ; b) em caso afirmativo, determinar o DOMÍNIO, o CONTRADOMÍNIO e o CONJUNTO IMAGEM da mesma.
a) é função. b) D(f) = [1;4] CD(f) = [1;3] Im(f) = [2;3]
Em relação ao gráfico a seguir que representa uma relação binária de em , responda as questões:
a) Se o gráfico representa ou não uma função de em ; b) Em caso afirmativo, determinar o DOMÍNIO, o CONTRADOMÍNIO e o CONJUNTO IMAGEM da mesma.
não é uma função.
Em relação ao gráfico a seguir que representa uma relação binária de em , responda as questões:Se o gráfico representa ou não uma função de em ;Em caso afirmativo, determinar o DOMÍNIO, o CONTRADOMÍNIO e o CONJUNTO IMAGEM da mesma.
a) é função b) D(f) = [1;4] CD(f) = [1;3] ou
(OSEC) Seja a função tal que O conjunto de todas as soluções da equação é:
a) b) c) d) e)
(E)
(UEMT) O domínio e o contradomínio de uma função são subconjuntos de . Sendo dada por o dominio de pode ser:
a) [0; 1] b) [0; 1[ c) ]0; 1[ d) ]1;[ e) ]; 0[
(C)
(CESCEM - 1977) Um subconjunto de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de é:
a) 32b) 27 c) 24d) 22 e) 20
(D)
(PUC) Seja , e a função definida por . Então:
a) é sobrejetora b) é injetora c) é bijetorad) O conjunto imagem de possui 3 elementos somente e)
(D)
(UBERLÂNDIA) Qual das seguintes funções representa uma função injetora com dominio em A e imagens em B:
a) b) c) d) e)
(E)
(PUC - BA) O gráfico seguinte é da função .
A sentença verdadeira é:
a) ; b) o domínio de é ; c) o conjunto imagem de é ; d) é decrescente para ; e) , para ou .
(D)
(VUNESP) Sejam , e conjuntos de números reais. Sejam e definidas, respectivamente, por:
Se existe , definida por , então:
a) b) c) d) e)
(C)
Assinale a alternativa correta
a)
A 1ª determinação positiva do arco
b)
A 2ª determinação positiva do arco -600° é 240°
c)
A 1ª determinação negativa do arco
d)
A 5ª determinação positiva do arco 780° é 1860°
e)
A 3ª determinação negativa do arco
(C)
Sendo e , determinar:
a) b) c) d) e)
Obs.: é o complementar de A em relação a , ou
a)
b)
c)
d)
e)
(MACKENZIE) Uma funcão é definida em e tem imagem em . Sabe-se que o conjunto tem 2K - 2 elementos e o conjunto tem K + 3 elementos. Se é injetora, então:
a) b) c) d) e)
(A)
Determine o vértice e o conjunto imagem da função definida por .
Vértice: Conjunto Imagem: ou
(MAUÁ) Determinar a equação da parábola que tem seu eixo paralelo ao eixo , tangencia o eixo no ponto e corta o eixo no ponto .
, se e somente se:
a) b) c) d) e)
(B)
Seja uma função polinomial do 4° grau cujo gráfico é:
Determinar o conjunto verdade de:
a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) < 0
Resolução:a) O conjunto verdade para f(x) = 0 é o conjunto de valores para os quais y = 0. Observando o gráfico, y = 0 quando x é igual a -3 , 1 e 4. Portanto se o conjunto verdade é. b) O conjunto verdade de f(x) > 0 é o conjunto de todos os valores de x que correspondem a um y positivo e diferente de zero, a saber x < -3, x > 1 e x < 4 , e finalmente x >4. Então . c) O conjunto verdade de f(x) < 0 é o conjunto de valores para os quais y < 0, ou seja, verificando no gráfico, x é maior que -3 e menor que 1..
(PUC) Seja elemento de . Se ou , determine .
Determine o vértice e o conjunto imagem da função definida por .
ou
Determine o conjunto verdade da equação .
ou
(PUC - 1982) No conjunto dos números reais, a equação , na incógnita ,
a) não pode ter infinitas soluções b) sempre tem solução c) só tem solução se d) tem infinitas soluções se e) tem solução única se
(E)
(UFGO - 1982) Se possível, determine em o conjunto solução da inequação
(PUC) O conjunto imagem da função tal que é:
a) b) c) d) e)
(E)
(FAAP) Seja a função tal que . O conjunto imagem de é:
a) b) c) d) e)
(B)
Determinar o conjunto domínio, o conjunto imagem e o período da função .
domínio: - imagem: - período: p = π
(ITA - 1992) Considere as funções , e definidas por: , ; O conjunto dos valores de em tais que , é subconjunto de:
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(C)
(FGV) O valor de para o qual um dos termos do desenvolvimento de é , pertence ao conjunto:
a) b) c) d) e)
(E)
Resolver a equação
Resolução:
a) Se , então concluímos que x = 0 ou x = 1 b) Se , então: ou c) De (a) e (b) concluímos que o conjunto verdade da equação é
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}, calcular o número de funções injetoras de A em B.
Resolução: O número de funções injetoras de A em B é exatamente o , pois cada conjunto imagem é um "conjunto ordenado" de 4 elementos escolhidos entre os 6 elementos do conjunto B. Assim, o número total de funções injetoras de A em B é , e portanto, 360. Resposta:
O número de funções injetoras de A em B é 360.
(ITA - 1990) Considere as equações onde é complexo. Seja o conjunto das raízes da primeira equação e o da segunda. Então:
a) é vazio. d) é unitário. b) . e) possui dois elementos. c) possui apenas dois elementos distintos.
(D)
(ITA - 1990) A igualdade , onde , é satisfeita:
a) para todo tal que e . b) para todo tal que e . c) para todo tal que . d) para todo tal que . e) para todo tal que . Nota: denota o conjunto dos números complexos, a parte real de e a parte imaginária de .
(B)
(ITA - 1990) O conjunto de soluções reais da equação é dado por:
a) b) c) d) e)
(A)
Temos um conjunto de 10 nomes e outro de 20 sobrenomes. Quantas pessoas podem receber um nome e um sobrenome com esses elementos?
200 pessoas
A e B são conjuntos tais que #A = n e #B = r . Quantas funções f : A → B existem?
Em um baralho de 52 cartas, cinco cartas são escolhidas sucessivamente. Quantas são as sequências de resultados possíveis: a) se a escolha for feita com reposição? b) se a escolha for feita sem reposição?
Resolução:
a) Seja o conjunto das cartas do baralho. Temos #A = 52.Cada escolha consta de uma sequência do tipoonde (pois a escolha foi feita com reposição. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é: b) Se a escolha é feita sem reposição então cada sequência é tal que cada elemento pertence a e são todos elementos distintos. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número de sequências é
Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?⟷
72 maneiras.
Resolução: Cada maneira das pessoas sentarem corresponde a um par ordenado de números distintos escolhidos no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Veja os exemplos: (2, 6) (6, 2) (3, 4)
1. O total de pares ordenados é igual a 2. Devem ser excluídos os pares ordenados cujos elementos sejam números consecutivos. São eles:
3. O número de maneiras das pessoas sentarem, havendo ao menos uma cadeira entre elas é 90 - 18 = 72.
(ITA - 1972) Sejam um conjunto finito com elementos e . O número de todas as funções definidas em com valores em é:
a) b) c) d) e) nenhuma das respostas anteriores
(D)
(CESGRANRIO - 1977) Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele se possa apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, o número mínimo de peças (número de paletós mais número de calças) de que ele precisa é:
a) 24 b) 11 c) 12 d) 10 e) 8
(D)
(PUCC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas:
PROGRAMAS
NÚMERO DE TELESPECTADORES
E
400
N
1220
H
1080
E e N
220
N e H
800
E e H
180
E, N e H
100
Através desses dados, verifica-se o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas:
a) 200 b) Os dados do problema estão incorretos c) 900 d) 100 e) nenhuma das anteriores
(A)
Se A e B são conjuntos e #A = n e #B = r , quantas funções , injetoras existem?
Sejam A e B dois conjuntos tais que #A = #B = n > 0. Quantas funções bijetoras existem?
n!
Resolva a equação
S = {6}
Resolução: A equação só tem solução para Sabendo-se que temos então que: (solução não pode ser negativa) O conjunto solução é {6}.
(FUVEST - 2018) Dentre os candidatos que fizeram provas de matemática, português e inglês num concurso, 20 obtiverm nota mínima para aprovação nas três disciplinas. Além disso, sabe-se que:
I. 14 não obtiveram nota mínima em matemática; II.16 não obtiveram nota mínima em português; III. 12 não obtiveram nota mínima em inglês; IV. 5 não obtiveram nota mínima em matemática e em português; V. 3 não obtiveram nota mínima em matemática e em inglês; VI. 7 não obtiveram nota mínima em português e em inglês e VII. 2 não obtiveram nota mínima em português, matemática e inglês.
A quantidade de candidatos que participaram do concurso foi
a) 44b) 46 c) 47d) 48 e) 49
(E)
(FUVEST - 2018) Sejam e os maiores subconjuntos de nos quais estão definidas, respectivamente, as funções reais
e Considere, ainda, e as imagens de e , respectivamente. Nessas condições:
a) e . b) tanto e quanto e diferem em apenas um ponto. c) e diferem em apenas um ponto, e diferem em mais de um ponto. d) e diferem em mais de um ponto, e diferem em apenas um ponto. e) tanto e quanto e diferem em mais de um ponto.
(E)
Unindo-se as extremidades dos arcos da forma obtém-se:
a) quadrado b) retângulo c) octógono d) octógono regular e) hexágono
(C)
(FUVEST - 1977) Resolva (em ) a inequação
Solução de (I) ou O gráfico de é uma parábola como na figura:
Temos então do gráfico que a solução de (I) é
Solução de (II) Como o gráfico é uma parábola do tipo:
então: e temos o conjunto temporário da situação (II)
Solução da questão (Conjunto Verdade) A solução é o conjunto Verdade, a intersecção dos dois conjuntos e conforme o diagrama abaixo: