(FGV - 1974) Uma palavra é formada por vogais e consoantes. De quantos modos distintos pode-se permutar as letras desta palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes?
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(B)
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}, calcular o número de funções injetoras de A em B.
Resolução: O número de funções injetoras de A em B é exatamente o , pois cada conjunto imagem é um "conjunto ordenado" de 4 elementos escolhidos entre os 6 elementos do conjunto B. Assim, o número total de funções injetoras de A em B é , e portanto, 360. Resposta:
O número de funções injetoras de A em B é 360.
Sendo A = {1, 2, 3, 4} e B = {7, 8, 9, 10}, calcular o número de funções bijetoras de A em B.
Resolução:
O número total de funções bijetoras de A em B é . Portanto, 24
.Resposta:
O número de funções bijetoras de A em B é 24.
Quantos números de algarismos distintos e compreendidos entre 100 e 1000 podem ser obtidos utilizando os algarismos 1, 2, 3, 5, 6 ?
Resolução:
Os números entre 100 e 1000 são formados por 3 algarismos, e de acordo com o enunciado são escolhidos entre os algarismos dados e distintos entre si. Os algarismos em ordem diferente representam números diferentes, portanto a ordem também define cada elemento formado (arranjo). O número de algarismos é então , e, portanto, 60
Resposta:
Obtém-se 60 números.
Calcular:
210
Calcular:
30240
Resolver a equação
{8} Obs.: na equação, A significa "arranjo simples".
Usando o diagrama da árvore, obter todos os arranjos dos elementos de M = {a, b, c, d} tomados dois a dois.
Em um campeonato de futebol participam 20 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros lugares?
6840
Em um torneio (de dois turnos) do qual participam seis times, quantos jogos são disputados?
30
Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com uma cor. De quantas formas isto pode ser feito?
Resolução: Cada maneira de pintar a bandeira consiste de uma sequência de cinco cores distintas (sequência, porque as listras da bandeira estão numa ordem) escolhidas entre as oito existentes. Logo, esse número de sequências procurado é: Resposta:
6720 formas.
Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada respectivamente?
240 tipos de bilhetes
As 5 finalistas do concurso para Miss Universo são: Miss Japão, Miss Brasil, Miss Finlândia, Miss Argentina e Miss Noruega. De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, segundo e o terceiro lugares neste concurso?
60 formas
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, ... , 9. O segredo do cofre é formado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abrí-lo? (Suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos).
720 formas
Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?⟷
72 maneiras.
Resolução: Cada maneira das pessoas sentarem corresponde a um par ordenado de números distintos escolhidos no conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Veja os exemplos: (2, 6) (6, 2) (3, 4)
1. O total de pares ordenados é igual a 2. Devem ser excluídos os pares ordenados cujos elementos sejam números consecutivos. São eles:
3. O número de maneiras das pessoas sentarem, havendo ao menos uma cadeira entre elas é 90 - 18 = 72.
Uma urna contém bolas numeradas de 1 ate ; bolas são extraídas sucessivamente. Qual o número de sequências de resultados possíveis se a extração for: a) com reposição de cada bola após a extração, b) sem reposição de cada bola após a extração.
a) b)
Uma urna I contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Outra urna II contém 3 bolas numeradas de 1 a 3. Qual o número de sequências numéricas que podemos obter se extrairmos, sem reposição, 3 bolas da urna I e, em seguida, 2 bolas da urna II.
360 sequências.
Existem duas urnas. A 1ª com 4 bolas numeradas de 1 a 4 e a 2ª com 3 bolas numeradas de 7 a 9. Duas bolas são extraídas da 1ª urna, sucessivamente e sem reposição, e em seguida 2 bolas são extraídas da 2ª urna, sucessivamente e sem reposição. Quantos números (de 4 algarismos) são possíveis de serem formados nestas condições?
72 números
(FEI - 1967)
Caminhando sempre para a direita ou para cima, sobre a rede da figura, de quantas maneiras se pode ir do ponto A até a reta BC? a) 8 b) 64 c) 256 d) 1024 e) 2048
(C)
(MACKENZIE - 1974) Os ingleses têm o costume de dar alguns nomes para crianças. O número de maneiras diferentes de chamar-se uma criança, se existem 300 nomes diferentes e se uma criança não pode ter mais do que 3 nomes, todos diferentes entre si, é:
a) b) c) d) 26 820 600 e) 6 744 700
(D)
(FGV - 1976) As peças de um jogo de dominó são pequenos retângulos de madeira, divididos em duas metades. Em cada metade está marcado um certo número de pontos. As peças são feitas de forma que os totais de pontos que aparecem em cada uma das metades são perfeitamente permutáveis girando-se a peça de meia volta. Por exemplo, a peça (2, 5) é também a peça (5, 2). Se em cada metade podem aparecer desde nenhum ponto até n pontos, então o número de peças diferentes é:
a) b) c) d) e)
(E)
(USP - 1969) Uma bandeira é formada de 7 listras que devem ser pintadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?
a) 128 b) 192 c) 35 d) 2 187 e) 210
(B)
(MACKENZIE - 1977) Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou um carro brasileiros, o número de inscrições diferentes que ela pode fazer para uma corrida onde irá participar com 3 carros, é:
a) 15 b) 30 c) 45 d) 90 e) não sei
(A)
(FGV - 1974) Uma moto tem combustível suficiente para somente três voltas num circuito. Pedro, Manoel e Antônio disputam, através de lançamento de uma moeda, a oportunidade de dar cada volta, do seguinte modo:
(I)o lançamento da moeda é efetuado antes de cada volta; (II)se coroa, a vez é de Manoel; (III)se cara, a vez é de Pedro; (IV)se a mesma face ocorrer consecutivamente, a vez é de Antônio. Pode-se dizer, então, que Antônio dará:
a) pelo menos uma volta b) no máximo uma volta c) pelo menos uma volta, se a primeira for dada por Manoel d) no máximo duas voltas, se a primeira for dada por Pedro e) nenhuma das respostas anteriores
(D)
(CESCEA - 1973) Suponha que no início de um jogo você tenha Cr$ 2,00 e que só possa jogar enquanto tiver dinheiro. Supondo que em cada jogada você perde ou ganha Cr$ 1,00 , ao final de três jogadas os possíveis resultados são:
a) Cr$ 2,00 , Cr$ 3,00 ou Cr$ 5,00 b) Cr$ 1,00 , Cr$ 3,00 ou Cr$ 4,00 c) Cr$ 0,00 , Cr$ 2,00 ou Cr$ 4,00 d) Cr$ 1,00 , Cr$ 3,00 ou Cr$ 5,00 e) Cr$ 3,00 , Cr$ 1,00 ou Cr$ 2,00
(D)
(FGV - 1975) Um homem tem oportunidade de jogar no máximo 5 vezes na roleta. Em cada jogada ele ganha ou perde um cruzeiro. Começará com um cruzeiro e parara de jogar antes de cinco vezes, se perder todo seu dinheiro ou se ganhar três cruzeiros, isto é, se tiver quatro cruzeiros. O número de maneiras em que o jogo poderá se desenrolar é:
a) 5 b) 3c) 11 d) 12e) 10
(C)
(MACKENZIE - 1969) Num concurso com 12 participantes, se nenhum puder ganhar mais que um prêmio, um primeiro e um segundo prêmios poderão ser distribuídos de:
a) 144 maneiras distintas b) 121 maneiras distintas c) 132 maneiras distintas d) 242 maneiras distintas e) nenhuma das respostas acima é correta
(C)
(MACKENZIE - 1974) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é:
a) 1 680 b) c) d) e) 32
(A)
(FGV - 1974) Existem 7 voluntários para exercerem 4 funções distintas. Qualquer um deles está habilitado para exercer qualquer dessas funções. Portanto, pode-se escolher quaisquer 4 dentre os 7 voluntários e atribuir a cada um deles uma das 4 funções. Quantas possibilidades existem para essa atribuição?
a) 20 b) 360 c) 625 d) 840 e) 5 040
(D)
(CESCEM - 1977) As placas dos automóveis são formadas por duas letras seguidas de 4 algarismos. O número de placas que podem ser formadas com as letras A e B e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo, é:
a) b) c) d) e)
(B)
(CESCEA - 1974) De quantas maneiras um técnico de futebol pode formar um quadro de 11 jogadores escolhidos de 22, dos quais 3 são goleiros e onde só o goleiro tem posição fixa?
a) b) c) d) e)
(D)
(COMSART - 1973) De quantas maneiras três casais podem ocupar 6 cadeiras, dispostas em fila, de tal forma que as duas das extremidades sejam ocupadas por homens?
a) b) c) d) e) nenhuma das respostas anteriores
(A)
(ITA - 1977) Consideremos elementos distintos. Destaquemos dentre eles. Quantos arranjos simples daqueles elementos tomados a podemos formar, de modo que em cada arranjo haja sempre, contíguos e em qualquer ordem de colocação, dos elementos destacados?
a) b) c) d) e) nenhuma das respostas anteriores.
(D)
(CESCEA - 1967) No jogo de loto, de uma urna contendo 90 pedras numeradas de 1 a 90, quatro pedras são retiradas sucessivamente; o número de extrações possíveis tal que a terceira pedra seja 80 será:
a) A90,4 b) P4 c) P80 d) A89,3 e) C89,3
(D)
(CESCEA - 1976) O total de número múltiplos de 4, com quatro algarismos distintos, que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 é:
a) 24b) 48c) 54d) 96e) 120
(D)
(MACKENZIE - 1975) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 e sem repetição, pode-se escrever x números maiores que 2 500. O valor de x é:
a) 78 b) 120 c) 162 d) 198 e) 240
(D)
(CESCEM - 1976) Com os algarismos 0, 1, 2, 5 e 6, sem os repetir, quantos números compreendidos entre 100 e 1 000 poderemos formar?
a) 10b) 24c) 48d) 60e) 120
(C)
Se A e B são conjuntos e #A = n e #B = r , quantas funções , injetoras existem?
Sejam A e B dois conjuntos tais que #A = #B = n > 0. Quantas funções bijetoras existem?
n!
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?
504
Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 3, 6, 7, 8, 9 ?
40
Resolução: Cada número será uma tripla ordenada de algarismos escolhidos entre os dados. Os números devem ser pares, portanto as triplas obrigatoriamente tem que ser do tipo:
( —, —, 6) (I) ou ( —, —, 8) (II)
O número de triplas do tipo (I) é e o de triplas do tipo (II) é O resultado é então 20 + 20 = 40.
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 , quantos números com algarismos distintos existem entre 500 e 1000?
280
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 quantos números de 3 algarismos (iguais ou distintos) existem?
125
Com os algarismos 1, 2, 3, ..., 9 quantos números de quatro algarismos existem, onde pelo menos dois algarismos são iguais?
3 537
Quantos números formados por 3 algarismos distintos escolhidos entre 2, 4, 6, 8, 9 contém o 2 e não contém o 6? (Lembrar que o 2 pode ocupar a 1ª, 2ª ou a 3ª posição).
18
Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos arranjos desses dígitos tomados 4 a 4 têm o dígito 1 antes do 4?
72
Temos 5 meninos e 5 meninas. De quantas formas eles podem ficar em fila se meninos e meninas ficam em posições alternadas?
28 800
De quantas formas 6 pessoas podem sentar-se numa fileira de 6 cadeiras se duas delas (Geraldo e Francisco) se recusam a sentar um ao lado do outro?
480
Temos uma estante de 15 livros, dos quais 4 são de Matemática. De quantas formas podemos colocá-los em ordem na estante, de modo que os livros de Matemática fiquem sempre juntos?
Resolva a equação
S = {6}
Resolução: A equação só tem solução para Sabendo-se que temos então que: (solução não pode ser negativa) O conjunto solução é {6}.
Obter m sabendo-se que
6
Resolver a equação .
{7}
(ITA - 1976) No sistema decimal, quantos números de cinco algarismos (sem repetição) podemos escrever, de modo que os algarismos 0 (zero), 2 (dois) e 4 (quatro) apareçam agrupados? Obs.: Considerar somente números de 5 algarismos em que o primeiro algarismo é diferente de zero.
a) b) c) d) e) nenhuma das respostas anteriores
(B)
(MACKENZIE - 1974) A quantidade de números de 3 algarismos que tem pelo menos 2 algarismos repetidos é:
a) 38 b) 252 c) 300 d) 414 e) 454
(B)
(CESCEM - 1976) O número de funções injetoras definidas em com valores em é:
a) 10 b) 15 c) 60 d) 125 e) 243
(C)
(FEI - 1971) O número de anagramas formados com as letras da palavra república nas quais as vogais se mantém nas respectivas posições é:
a) 5! b) 5!4! c) 9! d) 0! e) 4!
(A)
(FGV - 1974) Uma palavra é formada por vogais e consoantes. De quantos modos distintos pode-se permutar as letras desta palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes?
a) b) c) d) e) nenhuma das anteriores
(B)
(PUC - 1977) Designando-se A, B, C, D, E e F, seis cidades, o número de maneiras que permitem a ida de A até F, passando por todas as demais cidades é:
a) 18 b) 22 c) 26 d) 24 e) 20
(D)
(ITA - 1971) Dispomos de seis cores diferentes. Cada face de um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que as seis cores sejam utilizadas. De quantas maneiras diferentes isto pode ser feito, se uma maneira é considerada idêntica a outra, desde que possa ser obtida a partir desta por rotação do cubo?
a) 30 b) 12 c) 36 d) 18 e) nenhuma das respostas anteriores