(MAUÁ) Um cilindro circular reto, de raio R e altura h = 2R , é cortado por um plano paralelo ao seu eixo. Sendo R/2 a distância do eixo ao plano secante, calcule o volume do menor segmento cilíndrico resultante desta secção.
No triângulo da figura são conhecidos os ângulos  = 60° e $\,\hat{B}\,$ = 75° e também o lado c = 13 m.
Pede-se: a) a medida em graus do ângulo C; b) a medida em metros dos lados a e b; c) a área do triângulo ABC em metros quadrados.
resposta:
Resolução: a) A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°, então $ \phantom{X} \require{cancel}\hat{A}\,+\,\hat{B}\,+\,\hat{C}\,=\,180^o\;\Rightarrow $ $\;\hat{C}\,=\,180^o\,-\,(\hat{A}\,+\,\hat{B})\,=$ $\,180^o\,-\,135^o\,=\,45^o\;$
b) Pelo Teorema dos Senos temos que $\,\dfrac{b}{\,sen \hat{B}\,}\,=\,\dfrac{c}{\,sen \hat{C}\,}\,=\,\dfrac{a}{\,sen \hat{A}\,}\,$, então podemos concluir que $\,b\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{B}\,}{sen\,\hat{C}}\phantom{X}$ e $\phantom{X}a\,=\,\dfrac{\,c\,\centerdot\,sen\,\hat{A}\,}{sen\,\hat{C}}\,$ Lembrar que $\,sen(a\,+\,b)\,=$ $\,sen\,a\,\centerdot\,cos\,b\,+\,sen\,b\,\centerdot\,cos\,a\,$ $\,sen\,\hat{A}\,=\,sen75^o\,$ $=\,sen\,(45^o\,+\,30^o)\,=$ $\,sen\,45^o\,\centerdot\,sen\,30^o\,+\,sen\,30^o\,\centerdot\,sen\,45^o\,=\,$ $\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2} + \dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\, =$ $ \dfrac{\,2\sqrt{\,6\;}}{4} = \dfrac{\,\sqrt{\,6\;}}{2}$ $\,sen\,\hat{B}\,=\,sen\,60^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,3\;}}{2}\,$ $\,sen\,\hat{C}\,=\,sen45^o\,=\,\dfrac{\,\sqrt{\,2\;}}{2}\,$
Para os itens seguintes, considere as funções $\,f\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\phantom{X}$ e $\phantom{X}g\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\;$ a seguir: $\,\left\{\begin{array}{rcr} f(x)\,=\,-\frac{\,2\,}{3}x\,+\,\frac{\,8\,}{3}\,& \\ g(x)\,=\,x\,+\,1\phantom{XXX}& \\ \end{array} \right.\,$
a) Represente num mesmo plano cartesiano as funções f(x) e g(x) .
b) Calcule para quais valores de $\;x\;$ as imagens de f(x) e g(x) são iguais.
c)
Calcule para quais intervalos do $\;x\;$ temos f(x) < 0 .
d)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos g(x) < 0 .
e)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos f(x) > g(x) .
Para os itens seguintes, considere as funções $\,f\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\phantom{X}$ e $\phantom{X}g\,:\,{\rm I\!R}\,\rightarrow\,{\rm I\!R}\;$ a seguir: $\,\left\{\begin{array}{rcr} f(x)\,=\,3\phantom{XXX}& \\ g(x)\,=\,x\,+\,1\;& \\ \end{array} \right.\,$
a) Represente num mesmo plano cartesiano as funções f(x) e g(x) .
b) Calcule para quais valores de $\;x\;$ as imagens de f(x) e g(x) são iguais.
c)
Calcule para quais intervalos do $\;x\;$ temos f(x) < 0 .
d)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos g(x) < 0 .
e)
Calcule para quais intervalos do eixo $\;x\;$ temos f(x) > g(x) .
f)
Calcule as raízes de cada uma das funções citadas. .
Dados os gráficos das funções $\phantom{X}f,\;g\phantom{X}$ e $\phantom{X}h\phantom{X}$ definidas em $\,{\rm I\!R}\,$. Determinar os valores de $\,x \in {\rm I\!R}\,$, tais que:
a)
$\,f(x)\;\gt\;g(x)\,$
b)
$\,g(x)\;\leqslant\;h(x)\,$
c)
$\,f(x)\;\geqslant\;h(x)\,$
d)
$\,g(x)\;\gt\;4\,$
e)
$\,f(x)\;\leqslant\;0\,$
resposta: a) x > 2b) x $\geqslant$ 0c) ∄ x ∈ Rd) x < -2e) x $\leqslant$ 3 ×
Estudar os sinais das funções cujos gráficos estão representados abaixo
a)
b)
c)
resposta:
a)
$\,f(x)\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;=\;-5\;$ ou $\;x\;=\;2\;$ ou $\;x\;=\;6\;\,$ $\,f(x)\;\gt\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;\lt\;-5\;$ ou $\;-3\;\lt\;x\;\lt\;2\;$ ou $\;x\;\gt\;6\;\,$ $\,f(x)\;\lt\;0\;\Longleftrightarrow\;-5\;\lt\;x\;\lt\;-3\;$ ou $\;2\;\lt\;x\;\lt\;6\;\,$
b)
$\,g(x)\;=\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;=\;-3\;$ ou $\;x\;=\;-1\;$ ou $\;x\;=\;3\;\,$ $\,g(x)\;\gt\;0\;\Longleftrightarrow\;-3\;\lt\;x\;\lt\;-1\;$ $\,g(x)\;\lt\;0\;\Longleftrightarrow\;x\;\lt\;-3\;$ ou $\;x\;\gt\;-1\;{\text e}\;x\;\neq\;3\,$
Na figura seguinte: $\,\overline{PP'}\,$ é diâmetro da esfera de centro $\,O\,$,$\;M\,$ é o centro de uma secção plana perpendicular a $\,\overline{PP'}\,$. Temos também que $\,\overline{AP}\,=\,6\,cm\;$ e $\,\overline{AP'}\,=\,8\,cm\;$. Calcular a área do círculo de centro $\,M\,$.
(FUVEST - 2002) Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado lado $\,4\,$ cm e altura $\,20\sqrt{\,3\,}\;$cm , com $\,\frac{\,2\,}{\,3\,}\,$ de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 30° com o solo. (Veja a seção lateral abaixo). Determinar a altura h do nível da água em relaçao ao solo.
(FUVEST - 2001) Na figura abaixo, tem-se um cilindro circular reto, onde A e B são os centros das bases e C é um ponto da intersecção da superfície lateral com a base inferior do cilindro. Se D é o ponto do segmento $\,\overline{BC}\,$, cujas distâncias a $\,\overline{AC}\,$ e $\,\overline{AB}\,$ são ambas iguais a d , obtenha a razão entre o volume do cilindro e sua área total (área lateral somada com as áreas das bases), em função de d .
(FUVEST - 1998) No quadrilátero ABCD, temos AD = BC = 2 e o prolongamento desses lados forma ângulo de 60°.
a)
Indicando por $\,\hat{A}\,$, $\,\hat{B}\,$, $\,\hat{C}\;$ e $\;\hat{D}\,$, respectivamente, as medidas dos ângulos internos do quadrilátero de vértices $\,A, B, C \;$ e $\;D\,$, calcule $\,\hat{A}\, + \,\hat{B}\;$ e $\;\hat{C}\, + \,\hat{D}\,$.
b)
Sejam $\,J\,$ o ponto médio de $\,\overline{DC}\,$, $\,M\,$ o ponto médio de $\,\overline{AC}\,$ e $\,N\,$ o ponto médio de $\,\overline{BD}\,$. Calcule $\,JM\,$ e $\,JN\,$.
c)
Calcule a medida do ângulo $\,M\hat{J}N\,$.
resposta: a) $\,\hat{A} + \hat{B} = 120^o\,$ e $\,\hat{D} + \hat{C} = 240^o\,$ b) JM = 1 e JN = 1 c) ⊾MJN = 60° ×
(FUVEST - 1998) No cubo de aresta 1, considere as arestas $\,\overline{AC}\;$ e $\;\overline{BD}\,$ e o ponto médio, $\,M\,$, de $\,\overline{AC}\;$.
a)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{A}D\,$.
b)
Determine o cosseno do ângulo $\,B\hat{M}D\,$.
c)
Qual dos ângulos $\,B\hat{A}D\,$ ou $\,B\hat{M}D\,$ é maior? Justifique.
resposta: a) $\,cosB\hat{A}D\,=\,\frac{\,\sqrt{6\,}\,}{3}\,$ b) $\,cosB\hat{M}D\,=\,\frac{\,7\,}{9}\,$ c) como a função cosseno é decrescente para ângulos agudos, se cos(BÂD) > cos(BMD) decorre que (BÂD) < (BMD) ×
Responda para cada um dos gráficos abaixo se representam ou não uma função e, em caso positivo, estabeleça o conjunto domínio e o conjunto imagem.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
resposta:
a) $\,D\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\,|\,-2\,\leqslant\,x\,\leqslant\,3\,\rbrace\,\;$ $\,Im\,=\,\lbrace\,y\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-1\,\leqslant\,y\,\leqslant\,4\,\rbrace\,$ ou D = [-2 ; 3] e Im = [-1 ; 4]
b) $\,D\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\,|\,x\,\neq\,0\,\rbrace\,\;$ $\,Im\,=\,\lbrace\,y\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,-2\,\lt\,y\,\lt\,0\phantom{X}{\text ou}\phantom{X}1\,\lt\,y\,\lt\,2\,\rbrace\,$ ou D = R-{0} e Im = ]-2 ; 0[ ∪ ]1 ; 2[
c) não é função.
d) $\,D\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\,|\,-2\,\leqslant\,x\,\leqslant\,1\,\rbrace\,\;$ $\,Im\,=\,\lbrace\,y\,\in\,{\rm\,I\!R}\,|\,0\,\leqslant\,y\,\leqslant\,4\,\rbrace\,$ ou D = [-2 ; 1] e Im = [0 ; 4]
e) não é função
f) $\,D\,=\,\lbrace\,x\,\in\,{\rm I\!R}\,|\,-2\,\lt\,x\,\lt\,2\,\rbrace\,\;$ $\,Im\,=\,\lbrace\,1; 2\,\rbrace\,$ ou D = ]-2 ; 2[ e Im = {1, 2}
De uma sequência infinita de quadrados onde a medida do lado de cada um, a partir do segundo, é sempre a metade da medida do lado do quadrado anterior, sabe-se que o lado do 1º quadrado mede 6. Calcular a soma das áreas destes quadrados.
Se r // s , determine $\,\hat{\,\alpha\,}\,$ na figura.
resposta:
Considerações:
Na figura existem ângulos formando "bicos" e nesses bicos não existe nenhuma paralela. A solução inicia-se sempre traçando pelos bicos outras retas paralelas às retas já existentes.
Resolução:
Uma vez traçadas as retas paralelas às retas já existentes, podemos marcar os ângulos alternos internos que são congruentes entre si.
Na figura esses ângulos aparecem destacados com cores iguais. Decorre que a medida de $\;\hat{\,\alpha\,}\;$ é (50° + 40°) = 90°
(FUVEST - 2012) Um rapaz com chapéu observa sua imagem em um espelho plano e vertical. O espelho tem o tamanho mínimo necessário, y = 1,0 m , para que o rapaz, a uma distância d = 0,5 m , veja a sua imagem do topo do chapéu à ponta dos pés. A distância de seus olhos ao piso horizontal é h = 1,60 m . A figura ilustra essa situação e, em linha tracejada, mostra o percurso do raio de luz relativo à formação da imagem do ponto mais alto do chapéu.
a)
Desenhe, na figura, o percurso do raio de luz relativo à formação da imagem da ponta dos pés do rapaz.
b)
Determine a altura H do topo do chapéu ao chão.
c)
Determine a distância Y da base do espelho ao chão.
d)
Quais os novos valores do tamanho mínimo do espelho (y') e da distância da base do espelho ao chão ( Y' ) para que o rapaz veja sua imagem do topo do chapéu à ponta dos pés, quando se afasta para uma distância d' iguala 1 m do espelho?
(FUVEST - 2015) No cubo $\,ABCDEFGH\,$, representado na figura, cada aresta tem medida 1 .Seja $\;M\;$ um ponto na semirreta de origem $\;A\;$ que passa por $\;E\;$. Denote por θ o ângulo $\,B\hat{M}H\,$ e por $\;x\;$ a medida do segmento $\,\overline{AM}\,$ .
a)
Exprima $\,\operatorname{cos}\theta\,$ em função de $\;x\;$
b)
Para que valores de $\,x\,$ o ângulo $\,\theta\,$ é obtuso?
c)
Mostre que, se $\,x\;=\;4\,$, então $\,\theta\,$ mede menos que 45°
resposta: a)
Resolução:
Observe na figura ao lado que no triângulo HMB:
i)
pela lei dos cossenos temos: $\;(HB)^2\,=\,$ $\,(MB)^2\,+\,(MH)^2\,-\,(MB)(MH)\operatorname{cos}\theta\;$
ii)
o lado (HB) é a diagonal do cubo de lado 1, portanto mede $\;1\sqrt{\,3\,}\;$
iii)
o lado (MB) é hipotenusa do triângulo retângulo MAB e pelo teorema de Pitágoras $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1\;}\;$
iv)
o lado (MH) é hipotenusa do triângulo retângulo MEH e pelo teorema de Pitágoras $\;MH\,=\,\sqrt{\,(x\,-\,1)^2\,+\,1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;(x\,-\,1)^2\;+\;1\;}\;\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}\;$
v)
Substituindo os valores na equação obtida em i) temos:
$\;\operatorname{cos}\theta\;=\;\dfrac{x^2\,-\,x}{\sqrt{\;x^2\,+\,1\;}\centerdot\sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}}$ b)
Um ângulo é obtuso quando seu cosseno é menor que zero.
Como o denominador da fração acima é a multiplicação entre duas raízes quadradas, esse denominador é sempre positivo. Resta então que, para que a fração seja menor que zero é necessário que $\;(x^2\,-\,x\;)\;$ seja menor que zero.
raízes : $\;x_1\,=\,0\phantom{X}x_2\,=\,1\;$; o coeficiente de $\,x^2\,$ é maior do que zero, então a expressão será negativa para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$
O ângulo $\;\theta\;$ é obtuso para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$ c) basta substituir x por quatro na equação do cosseno de $\,\theta\,$ e constatar que se x = 4 o cosseno é $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$. Como $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$ é menor que $\, cos45^o \;=\;\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,$, então θ < 45° para x = 4. ×
(UFRGS RS) Um estudante apresentou um experimento sobre eletrólise na feira de ciências da escola. O esquema do experimento foi representado pelo estudante em um cartaz como o reproduzido abaixo. Os números 1 e 2 representam eletrodos de grafite.
Em outro cartaz, o aluno listou três observações que realizou e que estão transcritas abaixo:
I.
Houve liberação de gás cloro no eletrodo 1.
II.
Formou-se uma coloração rosada na solução próxima ao eletrodo 2 quando foram adicionadas gotas de solução de fenolftaleína.
A e B são dois subconjuntos de $\;{\rm I\!R}\;$ e os gráficos abaixo representam relações binárias de A em B . Qual dos gráficos representa uma função de A em B ?
(VUNESP - 1982) Um observador O encontra-se no vértice P de uma sala, cuja planta é um triângulo equilátero de lado igual a 6 m . Num dos cantos da sala existe um espelho vertical, de 3,0 m de largura, ligando os pontos médios de PQ e QR .
Nestas condições, olhando por meio do espelho, o observador vê (no plano horizontal que passa pelos olhos):
Considere uma fonte puntiforme de luz (P) deslocando-se ao longo de um trilho disposto segundo o eixo principal de uma lente em um banco óptico. Considere ainda um espelho plano disposto perpendicularmente ao eixo principal da lente, conforme a montagem abaixo.
Mantendo a lente L e o espelho E em posições fixas e deslocando-se a fonte P podemos obter dois posicionamentos de P e E para os quais a imagem que o sistema fornece de P coincide com a posição de P, isto é, P' aparece superposta ao objeto P. Sabe-se que as duas posições de P estão distanciadas de 10 cm. Pede-se:
a)
Explique em que situações a imagem final P' está superposta ao objeto P e como diferenciar as situações;
b)
Calcule a distância focal da lente.
resposta: a) situação 1. o objeto está no foco da lente. situação 2. o objeto está no ponto antiprincipal da lente e pode ser diferenciada da situação 1 pois quando o objeto está no ponto antiprincipal da lente (2f) a imagem é simétrica (equidistante) em relação à lente ‐ no caso do objeto estar no foco a imagem é imprópria. b) foco antiprincipal - foco = 10 cm 2f - f = 10 f = 10 cm ×
Na figura abaixo estão representados um objeto real (O) sua imagem virtual (I) conjugada por uma lente divergente e o eixo óptico (E) desta lente. O módulo da distância focal da lente é igual a:
São dadas duas lentes L1 e L2 e um feixe cilíndrico de luz.
O ponto F representa o foco imagem de L1 e também o foco objeto de L2. Sabendo que cada quadradinho na figura representa um quadrado real de 2,0 cm, pede-se:
a)
as distâncias focais de L1 e L2;
b)
construir o trajeto dos raios de luz e obter a relação entre os diâmetros dos feixes emergente e incidente.
resposta: a) FL1 = 8,0 cm e FL2 = 4,0 cm b)$\,\dfrac{d_{\text emergente}}{d_{\text incidente}}\;=\;\dfrac{\;1\;}{2}\,$
Na figura abaixo estão representados um objeto e uma lente divergente delgada. Aproximadamente em que ponto do eixo óptico vai se formar a imagem do objeto conjugada pela lente?
No diagrama a seguir, feito em escala rigorosa, cada unidade (quadradinho) representa 5 cm, isto é, uma escala de 1 para 5. A letra F representa o foco da lente convergente e o sentido da luz é da esquerda para a direita.
Quais as características da imagem do objeto AB fornecida pela lente, sendo válidas as condições de Gauss?
resposta: Imagem virtual, ampliada, direita ( i = 10 cm e p' = 20 cm) ×
(FUND CARLOS CHAGAS) Uma lente delgada convergente conjuga uma imagem de altura h a um objeto real (segmento de reta que intercepta perpendicularmente o eixo óptico principal da lente). No gráfico abaixo, o valor absoluto de h está representado em função da distância d entre o objeto e a lente.
a) Qual a altura do objeto? b) Qual a vergência da lente?
Um objeto puntiforme encontra-se a uma distância p de uma lente convergente ideal de distância focal f = p/2 . A imagem deste objeto é projetada nitidamente sobre uma tela disposta perpendicularmente ao eixo principal da lente. Faz-se o objeto executar um movimento circular uniforme de raio d , com centro no eixo principal e perpendicular a ele. Dada a velocidade escalar V1 do objeto, a velocidade escalar V2, da imagem, será:
A figura acima mostra a posição de um ponto luminoso sobre o eixo óptico de uma lente convergente. Deslocando-se o ponto luminoso de 3,0 cm numa direção perpendicular ao eixo óptico, a imagem do ponto deslocar-se à:
Considere uma lente convergente (L) de distância focal 20 cm. Um ponto objeto (P) vem de um ponto muito afastado (infinito), aproximando-se da lente até o ponto (A)
Descrever o que sucede com a imagem de (P) conjugada pela lente.
resposta: A imagem desloca-se do foco (B) para o infinito (tornando-se imprópria). ×
Um feixe de luz monocromática e de raios paralelos entre si, penetra numa região cúbica, de aresta L, representada em corte na figura abaixo. Os raios emergem desta região segundo as direções indicadas.
Essa região cúbica deve conter, dentre as seguintes:
a)
Uma lente convergente de distância focal menor que L.
b)
Uma lente divergente de distância focal menor que L.
c)
Uma lente convergente de distância focal maior que L.
d)
Uma lente divergente de distância focal maior que L.
Considere uma lâmina de vidro de faces paralelas imersa no ar. O índice de refração absoluto do ar vale 1,0 e do vidro vale 2,0.
a) Construa os seguintes gráficos para $\,0\,\leqslant\,i\,\leqslant\,90^o\,$: (1) $\,sen\;r\,$ em função de $\,sen\;i\,$; (2) $\,sen\;i'\,$ em função de $\,sen\;i\,$.
b) Responda, justificando, se o raio de luz pode sofrer reflexão total na fronteira vidro-ar.
Considere duas lâminas de vidro de mesmo material, imersas no ar e dispostas paralelamente. Um raio de luz atravessa o sistema.
Sabendo-se que os índices de refração do ar e do vidro valem $\,1\,$ e $\,\sqrt{\;3\;}\,$ respectivamente e que $\,\alpha\,=\,30^o\,$, calcule os ângulos $\phantom{X}\beta,\; \gamma, \; \Delta\phantom{X}$ e $\phantom{X}\varepsilon \phantom{X}$
